上海市松江区2020届高三5月模拟考质量监控测试数学试题

上海市松江区2020届高三5月模拟考质量监控测试数学试题

松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2020.5 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择 题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零 分． 1．若集合 ， ，则 = ▲ ． 2．已知复数 ， （ 是虚数单位），若 是纯虚数，则实数 = ▲ ． 3．已知动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，则点 的轨迹方程为 ▲ ． 4．等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 = ▲ ． 5．若 的展开式中 项的系数为 ，则实数 = ▲ ． 6．已知数列 的首项 ，且满足 ，数列 的前 项和为 ，则 ▲ ． 7．用半径为 米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米． 8．若函数 是偶函数，则 = ▲ ． 9．已知等边 的边长为 ，点 是其外接圆上的一个动点，则 的取值范围 是 ▲ ． 10．已知函数 ，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则 的最小值为_ ▲ ． 11．已知集合 ，元素 称为集合 的特征元素．对于 中的元素 与 ，定义： ．当 时，若 是集合 中的非特征元素，则 {2,4,6,8}=A 2{ | 4 0}= − ≤B x x x A B 1z = a + 2i 2z 2 3i= + i 1 2z z⋅ a P (1,0) : 1l x = − P { }na n nS 1 5 3 74, 12a a a a+ = + = 7S 8( )x a+ 5x 56 a { }na 1 1=a 1 01 2 + =n na a *( )n N∈ { }na n nS lim→∞ =nn S 2 2( ) log (2 1)xf x kx= + + k ABC∆ 2 3 P PA PB⋅  ( ) cos(2 )6 π= −f x x 1 [ , ]4 4 π π∈ −x 2 [ , ]x m n∈ 1 2( ) ( ) 0+ =f x f x −m n 1 2{( , , , ) 1, 1,2, , }= = ± = n n iA x x x x i n 1 (1,1, ,1)= n nA nA 1 2( , , , )=  na a a a 1 2( , , , )=  nb b b b 1 1 2 2( )⊗ = × + × + + ×n n nf a b a b a b a b 9=n a 9A 的概率为 ▲ ． 12．已知函数 且 为常数 和 且 为常 数 ，有以下命题： ①当 时，函数 没有零点； ② 当 时， 恰有 3 个不同的零点 ，则 ； ③对任意的 ，总存在实数 ，使得 有 4 个不同的零点 ，且 成等比数列． 其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 13．若 为坐标原点， 是直线 上的动点，则 的最小值为 (A) (B) (C) (D) 14．若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 或 15．在正方体 中， 、 两点分别从点 和点 出发，以相同的速度在棱 和 上运动至点 和点 ，在 运动过程中，直线 与平面 所成角 的变化范围为 (A) (B) (C) (D) 16．已知实数 ，且 ，则当 取 得最大值时， 这 个数中，值为 的个数为 (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个 9 9(1 ) 1f a⊗ = 2 0( ) log ( ) 0 ax xf x x x x  + >=   − < (a R∈ a ) ( ) (g x k k R= ∈ k ) 0k < ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 0x < 2( ) ( ) ( )h x f x b f x c= + ⋅ + 1 2 3, ,x x x 1 2 3 1x x x⋅ ⋅ = − 0k > a ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 1 2 3 4x x x x< < < 1 2 4 3, , ,x x x x O P 2 0− + =x y OP 2 2 2 3 2 1− ≤x a 1 2≤ ≤x a 1 2≤ ≤a 1a ≥ 2≤a 1≥a 2≤a 1 1 1 1ABCD A B C D− P Q B 1A BA 1 1A D A 1D PQ ABCD θ [ , ]4 3 π π 2[arctan ,arctan 2]2 [ ,arctan 2]4 π 2[arctan , ]2 2 π 1 2 100, , , [ 1,1]x x x ∈ − 1 2 100x x x π+ + + = 2 2 2 1 2 100x x x+ + + 1 2 100, , ,x x x 100 1 50 51 52 53 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， 是侧棱 的中点． （1）求异面直线 与 所成的角； （2）求点 到平面 的距离． 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 已知函数 ． （1）求 的最大值和最小正周期 ； （2）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且 ，求 面积的最大值． 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提 供 (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司 在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万套)，其中 为工厂 工人的复工率（ ）．