江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度第一学期期中抽测 高二数学试题 一、单选题：（本大题一共10道小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）‎ ‎1.数列3，6，11，20，…的一个通项公式为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的前面有限项，归纳出，得解.‎ ‎【详解】解:由数列3，6，11，20，…‎ 可得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了用不完全归纳法求数列的通项公式，属基础题.‎ ‎2.在等差数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差中项的性质得出的值，再利用等差中项的性质可得出的值.‎ ‎【详解】由等差中项的性质可得，，‎ 因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎3.已知，，则y的最小值为（ ）.‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，即，则，再结合重要不等式求最值即可.‎ ‎【详解】解：因为，所以，‎ 则，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了观察、处理数据的能力，属基础题.‎ ‎4.已知，，则p是q的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得，，再由集合是集合的真子集，即可得解.‎ ‎【详解】解：解不等式，得，得，‎ 解不等式，变形得：，解得，得，‎ 由集合是集合的真子集，‎ 可得p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法及命题间的充要性，属基础题.‎ ‎5.已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（ ）.‎ A. 63 B. 81 C. 99 D. 108‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由为等差数列的前n项之和，可得 也成等差数列，则，成等差数列，再将，代入运算即可.‎ ‎【详解】解：由为等差数列的前n项之和，‎ 则, 也成等差数列，‎ 则，成等差数列，‎ 所以，‎ 由，，‎ 得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎6.若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分离变量得在内有解，再构造函数，，再求其值域，再由函数的最值求实数a的取值范围即可得解.‎ ‎【详解】解：关于x的不等式在内有解，‎ 等价于，，‎ 设，，‎ 又，，‎ 所以，‎ 即实数a的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式有解问题，通常采用分离变量最值法，属基础题.‎ ‎7.已知数列3，y，x，9是等差数列，数列1，a，b，c，4是等比数列，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列3，y，x，9是等差数列，由等差数列的性质可得，由数列1，a，b，c，4是等比数列，由等比数列的性质可得，又，运算可得解.‎ ‎【详解】解：由3，y，x，9是等差数列，解得，‎ 由1，a，b，c，4是等比数列，则，‎ 又，‎ 则，‎ 即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列及等比数列的性质，属基础题.‎ ‎8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）‎ A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．‎ ‎【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．‎ ‎9.已知点在直线上，若存在满足该条件的a，b使得不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的最小值，再利用不等式有解问题，可得，再解不等式即可.‎ ‎【详解】解：因为点在直线上，‎ 则，即，‎ 则，‎ 当且仅当，即时取等号， ‎ 即，即，‎ 解得或，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式有解问题，重点考查了重要不等式的应用，属中档题.‎ ‎10.已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知数列的连续四项，从而可判断，再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公比.‎ ‎【详解】因为数列有连续四项在集合中，，所以数列有连续四项在集合中，所以数列的连续四项不同号，即.因为，所以，按此要求在集合中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.‎ 二、多选题：（本大题一共3道小题，每题4分，共12分，每题漏选得2分，错选或多选不得分）‎ ‎11.给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.‎ A. 若，则；‎ B. 若则；‎ C. 若，，则；‎ D. 若，，则.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.‎ ‎【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； ‎ 对于选项B，当时，，‎ 显然不成立，即选项B错误；‎ 对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；‎ 对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，‎ 即四个推段中正确的为AD，‎ 故答案为：AD.‎ ‎【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.‎ ‎12.下列命题的是真命题的是（ ）.‎ A. 若，则；‎ B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取特殊情况可得选项A,C错误，由同向不等式的可加性可得选项B正确，‎ 由不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不变，可得选项D正确.‎ 详解】解：对于选项A，取，显然不成立，即选项A错误；‎ 对于选项B，因为，则，又，则，即选项B正确；‎ 对于选项C，取，,显然不成立，即选项C错误；‎ 对于选项D，因为，则，则，即选项D正确，‎ 即命题是真命题的是BD,‎ 故答案为：BD.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.‎ ‎13.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）.‎ A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求得数列的通项公式及前项和，再利用定义法判断数列是否为等差数列或等比数列，得解.‎ ‎【详解】解：因为数列为等比数列，又，所以，又，‎ 所以或，又公比q为整数，则，‎ 即，， ‎ 对于选项A，由上可得，即选项A正确；‎ 对于选项B，，，则数列是等比数列，即选项B正确；‎ 对于选项C，，即选项C正确；‎ 对于选项D，，即数列是公差为1的等差数列，即选项D错误，‎ 即说法正确的是ABC，‎ 故答案为：ABC.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前项和的运算，重点考查了等差数列、等比数列的判定，属中档题.‎ 三、填空题：（本大题一共4道小题，每题4分，共16分）‎ ‎14.