2020届二轮复习等差数列的概念与性质学案（全国通用）

2020届二轮复习等差数列的概念与性质学案（全国通用）

等差数列的概念与性质  ​ 等差数列 ​ ​ 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 来表示． 由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时， 叫做 与 的等 差中项（arithmetic mean），且 l e ． 等差数列的通项公式： l e ሺ ݊ െ ．  ​ ​ 等差数列的性质 ​ （1） ​ ， 是数列 中任意两项，则 l e ሺ ݊ െ ． （2）若 ， ， ， 均为下标，且 e l e ，则 e l e ． （3）下标（项的序号）成等差数列，且公差为 的项： ， e ， e ， ሺ䁥 െ组成公差为 的等差数列．  ​ ​ ​ 等差数列的前 项和 ​ ​ 一般地，我们称 e e e e 为数列的前 项和，用 表示，即 l e e e e ． 等差数列的前 项和公式： l ሺeെ l e ሺ݊െ ． 通项 与 的关系为： l 䁥 l 䁥 ݊ ݊䁥 ≥  ​ ​ ​ 等差数列前 项和的性质 （1）等差数列 中连续 项的和 ， ݊ ， ݊ ， 仍为等差数列，公差 为 ． （2）等差数列 中，记奇数项的和为 奇，偶数项的和为 偶． 当项数为 时， 偶 ݊ 奇 l ， 奇 偶 l e ；当项数为 e 时， 奇 ݊ 偶 l e ， 奇 偶 l e ． （3）若数列 为等差数列 l e 香 （ 、 香 为常数）． l e 香 ，故数列 仍为等差数列，且公差为 ． （4）利用等差数列前 项和 l e ሺ݊െ l e ሺ ݊ െ 的函数特征 ，可以求 其最大值或最小值． 精选例题 等差数列的概念与性质 1. 设数列 的前 项和为 ，且 l l ， e e 为等差数列，则 的 通项公式 l ．（原题看不清） 【答案】 ݊ 2. 已知 香䁨 的三个内角 ， 香 ， 䁨 成等差数列，且边 l 差 ， l ，则 香䁨 的面积等 于 ． 【答案】 3. 已知 是等差数列，若 ݊ ݊ l 数 ，则 的值是 ． 【答案】 【分析】 解法一：设公差为 ，则 e 香 ݊ e 差 ݊ l 数 ，即 e ͺ l ，所以 l ． 解法二：由等差数列的性质得 e l ，所以 e ݊ ݊ l 数 ，所以 l ． 4. 在等差数列 中，若 e 香 e e ͺ l 差 ，则 e l ． 【答案】 【分析】 在等差数列中， e ͺ l e 香 l e ， 由 e 香 e e ͺ l 差 ， 得 e ͺ l 差 ， 则 e ͺ l ， 则 e l e ͺ l ． 5. 在等差数列 中， 数 ݊ ，且其前 项和 有最小值．则下列命题： ①公差 ᦙ 数 ；② 为递减数列；③ ， ， ， 都小于零， 数 ， ， 都大于零；④ l 时， 最小；⑤ l 数 时， 最小． 其中，正确命题的序号为 ． 【答案】 ①③⑤ 【分析】 由 数 ݊ ，且其前 项和 有最小值，可知 数 数 ， ᦙ 数 且 ᦙ 数 ， 从而易知①③⑤正确． 6. 已知 数列 是等差数列， e e l 香 ， e ͺ e l 差 ，则 差 e e 香 l ． 【答案】 【分析】 因为 e ͺ e ݊ e e l ͺ l ͺ ， 差 e e 香 l e e e l ． 7. 已知 为等差数列 的前 项和， l݊ ， l 香 ，则 香 l ． 【答案】 【分析】 因为 l 香 ，所以 l 香 ，即 l ，所以 l ݊ l ，故 香 l 香 ݊ e 香 l 差 ݊ 香 l ． 8. 等差数列 中，若 l e ，则公差 l ， l ． 【答案】 香 ； 【分析】 因为等差数列的前 项和公式 l e ݊ l e ݊ ， 因此， l ，即 l 香 ， ݊ l l ． 9. 已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，且满足 差 l 数 ， 香 l e ，则数列 的 首项 l ，通项 l ． 