A 公司生产 万件防护服还需投入成本 (万 元) ． （1）将 A 公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数； （2）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确 到 0.01）. −P ABCD ⊥PA ABCD 2AP AB AD= = = E PB AE PD B ECD 2( ) 2cos 2 3sin cos= +f x x x x ( )f x T ∆ABC A B C a b c ( ) 32 =Af 1=a ∆ABC ( [0,10])∈x x x 126 4t k x  = ⋅ − +  k [0.5,1]k ∈ t (20 8 50 )+ +x t y x [0,10]∈x k P A E B C D 20．(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 6 分． 如图，已知椭圆 经过圆 与 轴的两个 交点和与 轴正半轴的交点． （1）求椭圆 的方程； （2）若点 为椭圆 上的动点，点 为圆 上的动点，求线段 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点，且满足 ，求证：线段 的中点 在定直线上． 21．(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 8 分． 已知函数 的定义域为 ，若存在实常数 及 ，对任意 ，当 且 时，都有 成立，则称函数 具有性质 . （1）判断函数 是否具有性质 ，并说明理由； （2）若函数 具有性质 ，求 及 应满足的条件； （3）已知函数 不存在零点，当 时具有性质 （其中 ）， 记 ,求证：数列 为等比数列的充要条件是 或 . 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 2 2: ( 1) 4N x y+ + = x y M P M Q N PQ l M A B、 N C D、 AC DB=  AB E ( )f x D λ ( 0)a a ≠ x D∈ x a D+ ∈ x a D− ∈ ( ) ( ) ( )f x a f x a f xλ+ + − = ( )f x ( , )λM a 2( )f x x= ( , )λM a ( ) sin2 sing x x x= + ( , )λM a λ a ( )=y h x ∈x R 1( ,1)+M t t 0, 1> ≠t t ( )na h n= *( )∈n N { }na 2 1 a ta = 2 1 1a a t = 松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学参考答案 一．填空题 1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2 7． 8． 9． 10． 11． 12．② 二、选择题 13．B 14．A 15．C 16．B 三．解答题 17．如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， 是侧棱 的中点． （1）求异面直线 AE 与 PD 所成的角； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离． 解：（1）连 AC、BD，两直线交于点 O，连 EO， 因为 E、O 分别是 PB、DB 的中点，所以 EO//PD， 所以 就是异面直线 AE 与 PD 所成的角 …………3 分 因为 为正方形，且 ， 所以 …………4 分 所以 …………6 分 （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ ，点 E 是棱 PB 的中点， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ，…………8 分 设平面 ECD 的法向量 ， 则由 得 取 z＝2，得 ，…………11 分 ∴点 B 到平面 ECD 的距离： {2,4} 2 4=y x 28 3 3 π 1 2 − [ 2,6]− 3 π 18 73 −P ABCD ⊥PA ABCD 2AP AB AD= = = E PB ∠AEO ABCD 2AP AB AD= = = 1 22 = = = =AE AO EO PD 60∠ = °AEO 2AP AB AD= = = (2,0,0)B (0,0,2)P (1,0,1)E (0,2,0)D (2,2,0)C (0,2,0)=BC (2,0,0)=DC (1, 2,1)DE = − ( , , )=n x y z 0 0  ⋅ = ⋅ =    n DC n DE { 2 0 2 0 x x y z = − + = (0,1,2)n = …………14 分 18．已知函数 ． （1）求 的最大值和最小正周期 ； （2）在 中，内角 、 、 的所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且 ，求 面积的最大值. 解：（1） ………4 分 ∴ ， ………………………………5 分 ………………………………6 分 （2）由 得 因为 ，所以 ，得 ， ………………8 分 因为 ，由余弦定理，得 ，………………10 分 由 得 ，当且仅当 时取得等号………12 分 ∴ 面积 ， ∴ 面积的最大值为 ………………14 分 19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提 供 (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司 在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工 人的复工率（ ）．A 公司生产 万件防护服还需投入成本 (万 元) ． （1）将 A 公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数； （2）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时， A 公司才能不产生亏损？（精确 到 0.01）. 