已知命题p：“∃x ∈ R，ex－x－1≤0”，则 为_____________．‎ ‎【答案】∀x∈R，ex－x－1＞0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全程命题可得结果.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全程命题，‎ 所以“”的否定为“”，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎15.在数列中，，，数列是等差数列.则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，由数列是等差数列，则是等差数列，‎ 则，再将已知条件代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解：设，则是等差数列，‎ 又，，所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎16.已知实数，，且，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由实数，，则，，且，‎ 再构造，利用重要不等式求最值即可.‎ ‎【详解】解：因为实数，，则，，且，‎ 则=，当且仅当取等号，‎ 即的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了对表达式数据的分析处理能力，属中档题.‎ ‎17.已知函数，，，若，都有，则实数m取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，，，若，都有 ‎，等价于，再求函数，，，，的最值即可得解.‎ ‎【详解】解：由，，则，‎ 由，，则，‎ 因为函数，，，若，都有，则，‎ 即，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式有解与恒成立问题，重点考查了函数的最值的求法，属中档题.‎ 四、解答题：（本大题一共6道题，共82分）‎ ‎18.记为等差数列的前n项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并指出当的取得最小值时对应的n的值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；取最小值-60时，n等于5或6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列通项公式的求法可得；‎ ‎（2）由等差数列前n项和公式可得，再结合二次函数的最值的求法即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）设数列的公差为d,则 ‎，，‎ ‎，‎ 解得：， ‎ ‎； ‎ ‎（2）由（1）得，， ‎ 由于，于是，当n取值或时，取最小值，‎ 故当n取值或时，取最小值，‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n项和及最值，属基础题.‎ ‎19.已知：函数 ‎（1）当时，求函数的定义域。‎ ‎（2）当函数的定义域为R时，求实数k的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取，解不等式，即可得解；‎ ‎（2）函数的定义域为R，则恒成立，再分别讨论当时，当时实数k的取值范围，得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，函数为，‎ 由得或，‎ 所以，此函数的定义域为； ‎ ‎（2）当时，大于0恒成立；‎ 当时，必有且既有，‎ 解之得：， ‎ 综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求法及不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.‎ ‎20.如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米。若从离地高2米的C处观赏它，视角为. ‎ ‎（1）若时，求C点到墙壁的距离。‎ ‎（2）当C点离墙壁多远时，视角最大？‎ ‎【答案】（1）2米；‎ ‎（2）2米；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题意，设，，则视角，设C点到墙壁的距离为米，则有，，由两角差的正切公式可得，再将代入即可得解；‎ ‎（2）将表示为关于的函数，再结合重要不等式求其最值即可得解，一点要注意取等的条件.‎ ‎【详解】解：（1）设，，则视角，‎ 设C点到墙壁的距离为米，则有， ，‎ 所以，‎ 当时，解得；‎ ‎（2）由（1）知（当且仅当即 时等号成立），‎ 所以，当视角达到最大，‎ 故当时，C点到墙壁距离为2米，此时视角达到最大.‎ ‎【点睛】本题考查了两角差的正切公式及重要不等式，重点考查了解决实际问题的能力，属中档题.‎ ‎21.记为正项等比数列的前n项和，若 ‎（1）求数列的公比q的值.‎ ‎（2）若，设为该数列的前项的和，为为数列的前n项和，若，试求实数t的值。‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列的前项和公式可得，可化简为，再求解即可；‎ ‎（2）由等比数列的性质可得数列是首项为1，公比为的等比数列，再求和运算即可.‎ ‎【详解】解：（1）由已知 ，‎ 则，‎ 即：， ‎ 解得：，，‎ 又，‎ 故； ‎ ‎（2）在等比数列中：，， 所以，‎ 所以，‎ 由等比数列的性质可得数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以， ‎ 由，即，又，即 故.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的前项和，重点考查了等比数列的性质，属中档题.‎ ‎22.记为等差数列的前n项和，满足 ‎（1）证明数列是等比数列，并求出通项公式；‎ ‎（2）数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用求得，再证明数列是等比数列即可；‎ ‎（2）由，则，再采用分组求和与错位相减法求和即可得解.‎ ‎【详解】解：（1） ，‎ ‎ 当时，，所以，‎ 当时，，‎ 即， ‎ ‎，所以，，‎ 数列是等比数列，‎ 又,所以，即，‎ 综上，数列的通项公式为 ；‎ ‎（2）因为所以 ‎，其中，‎ 由得，，‎ 两式作差得，，‎ 即， ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了由的关系求数列的通项公式，重点考查了分组求和与错位相减法求和，属中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）设，若不等式对于任意x都成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设，解关于x的不等式组；‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）当时,不等式组的解集为,‎ 当时,不等式组的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由当时,恒成立,即恒成立，‎ 即，可得，再求解即可；‎ ‎(2)当时,,的图象的对称轴为，再分三种情况讨论即可得解.‎ ‎【详解】解：(1)当时,恒成立,即恒成立，‎ 因为, ‎ 所以,解之得,‎ 所以实数 的取值范；‎ ‎(2)当时,,的图象的对称轴为， ‎ ‎(ⅰ)当,即时,由,得, ‎ ‎(ⅱ)当,即或时 ‎①当时,由,得,所以,‎ ‎②当时,由,得,所以或, ‎ ‎(ⅲ)当,即或时,方程的两个根为,, ‎ ‎①当时,由知,所以的解为或,‎ ‎②当时,由知,所以解为,‎ 综上所述：‎ 当时,不等式组的解集为,‎ 当时,不等式组的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及解二次不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ ‎ ‎