微专题---球、正四面体的性质、多面体的外接球和内切球的面积与体积

微专题---球、正四面体的性质、多面体的外接球和内切球的面积与体积

微专题---球的性质、正四面体的性质、多面体的外接球和内切球的面积与体积 ‎【知识导引】‎ ‎1.球的性质 球的主要性质 性质1、球的任意一个截面都是圆，其中过球心的圆叫做球的大圆，其余不过球心的圆都叫做球的小圆。‎ 性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面，反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心 性质3.如图2,设球O的半径为R,球O的小圆的圆心为,半径为r,球心O到小圆O的距离=d,则由性质2得或 性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心 性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.‎ 性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上,则该球的球心0是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.‎ ‎2.正四面体的性质 ‎【例题1】（2020•新全国1山东16）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．‎ 解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，‎ 因为，所以侧面，‎ 设为侧面与球面的交线上的点，则，‎ 因为球的半径为，，所以，‎ 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，‎ 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，‎ 因为，所以，‎ 所以根据弧长公式可得.故答案为：.‎ ‎【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.‎ ‎【例题2】（2020年聊城二模16）足球运动是一项古老的体育活动,众多的资料表明,中国古代足球的出现比欧洲早,历史更为悠久,如图,现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体,著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F),顶点数(V),棱数(E)满足F+V-E=2,那么,足球有个正六边形的面,若正六边形的边长为,则足球的直径为cm(结果保留整数)‎ ‎(参考数据(本题第一空2分,第二空3分 解：设x个正六边形的面,y个正五边形的面，因为正五边形互相是隔离的、独立的，所以V=5y,E=(每条棱利用两次)‎ ‎，解得，‎ 如何求球的直径，正五边形和正六边形都是平面图形，球面是“弯曲的”怎么办？只能近似的用平面图形（正五边形、正六边形）的面积逼近球的表面积！‎ ‎20个正六边形的面积为，12个正五边形的面积为，所以，，‎ ‎，所以，足球有20个正六边形的面, 足球的直径为22cm.‎ ‎【例题3】四面体中，，且异面直线与所成的角为. 若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为 .‎ 解：考察直三棱柱，其中，则四面体为满足题设条件的四面体，且四面体的外接球与三棱柱的外接球相同. 设三棱柱底面三角形的外接圆半径为，则. 中，由正弦定理，；再由余弦定理，，从而由均值不等式可得，所以，当三棱柱为正三棱柱时可取等，故四面体的体积的最大值为.‎ ‎【例题4】如图，矩形ABCD，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )‎ A. 存在某个位置，使得 B. 翻折过程中，CN的长是定值 C. 若，则 D. 若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.‎ 解：对于选择支A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1则,如果，则EN⊥CN，由于，则NE⊥NF，由于三线NE,NF,NC共面且共点，故这是不可能的，故不正确；‎ 对于选择支B,如图1，由∠NEC=∠MA，且，在△CEN中，由余弦定理得：‎ ，也是定值，故NC是定值，故正确；‎ 对于选择支C,如图2 取AM中点为O，∵AB=BM，即，则,‎ 若由于且平面,平面OD，平面， ，则AD=MD，由于，故不成立，故不正确；‎ 对于选择支D,，根据题意知，只有当平面平面AMD时，三棱锥的体积最大，取AD的中点为E，连接，如图2,，则 且,平面平面 AM，平面 平面AMD，平面AMD,,则，，，从而，易知EA=ED=EM=1，‎ ∴AD的中点E就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为1，表面积是，故D正确；故选BD．‎ ‎【例题5】（多选题）已知四棱锥，底面ABCD为矩形，侧面平面 ABCD，，,若点M为PC的中点，则下列说法正确的为 A. 平面PCD B. 平面MBD C. 四棱锥外接球的表面积为 D. 四棱锥的体积为6‎ 解：如图所示：因为底面ABCD为矩形，侧面平面ABCD，点M为PC的中点，所以BM不垂直平面PCD，故A错误；因为O为AC的中点，点M为PC的中点，所以，又因为平面BMD，平面MBD，所以平面MBD，故B正确；因为,，所以，‎ 则，因为，取CD的中点为N，则，所以，又因为侧面平面ABCD，所以平面ABCD，所以,所以，所以四棱锥在以O为球心，半径为3的球上，所以四棱锥外接球的表面积为，故C正确；所以四棱锥的体积为 ‎，故D错误，故选BC．‎ ‎【例题6】（2021盐城中学初考）己知正方体 的棱长为.其内有2个不同的小球,球与三棱锥的四个面都相切,球与三棱锥的三个面和球都相切,则球的体积等于_______,球的表面积等于等于_______,‎ 解：在正四面体中，.球与三棱锥的四个面都相切,即球 是一个边长为的内切球中，利用体积割补，原正四面体可以理解成以为顶点四个全等的的三棱锥，；‎ 球的体积等于，如下图，正四面体的高 球的表面积等于等于.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.（山东省济宁市嘉祥一中2020届高三第9次模拟数学16）在三棱锥中， ,则三棱锥外接球的体积的最小值为________． ‎ ‎2.(山东威海2020届一模15)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑中，，且，则该鳖臑外接球的表面积为________． ‎ ‎3.（2020•全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2020•全国2卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎5.（2020•全国3卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3‎ ‎，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．‎ ‎6.（2020•天津卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为_____‎ ‎8.正△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，若三棱锥O-ABC的体积为2，则该球的表面积为______ ．‎ ‎9.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．‎ ‎11.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A．12π B．28π C．44π D．60π ‎14．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为_____.‎ ‎【变式练习答案】‎ 1. ,2. ,3. A,4. C,5.6.C,7.,8.,9.C,10.,11.D,12.B,‎ ‎13.B,14.C,15. ,‎