【答案】 ； ݊ ． 10. 设等差数列 的前 项和为 ，若 l݊ ， e l ， l݊ ，则正整数 l ． 【答案】 【分析】 设等差数列 的公差为 ， 则 e l e l݊ e l 䁥 l e ݊ l݊ e ݊ l݊ 䁥解得 l ． 11. 已知数列 中， l݊ ， e l e ݊ ，则数列通项 l ． 【答案】 ݊ 【分析】 因为 e l e ݊ ， 所以 ݊ e l ， 即 e ݊ l݊ ． 又因为 l݊ ， 所以 是以 为首项，以 ݊ 为公差的等差数列． 故 l݊ e ݊ ݊ l݊ ， 所以 l݊ ． 12. 设等差数列 的前 项和为 ， e l 香 ， 差 l ͺ ，则 数 的值为 ． 【答案】 【分析】 解法一：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 e l 香 及 差 l ͺ 得 e 香 l 香䁥 差 e 差 l ͺ䁥 整理得 e l 䁥 e l 差䁥 解之得 l ， l 差 ，所以 数 l e 差 l ． 解法二：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 e l 香 得 差 l 香 ，所以 差 l ，由 差 l ͺ 得 差 e差 l ͺ ，整理得 e l 差 ，所以 l ， l 差݊ l 差 ，从而 数 l e 差 l ． 13. 等差数列 ， 的前 项和分别是 ， ，如果 l e ，则 l 【答案】 ݊ ݊ 【分析】 l l e݊ e݊ l ݊ ݊ l ݊ ݊ e l 差݊ 香݊ l ݊ ݊ 14. 已知数列 是等差数列，若 差 e e 数 l ， 差 e e 香 e e e e 差 l 且 l ，则 l ． 【答案】 ͺ【分析】 因为 差 e e 数 l l ， 所以 l ． 又因为 差 e e e e 差 l l ， 所以 l ． 15. 已知等差数列 中， ，且 ， 香 为 ݊ 数 e 香 l 数 的两个实根， 则此数列的通项公式是 ． 【答案】 l ݊ 差【分析】 由题意得： e 香 l 数䁥 香 l 香䁥 又 ， 所以解得 l ， 香 l ͺ ， 所以 e l 䁥 e l ͺ䁥 解得 l݊ 䁥 l 䁥 从而 l݊ e ݊ ，即 l ݊ 差 ． 16. 设数列 满足 e 差 l 数 ，点 䁥 对任意的 ，都有向量 e l 䁥 ， 则数列 的前 项和 l ． 【答案】 17. 若 ，两个等差数列 ， ， ， 与 ， ， ， ， 的公差分别为 和 ，则 的值为 ． 【答案】 差 【分析】 由 l e ， l e 差 ，得 l ݊ ， l ݊ 差 ， 所以 l ݊ ݊ 差 l 差 ． 18. 等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 l e ，则 l ． 【答案】 【分析】 l e e l e e l l e l ． 19. 在等差数列 中， 差 l ， ͺ l ，则数列 的前 项和 l ． 【答案】 【分析】 由题意得等差数列的公差 满足 差 l ͺ ，从而 l ，因此 l e ݊ 差 l ݊ ，故 l e݊ l ． 20. 设等差数列 的公差为正数，若 e e l ， l ͺ数 ，则 e e l ． 【答案】 数【分析】 由条件可知 l ，从而 e l 数 ， l 香 ，得 l ， l ͺ ，公差为 ， 所以 e e l e 数 e e l 数 ． 21. 设 是等差数列 的前 项和，已知 差 差 l ， 与 差 差 等差中项为 ， 求数列 的通项公式． 【解】 由已知得 差 差 l 䁥 e 差 差 l 䁥即 e l 数䁥 e l 䁥解得 l 数䁥 l 䁥 或 l݊ 䁥 l 差䁥 所以 l 或 l ݊ ． 经验证 l 或 l ݊ 均满足题意，即为所求． 22. 等差数列 中， 是它的前 项的和，且满足 l ， l ，求 的最大值． 【解】 解法一：因为 l ， l ， 所以 e l e 数 ． 