上海市闵行七校2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市闵行七校2020届高三上学期期中考试数学试题

闵行区七校联考高三期中数学卷 一. 填空题 ‎1.已知角的终边经过点，且，则的值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数定义得到答案.‎ ‎【详解】角的终边经过点，‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.‎ ‎2.函数的定义域为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 定义域满足，计算得答案.‎ ‎【详解】函数定义域满足 解得且 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.已知幂函数存在反函数，且反函数过点，则的解析式是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反函数性质得到函数过点，代入幂函数得到答案.‎ ‎【详解】反函数过点，则函数过点 ‎ 设幂函数代入点得到，解析式为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.‎ ‎4.展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为 _________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过二项式系数和计算得到，再利用二项式定理展开得到答案.‎ ‎【详解】展开式的二项式系数之和为 ‎ ‎ ，当时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.‎ ‎5.已知，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，‎ 所以，=。‎ 考点：本题主要考查三角函数诱导公式。‎ 点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。‎ ‎6.已知△的内角、、的对边分别为、、，且△的面积为，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理得到，代入面积公式化简得到，得到答案.‎ ‎【详解】根据余弦定理得到 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生对于面积公式，余弦定理的灵活运用.‎ ‎7.若，已知，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数，判断为奇函数，代入数据利用奇函数性质得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 设 ，则，为奇函数 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数值的计算，构造，利用函数的奇偶性性质是解题的关键.‎ ‎8.设、是非空集合，定义：且，已知，，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A，再根据定义得到答案.‎ ‎【详解】或，‎ 且或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.‎ ‎9.已知函数，，若任意，都成立，则实数的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简不等式得到恒成立，再计算得到答案.‎ ‎【详解】函数，，即 ‎ 恒成立， 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，转化为二次函数与轴的交点问题是解题的关键.‎ ‎10.若将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法_________种 ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用捆绑法计算得到答案.‎ ‎【详解】将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法共有： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，熟练掌握排列组合中的常规方法是解题的关键.‎ ‎11.设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 _________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数为周期是4的周期函数，再根据偶函数画出函数在上的图像，根据图像得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】对于任意的,都有，函数是一个周期函数，且 当时，，且函数是定义在R上的偶函数 故函数在区间上的图象如下图所示: ‎ 若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，‎ 即与恰有个不同的交点，由图像可得：‎ ‎，解得:‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化是函数的交点是解题的关键，综合考查了函数的奇偶性，周期性，函数图像，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎12.如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，根据图像得到不等式 或，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出函数的图像.‎ 函数在定义域的某个子区间上不存在反函数 则满足： 或 解得： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的相关问题，画出图像是是解题的关键，直观简洁.‎ 二. 选择题 ‎13.“成立”是“成立”（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵x(x－5)<0⇒00,a≠1)在R上是奇函数，‎ ‎∴f(0)=0，∴k=2，‎ 经检验k=2满足题意，‎ 又函数为减函数，‎ 所以，‎ 所以g(x)=loga(x+2)‎ 定义域为x>−2，且单调递减，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先观察原图形面积増长的速度，然后根据増长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可.‎ ‎【详解】根据图象可知在上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除；‎ 在上面积增长速度恒定，在上面积增长速度恒定，而在上面积增长速度大于在上面积增长速度，可排除,故选.‎ ‎【点睛】本题主要考査了函数的图象意义与实际应用，同时考査了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ 三. 解答题 ‎17.若集合且.‎ ‎（1）若，求集合；‎ ‎（2）若（），求集合.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的定义域和单调性满足，计算得到答案.‎ ‎（2）先计算，再根据题意解不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）则 满足： 解得：或 ，即或 集合为 ‎（2），‎ 满足解得：‎ 集合为 ‎【点睛】本题考查了集合的化简与对数不等式，考查了组合数与排列数的运算公式，其中解对数不等式时忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及最值；‎ ‎（2）令，其中，若为偶函数，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），最小值为，最大值为2‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到计算得到答案.‎ ‎（2）先得到，函数为偶函数得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 最小正周期为，最小值为2，最大值为2‎ ‎（2）为偶函数 则，当时，有最小值为 ‎【点睛】本题考查了三角函数周期，最值，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质和三角恒等变换的灵活运用.‎ ‎19.围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建围墙的总费用为（单位：元），试确定的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.‎ ‎【答案】当时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小为10440元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数表达式为，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】如图，设矩形的另一边长为，则 ‎，由已知，得 所以.‎ ‎，所以，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数和不等式，用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题.‎ ‎20.已知函数（）.‎ ‎（1）求证：函数增函数；‎ ‎（2）若函数在上的值域是（），求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，然后利用单调性的定义证明.‎ ‎（2）由（1）得，函数是增函数，利用 转化为方程运用韦达定理即可.‎ ‎（3）把不等式变形为，然后定义新函数并运用二次函数的性质即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）设，则 由于，故，‎ 因此，即 故该函数为增函数.‎ ‎（2）由（1）得，函数是增函数，则 ，即 ，‎ 所以 可视为方程两个不同的正实数根 ‎，解得，即实数的取值范围是.‎ ‎（3）不等式，即 因为，上述不等式化为，‎ 令，则其图象对称轴为，讨论两种情况：‎ ‎①  ，解得；‎ ‎② 即 解得：.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性证明和应用，存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎21.已知为定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、（），称为的特征根.‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）已知为给定实数，求的表达式；‎ ‎（3）把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析 ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，判断为奇函数；当时，取和，非奇非偶函数，得到答案.‎ ‎（2）根据韦达定理得到，代入表达式化简得到答案.‎ ‎（3）先证明在内单调递增，，代入不等式得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，是奇函数 当时，，‎ 且，是非奇非偶函数 综上所述：时，为奇函数；时，是非奇非偶函数.‎ ‎（2）恒成立 ‎ ‎        ‎ ‎   ‎ ‎（3）先证明上是递增函数，设 ‎  ‎ 由（2）可知：、是方程的两个实根，‎ 又 ‎      ‎ 在内单调递增 ， ‎ ‎ 恒成立      ‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数表达值，恒成立问题，判断函数的单调性是解题的关键.‎ ‎ ‎