2 2 555 BC n d n ⋅ = = =    2( ) 2cos 2 3sin cos= +f x x x x ( )f x T ∆ABC A B C a b c ( ) 32 =Af 1=a ∆ABC 2( ) 2cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin 2 1 2sin(2 )6 π= + = + + = + +f x x x x x x x max ( ) 3=f x 2 2 π π= =T ( ) 32 =Af sin( ) 16A π+ = (0, )A π∈ 6 2A π π+ = 3A π= 1=a 2 21 2 cos 3b c bc π= + − 2 21 2b c bc bc bc bc= + − ≥ − = 1bc ≤ b c= ∆ABC 1 1 3 3sin2 2 2 4ABCS bc A bc∆ = = ⋅ ≤ ∆ABC 3 4 ( [0,10])∈x x x 126 4t k x  = ⋅ − +  k [0.5,1]k ∈ t (20 8 50 )+ +x t y x [0,10]∈x k 解：（1） ………………4 分 ， …………6 分 （2）若对任意的 ，公司都不产生亏损， 则 在 恒成立 …………8 分 即 ，记 ，则 ， 此时 由于函数 在 单调递增 …………10 分 所以当 时， …………12 分 ∴ 即当工厂工人的复工率达到 时，对任意的 ，公司都不产生亏损. ……14 分 20．如图，已知椭圆 经过圆 与 轴的两个 交点和与 轴正半轴的交点． （1）求椭圆 的方程； （2）若点 为椭圆 上的动点，点 为圆 上的动点，求线段 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点，且满足 ，求证：线段 的中点 在定直线上． 解：（1）在方程 中，令 ，解得 .令 ，解得 .. 椭圆 方程为： .…………4 分 （2） …………6 分 设 ， ，则 …8 分 80 (20 8 50 ) 30 20 8= − + + = − −y t x t t x 12 36030 (6 ) 20 8 180 8 204 4 = − − − = − − −+ + kk x k xx x [0,10]x∈ [0,10]∈x 360180 8 20 04 − − − ≥+ kk xx [0,10]∈x 1 ( 4)(2 5) 45 2 + +≥ ⋅ + x xk x 2= +t x [2,12]∈t ( 4)(2 5) ( 2)(2 1) 22 52 + + + += = + ++ x x t t tx t t 2( ) 2 5= + +f t t t [2,12]t ∈ [2,12]∈t max 1( ) (12) 29 29.1676f t f= = + ≈ 1 29.167 0.64845 ≥ × ≈k 0.65 [0,10]∈x 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 2 2: ( 1) 4N x y+ + = x y M P M Q N PQ l M A B、 N C D、 AC DB=  AB E 2 2( 1) 4x y+ + = 0, 0y x= > 3, 3x a= ∴ = 0, 0x y= > 1, 1y b= ∴ = ∴ M 2 2 13 x y+ = | | | | | | | | 2PQ PN NQ PN≤ + = + ( , )P x y (0, 1)N − 2 2 2 2 2 21 9| | ( 1) 3 3 ( 1) 2 2 4 2( )2 2PN x y y y y y y= + + = − + + = − + + = − − + N • A P D O x y Q C B E· 时， …………10 分 （3）解法一：设 …………12 分 设 ，代入 得： 即： 代入 得： 即 …………14 分 ， 所以点 E 在直线 上 …………16 分 解法二：设 …………12 分 也是弦 的中点， 2 1 2 1 2 2 1( ) 2 3 2 3( ) 2 13 3y y k x x m k m m m∴ + = + + = − + = − − + = 1 2y∴ = max 3| | 22PN = max 3| | 2 22PQ∴ = + 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y 3 1 3 1 2 4 2 4( , ), ( , )AC x x y y DB x x y y= − − = − −  3 1 2 4 3 1 2 4, ,AC DB x x x x y y y y= ∴ − = − − = −   1 2 3 4 1 2 3 4,x x x x y y y y∴ + = + + = + : ( 0)l y kx m k= + ≠ 2 2 13 x y+ = 2 2( ) 13 x kx m+ + = 2 2 2 1 2 2 1 2( ) 2 1 0, 13 3 kmk x kmx m x x k + + + − = ∴ + = − + 2 2( 1) 4x y+ + = 2 2( 1) 4x kx m+ + + = 2 2 2 3 4 2 2 ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1) 4 0, 1 k mk x k m x m x x k ++ + + + + − = ∴ + = − + 2 22 2 2 ( 1) 1 2,1 1 3 3 3 km k m k mkk +∴− = − ∴ + =++ 1 2 2 2 2 31 2 3 3 km kmx x k k m ∴ + = − = − = − + 3 1,2 2E Ex k y∴ = − = 1 2y = 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y 3 1 3 1 2 4 2 4( , ), ( , )AC x x y y DB x x y y= − − = − −  3 1 2 4 3 1 2 4, ,AC DB x x x x y y y y= ∴ − = − − = −   1 2 3 4 1 2 3 4,x x x x y y y y∴ + = + + = + E∴ CD , , | | | |EN DC EN AB AN BN⊥ ∴ ⊥ ∴ = N • A P D O x y Q C B E· …………14 分 代入化简，得： 所以点 E 在直线 上．