解得 l݊ ，即 l ݊ ， 故 l e ݊ ݊ l 差 ݊ l݊ ݊ e 差 ． 因此，当 l 时， 取得最大值 差 ． 解法二：同解法一解得 l݊ ， l ݊ ． 数列 的首项大于 数 ，公差小于 数 ，必存在某一项 ，满足 l ݊ 数䁥 e l ݊ 数䁥 解之得 香 ，取 l ． 因此，当 l 时， 取得最大值 差 ． 解法三：因为 l e ݊ ， 当 数 时，其图象是过原点且开口向下的一条抛物线上一群孤立的点， 所以其对称轴 l 数 l e l ． 即 l 时， 取得最大值． 解法四：由 l ， l 不难知道，数列 是单调递减的数列，由 l ，得 e e l e e e 差 e e e ， 即 差 e e 香 e e ͺ e e 数 e l 数 ， 即 差 e ͺ l 数 ， 又 ᦙ ͺ ，所以 ᦙ 数 ， ͺ 数 ． 故当 l 时， 取得最大值． 23. 已知等差数列 䁥䁥䁥䁥 ． (1) ， 差 e e 是 中的项吗？试说明理由． 【解】 l ， l 差 ， l e ݊ l 差 ݊ ． 令 l 差 ݊ l ， 所以 l 差 ． 所以 是数列 中的第 差 项． 令 l 差 ݊ l 差 e ，则 l e e ， 所以 差 e 是 中的第 e 项． (2)若 ， 䁥 e 是数列 中的项，则 e 是数列 中的项吗？并说明你 的理由． 【解】 因为 ， 是 中的项， 所以 l 差 ݊ ， l 差 ݊ ． 所以 e l 差 ݊ e 差 ݊ l ͺ e ݊ l 差 e ݊ ݊ ， 因为 e ݊ e ， 所以 e 是 中的第 e ݊ 项． 24. 已知数列 是一个等差数列，且 l ， l݊ ． (1)求 的通项 和前 项和 ； 【解】 设 的公差为 ， 由已知条件，得 e l 䁥 e 差 l݊ 䁥 解得 l 䁥 l݊ ， 所以 l e ݊ l݊ e ， l e ݊ l݊ e 差 ． (2)设 l ݊ ， l ，证明数列 也是等比数列． 【解】 因为 l݊ e ， 所以 l ݊ l ݊ ݊e l ， 所以 l l ． 因为 e l e l （常数）， 所以数列 是等比数列． 25. 已知数列 的公差是正数，且 l݊ ， 差 e 香 l݊ 差 ，求它的通项公式． 【解】 解法 1 设等差数列 的首项 ，公差为 ᦙ 数 ， 则 e e 香 l݊ 䁥 e e l݊ 差䁥解得 l݊ 数䁥 l 或 l 香䁥 l݊ （舍去）， 所以 l ݊ ． 解法 2 因为 e l 差 e 香 l݊ 差 ， 所以 ， 是方程 e 差 ݊ l 数 的两个根． 所以 l݊ 香䁥 l 或 l 䁥 l݊ 香 （舍） 所以 l e 差 ，所以 l ，所以 l ݊ ． 26. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 l݊ ， l݊ 数 ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 设 的公差为 䁥 依题意，有 l e l݊ 䁥 l e 数 l݊ 数联立得 e l 䁥 e 数 l݊ 数䁥 解得 l݊ 香䁥 l 䁥 所以 l݊ 香 e ݊ l ݊ (2)求使不等式 ᦙ 成立的 的最小值． 【解】 因为 l ݊ 䁥 所以 l e l ݊ ． 令 ݊ ᦙ ݊ ，即 ݊ e 差 ᦙ 数䁥 解得 或 ᦙ 差又 ，所以 ᦙ 差 所以使不等式 ᦙ 成立的 的最小值为 ． 27. 已知函数 l e差 （ ᦙ 数 ），设 l ， e l ，求数列 的通项 公式． 【解】 由 e l ，得 e e差 l ， 化简得 e ݊ l 差 ． 由等差数列定义知数列 是首项 l ，公差 l 差 的等差数列， 所以 l e ݊ 差 l 差 ݊ ． 由 的定义域 ᦙ 数 且 有意义，得 ᦙ 数 ， 所以 l 差 ݊ ． 28. 已知等差数列 中， l݊ 数 ， e l݊ ͺ ．数列 满足 l log ．设 l ，且 l ，求 的值． 【解】 因为 l ݊ 差 ，所以 l ݊差 ． 