四川省成都市郫都区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 郫都区2019-2020学年度上期期中考试高一数学 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）‎ ‎1.下列四个关系中，正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.‎ ‎【详解】元素与集合是属于关系，故A对，C、D错误，而之间是包含关系，所以B错误，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间的关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.‎ ‎2.已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（　　）‎ A. {1，3，5，7} B. {1，7） C. {3，5} D. {5}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求集合A，B的公共元素即可.‎ ‎【详解】因为集合，，所以集合A，B的公共元素有3和5，根据集合的交集运算，则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，较简单.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入x=0求解函数值即可．‎ ‎【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，‎ ‎∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．‎ ‎∴f（1）=2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较两个函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.‎ ‎【详解】对于A，两个函数的定义域均为，且，故为同一函数；‎ 对于B，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数；‎ 对于C，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ 对于D，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】判断两个函数是否为同一函数，一般先比较它们的定义域，再比较它们的对应法则，这两者都相同，它们才是同一函数.‎ ‎5.已知幂函数y=f(x)的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是()‎ A. y=x2 B. C. D. y=2x ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），求得幂函数的解析式即可．‎ ‎【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα ‎∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），‎ ‎∴2＝4α ‎∴α，‎ ‎∴幂函数f（x）＝xα，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，考查求函数值，解题的关键是认清幂函数的表达式．‎ ‎6.下列函数中，值域为的是（ ）‎ A. ， B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出各选项中函数的值域，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数，的值域为，不合乎题意；‎ 对于B选项，，该函数的值域为，不合乎题意；‎ 对于C选项，且，即，该函数的值域为，合乎题意；‎ 对于D选项，当时，由基本不等式得，该函数的值域为，不合乎题意.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求解，在求解函数值域时，可结合函数解析式的结构选择合适的方法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.用分数指数幂表示其结果是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式与分数指数幂运算的互化原则直接化简即可得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题》‎ ‎8.已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得：函数图象过点，即可求得：，同理可得：，问题得解.‎ ‎【详解】由图像可知，，得，‎ 故选A..‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题．‎ ‎9.设，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】由于，而，故，所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.‎ ‎10.在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.‎ ‎11.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数定义域的对称关系可求得，从而得到的单调性；利用单调性和定义域可构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】为上的偶函数 ，解得：‎ 在上为增函数，在上为减函数 由得：，解得：‎ 的解集为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，涉及到利用利用奇偶性求解参数值和单调性的问题；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略定义域的限制，造成求解错误.‎ ‎12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（）‎ A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分离分子可得，计算可得，利用函数 的单调性计算可得结果．‎ ‎【详解】解：，‎ 又是上的增函数，，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.集合的真子集的个数为______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.‎ ‎【详解】集合的真子集为，，，，，，.共有7个.‎ 故答案为7.‎ ‎【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．‎ ‎14.已知，则函数的单调递增区间是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，根据图象可得结果．‎ ‎【详解】由题意得，画出函数图象如下图所示．