2019-2020学年广西百色市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广西百色市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020 学年广西百色市高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 =（ ） A．{-2，-1} B．{-2} C．{-1，0，1} D．{0，1} 【答案】D 【解析】由交集定义求解． 【详解】 故选：D. 【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题． 2． 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用诱导公式化负角为正角，化大角为小角，最终化为锐角的三角函数． 【详解】 ． 故选：A. 【点睛】 本题考查诱导公式，掌握三角函数诱导公式是解题基础． 3．函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据公式 求最小正周期． 【详解】 { }1 0A x x= + > { }2, 1,0,1B = − − A B { } { } { }1 2, 1,0,1 0,1A B x x∩ = > − ∩ − − = ( )sin 675− ° 2 2 1 2 2 2 − 1 2 − ( ) ( ) ( ) 2sin 675 sin 675 sin 360 2 45 sin 45 sin 45 2 − ° = − ° = − °× − ° = − − ° = ° = 1 π2cos 23 4y x= − +     − 2π π 3 6π 3π 2T π ω= 函数 的最小正周期 ． 故选：C. 【点睛】 本题考查三角函数的周期，对函数 ，其最小正周期是 ． 4．已知函数 （其中 ， 为非零常数），若 ，则 的值为（ ） A．31 B．17 C．-17 D．15 【答案】B 【解析】根据奇函数的定义求函数值． 【详解】 ∵ 为奇函数，∴ ，∴ 故选：B. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性，属于基础题． 5．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数 f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即 可． 【详解】 ∵函数 f（x）= +lg（3x+1）， ∴ ； 1 π2cos 23 4y x= − +     − 2π 2π 6π1 3 T ω= = = − ( ) sin( )f x A x kω ϕ= + + 2T ω π= ( ) 3f x ax bx= + a b ( )7 17f − = − ( )7f ( )f x ( ) ( )7 77 1f f− = −− = ( )7 17f = ( ) ( )23 lg 3 1 1 xf x x x = + + − 1 ,3  − +∞   1 ,13  −   1 1,3 3  −   1, 3  −∞ −   23 1 x x− 1 0 3 1 0 x x −  + ＞ ＞ 解得﹣ ＜x＜1， ∴函数 f（x）的定义域是（﹣ ，1）． 故选 B． 【点睛】 本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式 组，是基础题目． 6．已知函数 则 =（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】先求 ，注意选取的表达式为 ，然后再计算 要选取 计算． 【详解】 ∵函数 ，∴ ， ． 故选：C. 【点睛】 本题考查分段函数，解题时要注意自变量在不同范围内选取的表达式不相同． 7．函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B．（0，0） C． D． 【答案】D 【解析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称中心求 解． 【详解】 ，令 ，解得 ， 1 3 1 3 ( ) 2 2, 0 3, 0 x xf x x x  + ≥=  + < ( )( )1f f − ( 1)f − 3x + ( ( 1))f f − 2 2x + ( ) 2 2, 0 3, 0 x xf x x x  + ≥=  + < ( )1 1 3 2f − = − + = ( )( ) 2( )1 62 22f f f = +− = = sin 3 cosy x x= − π ,06  −   π ,06      π ,03      1 3 π2( sin cos ) 2sin2 2 3y x x x = − = −   π π,3x k k Z− = ∈ ππ ,3x k k Z= + ∈ 令 ，得 .即图象的一个对称中心是 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数的对称性，解题时需要把函数化为一个角的一个三角函数形式，即 形式，然后由正弦函数性质求解． 8．若幂函数 的图象过点 ，则函数 的零点是（ ） A． B．（9，0） C． D．9 【答案】D 【解析】把点 坐标代入幂函数解析式求出指数，得幂函数解析式，然后解方程 可得所求零点． 【详解】 ∵幂函数 的图象过点 ，∴ ，解得 ， ∴ ∴ 由 ，得 ． 故选：D. 【点睛】 本题考查幂函数的解析式，考查函数零点的概念．属于基础题． 9．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1 的代换“，整式除以 ，再进行化简． 【详解】 解： ， 将 ，代入得，原式 ． 故选：A． 【点睛】 0k = π 3x = π ,03      ( ) sin( )f x A x kω ϕ= + + ( )f x xα= ( )2, 2 ( ) ( ) 3g x f x= − ( )3,0 3 (2, 2) ( ) 3 0f x − = ( )f x xα= (2, 2) 2 2α = 1= 2 α ( ) 1 2f x x= ( ) 1 2 3g x x= − ( ) 1 2 3 0g x x= − = 9x = 1 2tanθ = − 2cossin cosθ θ θ− 6 5 − 3 5 − 3 5 6 5 2 2sin cosθ θ+ 2 2 2 2 2 cos 1cos sin cos tan 1 sin cos tansin cos θ θ θ θθ θ θ θ θ θ − −− = =+ + 1 2tanθ = − 6 5 = − 本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题． 10．函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 的定义域为 且单调递减，故选 C. 