所以 l l eee ݊差 l e ݊差 ． 令 e ݊ 差 l 数 ，得 l ． 29. 是否存在一个等差数列 ，使 是一个与 无关的常数？若存在，求此常数；若不存在， 请说明理由． 【解】 假设存在一个等差数列 ，使 l ，且 为首项， 为公差． 由 l ，得 e ݊ e ݊ l 䁥整理，得 ݊ 差 ݊ ݊ ݊ l 数䁥 式是关于 的一元一次方程，且对 都成立． 只需 ݊ 差 l 数䁥 ݊ ݊ l 数䁥 即 l 数䁥 l 或 l 䁥 l 差 （i）当 l 数 时， l ； （ii）当 l 时， l 差 ． 30. 在等差数列 中，已知 l ， e e e l 差 ． (1)求 ； 【解】 由题意得： e l e l 差解得 l l (2)若 l e e ，设数列 的前 项和为 ，试比较 e 与 香 的大小． 【解】 因为 l e ，所以 l ݊ e ， 所以 l e e e l ݊ e ݊ e e ݊ ݊ e l e ， 所以 e ݊ 香 l e ݊ 香 e l ݊ ݊ e 所以当 l 时， e 香 ；当 时， e ᦙ 香 ． 31. 已知 是一次函数，其图象过点 䁥 ，又 、 、 成等数列，求 e e e 差 e 的值． 【解】 设 l e ，则由题意得 e l l e 由已知得 e l e e 由①、③解得 l ， l݊ ． 于是 l ݊ ， 所以 e e e 差 e l e e e 差 e ݊ l ． 32. 已知等差数列 ，设 l ，已知 e e l ͺ ， l ͺ ，求数列 的通 项公式． 【解】 e e l ͺ ，且 l ， e e l ͺ 䁥又 l l e e l ͺ ， e e l ． 由题意 ， ， 成等差数列，可设 l ݊ ， l e ，于是有 l ． 式变为 ݊ e e e l ͺ ． 令 l ，上式为 e e l ͺ ，整理可得 差 ݊ e 差 l 数 ． l 差 或 差 ． l 或 ݊ ． 当 l 时， l ݊ l݊ ，此时 l ݊ ， 当 l݊ 时， l ݊ l ，此时 l݊ e ． 33. 设等差数列 的前 项和为 ．已知 l ， ᦙ 数 ， 数 ． (1)求公差 的范围； 【解】 依题意，得 l e ᦙ 数䁥 l e 数䁥即 e ᦙ 数䁥 e 香 数 又 l ，得 l ݊ ．代入上述不等式组，解得 ݊ 差 ݊ ． (2) 䁥䁥䁥 中哪一个最大？并说明理由． 【解】 解法一：当 ᦙ 时， l e ݊ ，解不等式 ᦙ 数 ， 即 l e ݊ ᦙ 数䁥 其中 l ，得 ᦙ݊ ݊ ݊ 差 ݊ ． 要使 ᦙ 数 只要 ݊ ݊ ݊ 差 即可，解得 香 ． 解不等式 数 ，得 ݊ ݊ 要使 数 只要 ݊ ݊ ݊ 即可，解得 ． 综上，当 香 时， ᦙ 数 ；当 时， 数 ．故 香 最大． 解法二：由题意得 l e ݊ l ݊ e ݊ l ݊ ݊ 差 ݊ ݊ 差 数 ， ݊ ݊ 差 最小时， 最大． 当 ݊ 差 ݊ 时， 香 ݊ 差 香 ， 当正整数 l 香 时， ݊ ݊ 差 最小，从而 香 最大． 解法三：由（1）得 e ᦙ 数䁥 e 香 数䁥 进而知 香 e ᦙ 数䁥 数䁥 香 ᦙ 数 ， 数 ．故 香 最大． 34. 已知数列 的通项公式 l e （ 䁥 ，且 ， 为常数）． (1)当 和 满足什么条件时，数列 是等差数列； 【解】 e ݊ l e e e ݊ e l e e ． 要使 是等差数列，则 e e 应是一个与 无关的常数， l 数 ，即 l 数 ，故当 l 数 时，数列 是等差数列． (2)求证：对任意实数 和 ，数列 e ݊ 是等差数列． 【解】 e ݊ l e e ， e ݊ e l e e e ． 而 e ݊ e ݊ e ݊ l ，为一个常数， e ݊ 是等差数列． 35. 设 为等差数列， 为等比数列， l l ， e 差 l ， 差 l ，分别求出 数列 与 的前 数 项的和 数 及 数 ． 【解】 由题意得， l e 差 l ， l 差 l ． 解得 l 差 或 数 （舍去）， l ． 