上海市进才中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

上海市进才中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 进才中学高一期中数学卷 一、填空题 ‎1.设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．‎ ‎【答案】3，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集的定义写出A.‎ ‎【详解】全集2，3，4，5，，集合4，，‎ 则3，．‎ 故答案为：3，．‎ ‎【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．‎ ‎2.函数的值域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由配方法，对根号下的式子配方，即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ 所以函数的值域是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求复合函数的值域，熟记二次函数性质，用配方法处理即可，属于基础题型.‎ ‎3.已知，，则__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出和的定义域,再进行运算.‎ ‎【详解】解：由题可知,,解得,‎ ‎.‎ ‎,‎ 故答案为：,‎ ‎【点睛】本题考查函数的运算和定义域的约束条件,重点在于定义域的约束条件.‎ ‎4.已知不等式的解集为，则______‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．‎ ‎【详解】不等式的解集为，方程的实数根为2和3，‎ ‎，，；．‎ 故答案为：11．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．‎ ‎5.已知“”是“”的充分条件，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为“”是“”的充分条件，‎ 所以，因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由命题的充分条件求参数，熟记充分条件的定义即可，属于基础题型.‎ ‎6.已知函数，若，则实数为__________.‎ ‎【答案】-2或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对应法则，分类讨论即可得到结果.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴或 解得或 故答案为：2或 ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，考查分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎7.已知是奇函数，当时，，则当时，________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，得到，根据时的解析式，得到，再由函数奇偶性，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为当时，，‎ 设，则，所以，‎ 又是奇函数，‎ 所以，因此.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.‎ ‎8.若函数的定义域为，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得在上恒成立．‎ ‎①当时，则恒成立，‎ ‎∴符合题意；‎ ‎②当时，‎ 则，解得．‎ 综上可得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 答案：‎ 点睛：‎ 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．‎ ‎9.集合，，若，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合或，，根据，列出不等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为或，，‎ 又，所以，解得.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎10.函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到函数在上单调递增，；再由函数单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 又，所以，‎ 所以当时，由得：；‎ 当时，因为函数单调递减，由可得：；‎ 综上，使得的实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.‎ ‎11.，，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别计算，，，，得到，推出以为周期，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，，，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 因此以为周期，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数周期性的应用，根据题意得出函数周期即可，属于常考题型.‎ ‎12.函数是定义域为R的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成如图所示如果对任意，都有，那么的最大值是______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设抛物线的方程为，将代入计算可得a的值，进而令，解可得x的值，又由射线经过点和，可得射线的方程，求出的解，结合函数的图象分析可得上，满足的最大区间为，结合函数的奇偶性分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，当时，抛物线的图象的对称轴为，且最高点坐标为过， 设抛物线的方程为， 又由其经过点，则； 则， 若，解可得或2， 射线经过点和，其方程为，， 若，则， 故在上，满足的最大区间为， 又由函数为偶函数，则对任意，都有，则 那么的最大值是； 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的图象以及解析式的计算，属于综合题．‎ 二、 选择题 ‎13.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. （）与（）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】若两函数是同一函数，则定义域相同，对应关系一致；‎ A选项，函数定义域为，函数定义域为 ‎，定义域不同，所以不是同一函数，排除A；‎ B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，排除B；‎ C选项，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，排除C；‎ D选项，（）与（）定义域一致，且两函数均对应点，所以是同一函数.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查判断两函数是否为同一函数，熟记同一函数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎14.已知，原命题是“若，则中至少有一个不小于0”，那么原命题与其逆命题依次是（ ）‎ A. 真命题、假命题 B. 假命题、真命题 C. 真命题、真命题 D. 假命题、假命题 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题先判定原命题的真假性，然后写出逆命题，判定真假，即可。‎ ‎【详解】结合题意,显然原命题正确,逆命题为:若,则m,n中都小于0。显然这句话是错误的，比如，即可，故选A。‎ ‎【点睛】本道题考查了逆命题的改写，考查了命题真假判断，难度较容易。‎ ‎15.已知函数是定义在上的奇函数，下列函数中是奇函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以；‎ A选项，因为，所以是偶函数，排除A；‎ B选项，因为，所以是偶函数，排除B；‎ C选项，因为，所以是偶函数，排除C；‎ D选项，因为，所以是奇函数.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若 且2，，，满足集合B的个数记为，则　　‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．‎ ‎【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．‎ 三、解答题 ‎17.已知两个正数、满足，求的最小值.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到，由基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为、为正数，且，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最小值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎18.‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得 ‎，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎19.已知二次函数满足条件，（为已知实数）.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，，当时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；‎ ‎（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为二次函数满足条件，‎ 设二次函数，‎ 又，‎ 所以，‎ 因此，所以，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，‎ 解方程得或，‎ 当时，满足；‎ 当时，，由得，解得，‎ 所以；‎ 当时，，由得，解得，‎ 所以，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数（，常数）.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）当时为偶函数；当时既不是奇函数,也不是偶函数 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时,化简不等式,得到同解的一元二次不等式,然后求解即可；‎ ‎（2）对,讨论,利用函数奇偶性的定义判断即可.‎ ‎（3）在单调递减,则任取,根据函数单调性的定义,,分离出常数再求出取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎,‎ ‎（2）当,,对任意的,‎ ‎,‎ 为偶函数；‎ 当,,‎ 取,,‎ ‎,‎ 函数既不是奇函数,也不是偶函数；‎ ‎（3）在上任取,‎ 恒成立,‎ ‎,又，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法,不等式的同解变形,函数的奇偶性,分类讨论的思想.分类讨论的思想是我们经常遇到的,在分类讨论时,要做到“不重不漏",细心谨慎,才能够准确的把握题意.‎ ‎21.设集合为下述条件的函数的集合：①定义域为；②对任意实数，都有．‎ ‎（1）判断函数是否为中元素，并说明理由；‎ ‎（2）若函数是奇函数，证明：；‎ ‎（3）设和都是中的元素，求证：也是中的元素，并举例说明，不一定是中的元素．‎ ‎【答案】（1）为中元素，理由见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数的定义域为，运用作差法结合新定义，可判断出满足条件，即可得到结论；‎ ‎（2）根据，得到当时，，即可得证；‎ ‎（3）分别讨论对应点都在或上、分别在两个函数上两种情况，可验证出结论；举例，，取，‎ ‎，可验证出不符合条件，即可得到结论．‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，满足条件①‎ ‎，，‎ 即：，满足条件②‎ 函数是中元素 ‎（2）为奇函数，‎ 若当时，‎ 则，‎ ‎，不满足条件②，‎ ‎（3）①若对应点在或图象上 都是中的元素 ‎，‎ 可知结论必然成立 ‎②若对应的点一个在上，一个在上 或 题设结论成立 综上所述：是中元素 当，，满足均为中元素 当时，；当时，‎ 取，‎ ‎，‎ 又，‎ 存在不满足条件的情况，不一定为中的元素 ‎【点睛】本题考查新定义的理解与运用，涉及到函数奇偶性的应用、作差法和反例法的应用，考查学生的推理能力和计算能力，相对较抽象，属于中档题.‎ ‎ ‎