‎ 由图象可得，函数的单调递增区间为．（填也可）．‎ ‎【点睛】求函数的单调区间时，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质．‎ ‎15.设偶函数的定义域，若当时，的图像如图所示，则满足不等式的的范围是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性以及函数图象得到的正负分布，根据正负分布得到的解集.‎ ‎【详解】因为，，又因为是偶函数，所以 ，；‎ 当，当，当，当；所以的解集为：.‎ ‎【点睛】对于给定函数部分图象以及奇偶性讨论函数值的正负，此时也可以根据奇偶性将图象补充完整，直接根据图象分析也可以.‎ ‎16.函数满足对任意都有成立，则的取值范围是__________________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由不等式得到函数单调性，然后再利用单调性分析参数取值范围，注意分段函数分段点处的函数值大小比较.‎ ‎【详解】因为对任意都有成立，所以在上增函数，则有：且，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数单调性求解参数范围，难度一般.考虑分段函数单调性时，除了需要考虑每一段函数的单调性外，每段函数在分段点处的函数值大小关系也要确定出来.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.计算下列各式的值．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行分数指数幂和根式的运算即可；‎ 进行对数的运算即可．‎ ‎【详解】原式；‎ 原式．‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂、根式和对数的运算，以及对数的换底公式，属于基础题．‎ ‎18.已知集合，，.求的值及集合．‎ ‎【答案】a=1；A∪B=｛0，1，2，3，7｝‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A∩B＝{3，7}知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可．‎ ‎【详解】由题意可知3,7∈A， 3,7∈B，∵A= ‎ ‎∴a2+4a +2=7即a 2+4a－5=0‎ 解得a =－5或a =1‎ 当a=－5时，A=｛23,7｝，B=｛0,7,7,3｝不合题意，舍去．‎ 当a=1时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,1,3｝ ‎ ‎∴A∪B=｛0，1，2，3，7｝‎ ‎【点睛】本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念．注意集合元素的互异性，属于基础题．‎ ‎19.已知集合，，.‎ ‎（1）求 ，;‎ ‎（2）若A是C的子集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解一元二次不等式求得集合，根据交集定义求得；根据并集和补集定义求得；‎ ‎（2）解不等式求得集合，根据包含关系可得到关于的不等式，解不等式求得的范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 或 ‎（2）‎ 是的子集 ，解得：‎ 实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集、并集和补集运算、根据集合的包含关系求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎20.已知函数为奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性，并加以证明；‎ ‎（3）若为偶函数，且当时，，求的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义在上奇函数满足可构造方程求得；‎ ‎（2）设，可证得，进而得到函数的单调性；‎ ‎（3）当时，，得到；根据偶函数可求得时的解析式，整理可得的解析式.‎ ‎【详解】（1）为奇函数且定义域为 ，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 设任意的，则 ‎ ，即 又， ，即 在定义域上单调递增 ‎（3）当时，‎ 当时， ‎ 为偶函数 ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值和函数解析式、函数单调性的判断与证明；本题是对函数奇偶性和单调性的基础题型的考查.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）判断的奇偶性并给予证明；‎ ‎（3）求关于x的不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；‎ ‎（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，函数，‎ 则有，解可得，‎ 即函数的定义域为；‎ ‎（2）首先，定义域关于原点对称，函数，‎ 则 则函数为奇函数，‎ ‎（3）根据题意，即，‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 故当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：‎ ‎（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.‎ 解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.‎ ‎22.已知函数(为实常数)．‎ ‎（1）当时，作出的图象，并写出它的单调递增区间；‎ ‎（2）设在区间的最小值为，求的表达式；‎ ‎（3）已知函数在的情况下：其在区间单调递减，在区间单调递增.设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）图象见解析；单调递增区间；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到所求函数的图象，结合图象可写出单调递增区间；‎ ‎（2）根据二次函数对称轴为，分别讨论，和三种情况，结合二次函数性质可得到三种情况下的最小值，进而得到；‎ ‎（3）当时，可知为增函数，满足题意；当时，由已知所给函数的单调性可得单调性，进而构造不等式求得的范围；综合两种情况可得最终结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，则图象如下图所示：‎ ‎ ‎ 由图象可知：的单调递增区间为 ‎（2）当，即时，‎ 当，即时，‎ 当，即时，‎ 综上所述：‎ ‎（3）由题意得：‎ 当，即时，在上单调递增，符合题意；‎ 当，即时，在单调递减，在单调递增 ‎，解得：‎ 综上所述：实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查函数图象翻折变换、函数单调区间的求解和根据单调性求解参数范围、含参数的二次函数最值的讨论等知识；讨论含参数的二次函数最值时，需要讨论对称轴的位置，根据对称轴所处不同位置得到函数的单调性，进而确定最值点.‎ ‎ ‎