所以 的公差 l݊ ͺ ， 的公比 l ， 所以 数 l݊ ͺ ， 数 l ． 36. 已知 l ݊ ݊ ，等差数列 中， l ݊ ， l݊ ， l ．求： (1) 的值； 【解】 由 l ݊ ݊ ，得 l ݊ l ݊ 差 ， l ݊ ݊ ， 又因为 ， ， 成等差数列，所以 l e ， 即 ݊ l ݊ 差 e ݊ ݊ ， 解得 l 数 或 l ． (2)通项 ． 【解】 当 l 数 时， l 数 ， l ݊ l݊ ，此时 l e ݊ l݊ ݊ ； 当 l 时， l݊ ， l ݊ l ，此时 l e ݊ l ݊ ． 37. 已知等差数列 满足 l݊ ，公差 l ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 因为 是等差数列，且 l݊ ，公差 l ， 所以由 ݊ l e 可得 l݊ ， 所以数列 的通项公式为 l݊ e ݊ ，即 l ݊ ͺ ． (2)数列 的前 项和 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值及此时 的值；若 不存在，请说明理由． 【解】 方法 1： 由等差数列求和公式可得 l݊ e ݊ ，即 l ݊ l ݊ ݊ 差 ． 所以，当 l 或 香 时， 取得最小值 ݊ 差 ． 方法 2： 因为 l ݊ ͺ ， 所以，当 香 时， 数 ；当 l 香 时， l 数 ；当 ᦙ 香 时， ᦙ 数 ， 即当 香 时， ݊ ；当 l 香 时， l ݊ ；当 ᦙ 香 时， ᦙ ݊ ， 所以，当 l 或 香 时， 取得最小值 ݊ 差 ． 38. 已知等差数列 的前三项为 ݊ ， 差 ， ，记前 项和为 ． (1)设 l 数 ，求 和 的值； 【解】 由已知得 l ݊ ， l 差 ， l ， 又 e l ， 所以 ݊ e l ͺ ， 即 l ． 所以 l ，公差 l ݊ l ． 由 l e ݊ ，得 e ݊ l 数 ， 即 e ݊ 数 l 数 ， 解得 l 数 或 l݊ （舍去）． 所以 l ， l 数 ． (2)设 l ，求 e e e e 差݊ 的和． 【解】 由 l e ݊ ，得 l e ݊ l e ． 所以 l l e ． 所以 是等差数列． 则 e e e e 差݊ l e e e e e e e 差 ݊ e l 差e差 所以 e e e e 差݊ l e ． 39. 已知等差数列 中，首项 l ，公差 为整数，且满足 e ， e ᦙ 差 ，数 列 满足 l e ，其前 项和为 ． (1)求数列 的通项公式 ； 【解】 由题意，得 e e 䁥 e e ᦙ e 䁥 解得 ．又 ， 所以 l ． 所以 l e ݊ l ݊ ． (2)若 为 ， 的等比中项，求 的值． 【解】 因为 l e l ݊ e l ݊ ݊ e ， 所以 l ݊ e ݊ e e ݊ ݊ e l ݊ e l e 因为 l ， l ， l e ， 为 ， 的等比中项， 所以 l ，即 l e ，解得 l ． 40. 等比数列 的各项都为正数， l ， ͺ l ． (1)求数列 的通项公式 【解】 由已知 l 䁥 l 䁥 解得 l 香差 ， l ， l ݊ l 香差 ݊ l ݊ ． (2)若 l log e log e e log ，求 的最大值及相应的 值． 【解】 令 l log l log ݊ l ݊ ， 则 l e e e l 香e݊ l ݊ e ． 当 l 香 或 时， 最大为 香 l l ． 课后练习 1. 等差数列 的前 项和为 ，且 数 l 数 l 数 ，则 l ． 2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 香 ， 数 ，则 香 的最大值为 ． 3. 已知等差数列 的公差 不为 数 ，且 ， ， 成等比数列，则 的值为 ． 4. 设等差数列 的前 项和为 ，若 差 ， 香 ，则 香 的取值范围是 ． 5. 若 ，且 ， ， ， 和 ， ， ， ， 各自都成等差数列，则 ݊ ݊ l ． 6. 