2018届高三数学一轮复习： 第6章 第4节 合情推理与演绎推理

2018届高三数学一轮复习： 第6章 第4节 合情推理与演绎推理

第四节　合情推理与演绎推理 ‎ [考纲传真]　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．‎ ‎1．合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 ‎2.演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)‎ ‎(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)‎ A．归纳推理　　　　　 B.类比推理 C．演绎推理 D.以上都不是 B　[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]‎ ‎3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1 B.an＝4n－3‎ C．an＝n2 D.an＝3n－1‎ C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]‎ ‎4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)‎ A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误 A　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]‎ ‎5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]‎ 归纳推理 ‎　(1)(2016·武汉4月调研)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是(　　)‎ A.　 B. C.　 D. ‎(2)(2016·山东高考)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ ‎(1)C　(2)n(n＋1)　[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.‎ ‎(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]‎ ‎[规律方法]　1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎2．归纳推理的一般步骤：‎ ‎(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；‎ ‎(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.‎ ‎(2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________. ‎ ‎【导学号：01772221】‎ 图641‎ ‎(1)nn(n∈N*)　(2)(n∈N*)　[(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ ‎(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为 (n∈N*)．]‎ 类比推理 ‎　(1)(2016·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝　　 B.dn＝ C．dn＝ D.dn＝ ‎(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．‎ 图642‎ ‎(1)D　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.‎ 法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.‎ ‎(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ ‎[变式训练2]　给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；‎ ‎④“若x∈R，则|x|<1⇒－1

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