…………16 分 21．已知函数 的定义域为 ，若存在实常数 及 ，对任意 ，当 且 时，都有 成立，则称函数 具有性质 ， 集合 叫做函数 的 性质集. （1）判断函数 是否具有性质 ，并说明理由； （2）若函数 具有性质 ，求 的 性质集； （3）已知函数 不存在零点，且当 时具有性质 （其中 ）， 若 ,求证：数列 为等比数列的充要条件是 或 . 解：（1）若函数 具有 性质，则存在实常数 及 ，使得 对任意的 都成立…………2 分 即： ，不合题意，舍 函数 不具有 性质 …………4 分 （2）由题意：存在实常数 及 ， 使得 对任意的 都成立 即： 化简，得： …(1)对任意的 都成立…………6 分 在(1)中令 ，得： ，代入(1)，得： 2 2 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1) ,x y x y∴ + + = + + 2 2 2 2 1 1 2 23 3 , 3 3x y x y= − = − 1 2 1 2 1 2 1 2( )( 1) 0, 0, 1y y y y y y y y− + − = − ≠ ∴ + = 1 2 1 1( )2 2Ey y y∴ = + = 1 2y = ( )f x D λ ( 0)a a ≠ x D∈ x a D+ ∈ x a D− ∈ ( ) ( ) ( )f x a f x a f xλ+ + − = ( )f x ( , )λM a {( , )}λ=M a ( )f x M 2( )f x x= ( , )λM a ( ) sin2 sing x x x= + ( , )λM a ( )g x M ( )=y h x ∈x R 1( ,1)+M t t 0, 1> ≠t t ( )na h n= *( )∈n N { }na 2 1 a ta = 2 1 1a a t = 2( )f x x= M λ ( 0)a a ≠ 2 2 2( ) ( )x a x a xλ+ + − = x 2 2 22 2x a xλ+ = 2, 0aλ∴ = = ∴ 2( )f x x= M λ ( 0)a a ≠ ( ) ( ) ( )g x a g x a g xλ+ + − = x [sin2( ) sin( )] [sin2( ) sin( )] (sin2 sin )x a x a x a x a x xλ+ + + + − + − = + (2cos2 )sin2 (2cos )sin 0a x a xλ λ− + − = x 2x π= 2cos 0a λ− = 2cos2 0a λ− = 所以 解得 或 …………8 分 所以 或 …………10 分 （3）证明：由函数 不存在零点，且具有性质 知， 对任意的 ，都有 即 ……① …………12 分 ∴ ， 记 ，则 ……② …………14 分 充分性：当 时， ，反复代入②式得 即对任意的 ，都有 ，∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 同理，当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列…………16 分 必要性：若数列 是等比数列，不妨设 ，则 又由①知 ∴ ， ∴ ，即 ∴ 或 即 或 . …………18 分 证法二 由函数 不存在零点，且具有性质 知， 对任意的 ，都有 2cos 0 2cos2 0 a a λ λ − =  − = 2 cos 1a λ =  = 1 1cos 2a λ = − = − 2 2 , 0,a k k k Z λ π =  = ≠ ∈ 1 22 ,3a k k Z λ π π = − = ± ∈ ( )=y h x 1( ,1)+M t t *2,≥ ∈n n N 1( 1) ( 1) ( ) ( )+ + − = +h n h n t h nt 1 1 1( )n n na a t at+ −+ = + 1 1 1n n n n a a ta a t + −+ = + 1n n n ab a += 1 1 1 n n b tb t− + = + *2,≥ ∈n n N 2 1 a ta = 1b t= 2 3, , ,nb t b t b t= = = *∈n N 1n n n ab ta += = { }na 1a t 2 1 1a a t = { }na 1a 1 t { }na 2 3 1 2 0a a sa a = = ≠ 2 1 1 1b sb s + = + 2 1 1 1b tb t + = + 1 1+ = +s ts t 1 1 −− = − = s ts t t s ts =s t 1=s t 2 1 a ta = 2 1 1a a t = ( )=y h x 1( ,1)+M t t *2,≥ ∈n n N 1( 1) ( 1) ( ) ( )+ + − = +h n h n t h nt 即 ……① …………12 分 对①变形可得如下两式 ……② ……③ 由②得 ……④ 由③得 ……⑤ ④-⑤得： ∴ …………16 分 当. 时， ，当 时， ，此时 是等比数列； 当 且 时，显然 不是等比数列． …………18 分 1 1 1( )n n na a t at+ −+ = + 1 1 1( )n n n na ta a tat+ −− = − 1 1 1 1( )n n n na a t a at t+ −− = − 1 1 1 2 2 12 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n na ta a ta a ta a tat t t+ − − − −− = − = − = = − 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n na a t a a t a a t a at t t t − + − − −− = − = − = = − 1 2 1 21 1 1 1( ) ( ) ( )n n nt a a ta t at t t − −− = − − − 1 2 2 12 2 1 1 1[ ( ) ( )]1 n n na t a a a tat t t −= − + −− ∴ 2 1 a ta = 1 1 n na a t −= 2 1 1a a t = 1 1n n aa t −= { }na 2 1 a ta ≠ 2 1 1a a t ≠ { }na