下列是关于公差 ᦙ 数 的等差数列 的四个命题： 数列 是递增数列； 数列 是递增数列； 数列 是递增数列； 差 数列 e 是递增数列；其中真命题的 序号是 ． 7. 已知公差不为 数 的等差数列 的前 项和为 ，且 l ，若 香 l ，则 l ． 8. 设 等差数列 的前 项和，若 l ，则 香 l ． 9. 等差数列 中， 数 ， 数 ，且 ， ， 差 ，成等比数列，则 e差 e = ． 10. 已知公差不为 数 的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， 为数列 的前 项和， 则 ݊ ݊香 的值是 ． 11. 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式 l ． 12. 设等差数列 满足：公差 ， ，且 中任意两项之和也是该数列中的一 项，若 l ，则 的所有可能的取值之和为 ． 13. 在等差数列 中，若 e e l ，则其前 项和 的值为 ． 14. 等差数列 的前 项和为 ，若 ᦙ 䁥 ，且 ݊ e e l ， ݊ l ͺ ， 则 l ． 15. 已知 香䁨 的三边长 ， ， 成等差数列，且 e e l ͺ差 ，则实数 的取值范围 是 ． 16. 等差数列 中，已知 e ͺ l ，那么 数 的值是 ． 17. 等差数列 ݊ ， ݊ ， ݊ ， ，前 项和最小． 18. 等差数列 中， l ͺ ， 差 l ，记 l e e e ，则 关于 的表达式 为 ． 19. 若一个等差数列前 项的和为 差 ，最后 项的和为 差香 ，且所有项的和为 数 ，则这个数 列有 项． 20. 设 是等差数列 的前 项和，若 l ，公差 l ， e ݊ l 差 ，则正整数 的值是 ． 21. 已知 是正项等差数列， ，数列 e 的前 项和 l e差 ． (1)求 ； (2)设 l ݊ ， ，求数列 的前 项和 ． 22. 设 是等差数列，前 项和为 ． (1)已知 香 l ， e ͺ l ，求 ； (2)已知公差 l ， 数数 l 差 ，求 e e e e 的值； (3) 香 l 香 ， l 差 ， ݊香 l 差差 ，求 ． 23. 等差数列 ： ， 差 ， 差 ， 的前 项和为 ，求使得 最大的序号 的值，并求最 大值 ． 24. 设等差数列 的前 项和为 ． (1)已知 l ，且 ᦙ 数 ， 数 ，求公差 的范围； (2)若 ᦙ 数 ， l ，则该数列前几项的和最大？说明理由． 25. 已知等差数列 中， 数 ，公差 数 ． (1)求证：方程 e e e e l 数 有公共根； (2)设(1)中方程的另一个根为 ，求证： e 为等差数列． 26. 若 是等差数列， l ͺ ， 香数 l 数 ，求 的值． 27. 已知数列 是等差数列，其前 项和为 ， l ， 差 l 差 ．求数列 的通项公式． 28. 设等差数列 的第 数 项为 ，第 项为 ݊ ，求： (1)数列 的通项公式； (2)求 的最大值． 29. 已知函数 l e ，其中 ．定义数列 如下： l 数 ， e l （ e ）． (1)当 l 时，求 ， ， 差 的值； (2)是否存在实数 ，使 ， ， 差 构成公差不为 数 的等差数列？若存在，请求出实数 的 值；若不存在，请说明理由． 30. 在等差数列 中，已知 l ͺ ， 差 l ͺ ，则这个数列有多少项在 数数 到 数数 之间？ 31. 设等差数列 的前 项和为 ．已知 l 数 ， 为整数，且 差 对任意 恒 成立，求数列 的通项公式． 32. 已知等差数列 的公差为 （ 数 ），且 l ，求 ee e差e数 的值． 33. 设各项均为正数的无穷数列 和 满足：对任意 ，都有 l e e ，且 e l e ． (1)求证：数列 是等差数列； (2)设 l ， l ，求 和 的通项公式． 34. 已知等差数列 中， l ， l݊ ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 的前 项和 l݊ ，求 的值． 