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档 题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最 常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还 有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 等. 11．已知 ， ， 为坐标原点，点 C 在∠AOB 内，且 ，设 ，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，设 ，则 ， 又 ， ，根据向量的坐标运算知 ， 所以 . 本题选择 C 选项. 点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行 向量的加、减或数乘运算． 12．设 ， ，则 42log (1 )y x－= { }1x x < , , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → → ( )3,0A − ( )0,2B O 45AOC∠ =  ( ) ( )1 ROC OA OBλ λ λ= + − ∈   λ 1 5 1 3 2 5 2 3 45AOC∠ =  ( ),C x x− ( ),OC x x= − ( )3,0A − ( )0,2B ( ) ( )1 3 ,2 2OA OBλ λ λ λ+ − = − −  3 2 2 2 5 x x λ λλ = − ⇒ =− = − 0.2log 0.3a = 2log 0.3b = A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【详解】 分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选 B. 点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题． 二、填空题 13．已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 m －3 与 ＋(2－m) 共线，则 实数 m 的值为___． 【答案】－1 或 3 【解析】利用向量共线定理即可得出． 【详解】 由题意知 m －3 ＝λ[ ＋(2－m) ]， ∴ 解得 m＝－1 或 m＝3. 故答案为－1 或 3. 【点睛】 本题考查了向量共线定理，属于基础题． 14．已知函数 的定义城为[0，3]，则函数 的定义城为______． 【答案】[－1，2] 0a b ab+ < < 0ab a b< + < 0a b ab+ < < 0ab a b< < + 0.2 21 1log0.3 , 0.3loga b = = 1 1 a b + 0.3 0.3log0.2 , 2a b log= = 0.2 21 1log0.3 , 0.3loga b ∴ = = 0.3 1 1 0.4loga b ∴ + = 1 10 1a b ∴ < + < 0 1a b ab +< < a 0,b 0> < ab 0∴ < ab a b 0< + < a b a b a b a b a b ( )3 2 m m λ λ = − = − ( )1f x − ( )f x 【解析】求出 中 的取值范围． 【详解】 由 ，得 ，所以函数 的定义域是[－1，2]． 故答案为：[－1，2]． 【点睛】 本题考查抽象函数的定义域，考查函数的概念．掌握函数的定义是解题关键． 15．计算： __________． 【答案】 【解析】原式= ,故填 . 16．已知函数 是定义在（-2，2）上的奇函数且是减函数，若 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】由奇函数定义把不等式化为 ，再由单调性求解，注意函 数的定义域． 【详解】 由题意知 解得 ， ∵函数 为奇函数，由 ，得 ∵函数 在（－2，2）上是减函数，∴ ，解得 ∴实数 的取值范 围是 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，利用奇函数性质把不等式化为 形式， 然后由单调性求解，是这类问题的常用方法． 三、解答题 ( 1)f x − 1x − 0 3x≤ ≤ 1 1 2x− ≤ − ≤ ( )f x ( )f x ( ) ( )1 1 2 0f m f m− + − ≥ m 30, 2     ( ) ( )1 2 1f m f m− ≥ − 2 1 2, 2 1 2 2, m m − < − < − < − < 1 3 2 2m− < < ( )f x ( ) ( )1 1 2 0f m f m− + − ≥ ( ) ( )1 2 1f m f m− ≥ − ( )f x 1 2 1m m− ≤ − 0m ≥ m 30, 2     30, 2     1 2( ) ( )f x f x< 17．已知集合 A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3  + > 3 1x− < < ( )20 1 4 4x< − + + ≤ ( )21 4t x= − + + ( ]0,4t ∈ 1 2 logy t= ( ]0,4t ∈ min 1 2 log 4 2y = = − ( )f x [ )2,− +∞ ( )cos2 ,sina α α= ( )1,2sin 1b α= − π ,π2 α  ∈   2 5a b⋅ =  ． 【答案】 【解析】由数量积的坐标运算，二倍角公式可求得 ，从而又可得 ， 把待求式用两角和的余弦公式展开，用降幂公式化简分母后代入刚才所求值可得． 【详解】 ∵ ， ∴ . ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ . 【点睛】 本题考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，两角和的余弦公式，同角间的三角 函数关系式，考查知识点较多，属于中档题． 21．某市有 ， 两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同， 俱乐部每张球台每小时 5 元， 俱乐部按月收费，一个月中 以内（含 ）每张 球台 90 元，超过 的部分每张球台每小时加收 2 元.