2018届二轮复习专题八第1讲　函数与方程思想、数形结合思想课件（全国通用）

2018届二轮复习专题八第1讲　函数与方程思想、数形结合思想课件（全国通用）

第 1 讲　函数与方程思想、数形结合思想 高考定位　 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查 . 真 题 感 悟 1. 函数与方程思想的含义 (1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法 . (2) 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 . 2. 函数与方程的思想在解题中的应用 (1) 函数与不等式的相互转化，对于函数 y ＝ f ( x ) ，当 y ＞ 0 时，就转化为不等式 f ( x ) ＞ 0 ，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 . (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 . (3) 解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 . 3. 数形结合是一种数学思想方法，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： ① 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质； ② 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 . 4. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围 . 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合 . 热点一　函数与方程思想的应用 [ 微题型 1] 　不等式问题中的函数 ( 方程 ) 法 【例 1 － 1 】 (1) f ( x ) ＝ ax 3 － 3 x ＋ 1 对于 x ∈ [ － 1 ， 1] ，总有 f ( x ) ≥ 0 成立，则 a ＝ ________. (2) 设 f ( x ) ， g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x ＜ 0 时， f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ＞ 0 ，且 g ( － 3) ＝ 0 ，则不等式 f ( x ) g ( x ) ＜ 0 的解集是 ________. 且 g ( x ) 在区间 [ － 1 ， 0) 上单调递增，因此 g ( x ) min ＝ g ( － 1) ＝ 4 ， 从而 a ≤ 4 ，综上 a ＝ 4. (2) 设 F ( x ) ＝ f ( x ) g ( x ) ，由于 f ( x ) ， g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得 F ( － x ) ＝ f ( － x )· g ( － x ) ＝－ f ( x ) g ( x ) ＝－ F ( x ) ，即 F ( x ) 在 R 上为奇函数 . 又当 x ＜ 0 时， F ′( x ) ＝ f ′( x )· g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ＞ 0 ， 所以 x ＜ 0 时， F ( x ) 为增函数 . 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x ＞ 0 时， F ( x ) 也是增函数 . 因为 F ( － 3) ＝ f ( － 3) g ( － 3) ＝ 0 ＝－ F (3). 所以，由图可知 F ( x ) ＜ 0 的解集是 ( － ∞ ，－ 3) ∪ (0 ， 3). 答案　 (1)4 　 (2)( － ∞ ，－ 3) ∪ (0 ， 3) 探究提高 　 (1) 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题； (2) 函数 f ( x ) ＞ 0 或 f ( x ) ＜ 0 恒成立，一般可转化为 f ( x ) min ＞ 0 或 f ( x ) max ＜ 0 ；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解 . [ 微题型 2] 　数列问题的函数 ( 方程 ) 法 (1) 解　 由 a 1 ＝ 3 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ p ·3 n ， 得 a 2 ＝ 3 ＋ 3 p ， a 3 ＝ a 2 ＋ 9 p ＝ 3 ＋ 12 p . 因为 a 1 ， a 2 ＋ 6 ， a 3 成等差数列， 所以 a 1 ＋ a 3 ＝ 2( a 2 ＋ 6) ， 即 3 ＋ 3 ＋ 12 p ＝ 2(3 ＋ 3 p ＋ 6) ， [ 微题型 3] 　解析几何问题的方程 ( 函数 ) 法 【例 1 － 3 】 设椭圆中心在坐标原点， A (2 ， 0) ， B (0 ， 1) 是它的两个顶点，直线 y ＝ kx ( k ＞ 0) 与 AB 相交于点 D ，与椭圆相交于 E 、 F 两点 . 探究提高 　 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 ( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 . 热点二　数形结合思想的应用 [ 微题型 1] 　利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点 【例 2 － 1 】 (1) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. A.5 B.6 C.7 D.8 解析　 (1) 由 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点， 可得 |2 x － 2| ＝ b 有两个不等的实根， 从而可得函数 y ＝ |2 x － 2| 的图象与函数 y ＝ b 的图象有两个交点，如图所示 . 结合函数的图象，可得 0 ＜ b ＜ 2 ，故填 (0 ， 2). 答案　 (1)(0 ， 2) 　 (2)B 探究提高 　 用图象法讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解 ( 或函数零点 ) 的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解 ( 或函数零点 ) 的个数 . [ 微题型 2] 　利用数形结合思想解不等式或求参数范围 探究提高 　 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 . [ 微题型 3] 　利用数形结合思想求最值 【例 2 － 3 】 (1) 已知 P 是直线 l ： 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ________. (2) 设双曲线的左焦点为 F 1 ，连接 PF 1 ，根据双曲线的定义可知 | PF | ＝ 2 ＋ | PF 1 | ，则 △ APF 的周长为 | PA | ＋ | PF | ＋ | AF | ＝ | PA | ＋ 2 ＋ | PF 1 | ＋ | AF | ＝ | PA | ＋ | PF 1 | ＋ | AF | ＋ 2 ，由于 | AF | ＋ 2 是定值， 探究提高 　 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究 . 直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论 . 1. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 . 2. 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 . 3. 许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量 . 4. 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 . 5. 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的 . 6. 利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 .