35. 已知等差数列 中， l 香 ， l ，若 l ，求 及 ． 36. 等差数列前 数 项的和为 差数 ，其中项数为奇数的各项的和为 ，求其第 香 项及公差． 37. 设等差数列 的前 项的和为 ，且 l ͺ差䁥 数 l 差香数 ，求 ͺ ． 38. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 l ，且 ᦙ 数 ， 数 ， (1)求公差 的取值范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由． 39. 已知公差大于零的等差数列的前 项和为 ，且满足 差 l ， e l ． (1)求 的通项公式． (2)若数列 满足 l e ，是否存在非零实数 使得 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 40. 已知数列 的前 项和 ， e l e ，且 是 与 的等差中项，求 的通项公式． 等差数列的概念与性质-出门考 姓名 成绩 1. 首项是 ͺ ，公差为 的等差数列从第 项开始大于 数数 ． 2. 公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 差 是 与 的等比中项， ͺ l ，则 数 等于 ． 3. 设 为等差数列 的前 项和， ͺ l 差 ， l݊ ，将此等差数列的各项排成如图所 示三角形数阵：若此数阵中第 行从左到右的第 个数是 ݊ ͺͺ ，则 e l ． 差 香 ͺ 4. 差 香 ͺ 数 差 香 其中第 i 行、第 列的那个数记为 i ，则数表中的 数数ͺ 应记为 ． 5. 已知等差数列 前三项的和为 ݊ ，前三项的积为 ͺ ．则等差数列 的通项公式 为 ． 6. 设等差数列 满足 ͺ l ，且 ᦙ 数 ， 为其前 项和，则 中最大的 是 ． 7. 设等差数列 的前 项和为 ，若 差香ͺ l 数䁥 且 差香ͺ e 香ͺ e 差ͺ e 差香 l 香数 ，则 的值为 ． 8. 在等差数列 中，若 e e e 差 l 数 ，则 e l ． 9. 已知递增的等差数列 满足 l 䁥 l ݊ 差 ，则 l ． 10. 已知两等差数列 和 ，前 项和分别为 ， ，若 l 差e ݊ ，则 l ． 11. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上 面 差 节的容积共 升，下面 节的容积共 差 升，则第 节的容积为 升． 12. 设 等差数列 的前 项和，已知 l ， l ，则 l ． 13. 等差数列 的首项为 ，公差为 ；等差数列 的首项为 ，公差为 ，如果 l e ，且 l 差 ， l ͺ ．则数列 的通项公式为 ． 14. 在等差数列 中，若 l ，则 香 l ． 15. 在等差数列{ }中， l ， e l e ，则{ }的前 项和 = ． 16. 若把集合 差䁥䁥 ݊ 䁥 ݊ 香数 中全部元素按适当的顺序排成一列，组成一个等差数列 ， 则通项公式 l ． 17. 已知 为等差数列，其公差为 ݊ ，且 是 与 数 的等比中项，则 数 l ． 18. 等差数列 中， e e 差 e e 香 l ，则 e l ． 19. 有两个等差数列 ， ，其前 项和分别为 ， ，若 l e e ，则 l ． 20. 等差数列 满足 ͺ l ， ᦙ 数 ，则使数列前 项和 最大的 是 ． 21. 设数列 的前 项和 l ，数列 满足 l e e ． (1)若 ， ， ͺ 成等比数列，试求 的值； (2)是否存在 ，使得数列 中存在某项 满足 ， 差 ， e䁥 成等差数列？若 存在，请指出符合题意的 的个数；若不存在，请说明理由． 22. 为了在学校运动会上取得好成绩，某同学决定在比赛前 数 天进行跑步训练．已知第一天跑 了 数数数m ，以后每天比前—天多跑 差数数m ，那么这名同学在这 数 天内总共跑了多少路程？ 23. 