某学校准备下个月从这两家中的 一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于 ，也不超过 ． （1）设在 俱乐部租一-张球台开展活动 的收费为 元 ，在 俱 乐部租一张球台开展活动 的收费为 元 ，试求 和 的解 析式； （2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么? 2 π5 2 sin 2 4cos 4 2cos 2 α α α  − +   10 2− sinα cos ,sin 2α α ( ) 22sin co 2cos2 sin 1 2sin sin 1 sin 5s2a b α α α α α α α⋅ = + − + − = −= =  3sin 5 α = π ,π2 α  ∈   4cos 5 α = − 24sin 2 2sin cos 25 α α α= = − ( ) 2 π4cos 2 2 cos si5 2 sin 2 5 2 sin 2 1 cos2 n cos 2 4 α α α α α α α  − + − +  − = 24 4 35 2 2 225 5 5 10 241 5    × − − − −      = = − − A B A B 30h 30h 30h 15h 40h A hx ( )f x 15 4( )0x≤ ≤ B hx ( )g x 15 4( )0x≤ ≤ ( )f x ( )g x 【答案】（1） ； （2）当 时，选择 俱乐部比较合算；当 时，两家都一样；当 时， 选择 俱乐部比较合算. 【解析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式． （2）比较 和 的大小可得（可先解方程 ，然后确定不同范围内两 个函数值的大小． 【详解】 （1）由题意可得 当 时， ， 当 时， ， ∴ （2）当 时， ， ，∴ ； 当 时， ； 当 时， ，而 ，∴ ； 当 时， ，而 ， ∴ . ∴当 时，选择 俱乐部比较合算； 当 时，两家都一样； 当 时，选择 俱乐部比较合算。 【点睛】 本题考查函数的应用，考查分段函数模型的应用，属于基础题． 22．已知二次函数 满足 ，且 . （1）求 的解析式； （2）设函数 ，当 时，求 的最小值； （3）设函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 ( ) ( )5 15 40f x x x= ≤ ≤ ( ) 90,15 30, 2 30,30 40, xg x x x ≤ ≤=  + < ≤ 15 18x≤ < A 18x = 18 40x< ≤ B ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x= ( ) ( )5 15 40f x x x= ≤ ≤ 15 30x≤ ≤ ( ) 90g x = 30 40x< ≤ ( ) ( )90 30 2 2 30g x x x+ − × += ＝ ( ) 90,15 30, 2 30,30 40, xg x x x ≤ ≤=  + < ≤ 15 18x≤ < ( )75 90f x≤ < ( ) 90g x = ( ) ( )f x g x< 18x = ( ) ( ) 90f x g x= = 18 30x< ≤ ( ) 90g x = ( ) 5 5 18 90f x x= > × = ( ) ( )f x g x> 30 40x< ≤ ( ) 2 30 2 40 30 110g x x + ≤ × + == ( ) 5 5 30 150f x x= > × ＝ ( ) ( )f x g x> 15 18x≤ < A 18x = 18 40x< ≤ B ( )f x (0) 2f = ( 1) ( ) 2 3f x f x x+ − = + ( )f x ( ) ( ) 2h x f x tx= − [1, )x∈ +∞ ( )h x 1 2 ( ) logg x x m= + 1 [1,4]x ∈ 2 [1,4]x ∈ 成立，求 m 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】(1) 根据二次函数 ,则可设 ,再根据题中所给的 条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可. (2)根据(1)中所求的 求得 ,再分析对称轴与区间 的 位置关系进行分类讨论求解 的最小值即可. (3)根据题意可知需求 与 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的 单调性求解最小值即可. 【详解】 (1)设 . ①∵ ,∴ , 又∵ , ∴ ,可得 , ∴ 解得 即 . (2)由题意知, , ,对称轴为 . ①当 ,即 时,函数 h(x)在 上单调递增, 即 ； ②当 ,即 时,函数 h(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 即 . 综上, (3)由题意可知 , ∵函数 在 上单调递增,故最小值为 , 函数 在 上单调递减,故最小值为 , ( ) ( )1 2f x g x> 2( ) 2 2f x x x= + + min 2 5 2 , 2,( ) 2 1, 2. t th x t t t −= − + + >  7m < ( )f x 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( )f x 2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + [1, )+∞ ( )h x ( )f x ( )g x 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (0) 2f = (0) 2f c= = ( 1) ( ) 1f x f x x+ − = + 2 2( 1) ( 1) 2 2 2 3a x b x ax bx x+ + + + − − − = + 2 2 3ax a b x+ + = + 2 1, 3, a a b =  + = 1 2 a b =  = ， ， 2( ) 2 2f x x x= + + 2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + [1, )x∈ +∞ 1x t= − 1 1t −  2t [1, )+∞ min( ) (1) 5 2h x h t= = − 1 1t − > 2t > [1, 1)t − [ 1, )t − +∞ 2 min( ) ( 1) 2 1h x h t t t= − = − + + min 2 5 2 , 2,( ) 2 1, 2. t th x t t t −= − + + >  min min( ) ( )f x g x> ( )f x [1,4] min( ) (1) 5f x f= = ( )g x [1,4] min( ) (4) 2g x g m= = − + ∴ ,解得 . 【点睛】 本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系 求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型. 5 2 m> − + 7m <