设等差数列 的首项 及公差 都为整数，前 项和为 ． (1)若 l 数 ， 差 l ͺ ，求数列 的通项公式； (2)若 香 ， ᦙ 数 ， 差 ，求所有可能的数列 的通项公式． 24. 设等差数列 的前 项和为 ．已知 ݊ e e ݊ l 数 ， ݊ l ͺ ，求 的值． 25. 已知 是一个公差大于 数 的等差数列，且满足 香 l ， e l 香 ． (1)求数列 的通项公式． (2)若数列 和数列 满足等式： l e e e （ 为正整数），求数列 的 前 项和 ． 26. 等差数列 中，已知 l ， e l 差 ， l ，试求 的值． 27. 已知等差数列 的首项 l 香 ，公差 l݊ 香 ，前 项和 l݊ ，求 的值． 28. 已知等差数列 的首项 和公差 数 均为整数，其前 项和为 ． (1)若 l ，且 ， 差 ， 成等比数列，求数列 的通项公式； (2)若对任意 ，且 香 时，都有 香 ，求 的最小值． 29. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 数 l ， 数 l 数 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 l e ，是否存在 、 （ ᦙ 䁥䁥 ），使得 䁥䁥 成等比数列？若存 在，求出所有符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由． 30. 给定常数 ᦙ 数 ，定义函数 l e e 差 ݊ e ，数列 䁥䁥䁥 满足 e l 䁥 ． (1)若 l݊ ݊ ，求 及 ； (2)求证：对任意 䁥e ݊ ； (3)是否存在 ，使得 䁥䁥䁥䁥 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存在， 说明理由． 31. 数列 的前 项和 l 数数 ݊ （ ）． (1)求证： 是等差数列； (2)设 l ，求数列 的前 项和． 32. 已知等比数列 与数列 满足 l 䁥 ． (1)判断 是什么数列?并给出证明； (2)若 ͺ e l ，求 数 ． 33. 已知二次函数 l ݊ 数 ݊ e ݊ 香 e 数数 ． (1)设函数 l 的图象顶点的横坐标构成数列 ，求证：数列 是等差数列； (2)设函数 l 的图象顶点到 轴的距离构成数列 ，求数列 的前 项和 ． 34. 已知函数二次函数 l e 数 ݊ e ݊ 香 e 数数 ，其中 ． (1)设函数 l 的图象的顶点的横坐标构成数列 ，求证：数列 为等差数列； (2)设函数的图象的顶点到 轴的距离构成数列 ，求数列的前 项和． 35. 已知等差数列 的前 项和为 ， l݊ ， 差 l݊ 差 ． (1)求数列 的通项公式． (2)当 为何值时， 取得最小值． 36. 设等差数列 的前 项和为 ． (1)若首项 l ，公差为 l ，求满足 l 的正整数 ． (2)求所有等差数列 ，使对一切正整数 都有 l 成立． 37. 在等差数列 中， l ，前 项和 满足条件 l 差 ． (1)求数列 的通项公式和 ； (2)记 l ݊ ，求数列 的前 项和 ． 38. 若关于 的方程 ݊ e l 数 和 ݊ e l 数 （ ）的四个根可组成首项为 差 的等 差数列，求 e 的值． 39. 已知等差数列 中， l ， 差 l ，试问 是否是此数列的项？若是，是第几 项？若不是，请说明理由． 40. 在我国古代， 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与 相关 的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高层的中心是一块天心 石，围绕它的第一圈有 块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 块，共有 圈，请问： (1)第 圈共有多少块石板？ (2)前 圈一共有多少块石板？