四川省双流中学2020届高三9月月考数学（文）试题

四川省双流中学2020届高三9月月考数学（文）试题

双流中学高2017级高三上期9月月考试题 高三数学（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，即可求出其补集.‎ ‎【详解】因为，所以或.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查集合补集运算，考查运算求解能力，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．‎ ‎3.设为非零向量，则“”是“方向相同”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的共线的充要条件，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】因为为非零向量，所以时，方向相同或相反，‎ 因此“”是“方向相同”的必要而不充分条件.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充要条件和必要条件的判断，以及向量共线的充要条件，属基础题.其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键，着重考查了推理与判断能力．‎ ‎4.函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．‎ ‎【详解】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数 f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0 ∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3） 故选：C．‎ ‎【点睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意结合诱导公式可得：，‎ 则.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图象.‎ ‎【详解】函数的定义域关于坐标原点对称，‎ 且由函数的解析式可知：，‎ 则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，则，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 即函数在区间内先单调递减，再单调递增，据此可排除B选项，‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎7.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 A. 9 B. 18 C. 20 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为输入的,故,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,不满足进行循环的条件,故输出的值为,故选B.‎ 考点：1、程序框图；2、循环结构.‎ ‎9.将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将函数图象向左平移个单位得到，令，当时得对称轴为 考点：三角函数性质 ‎10.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎11.已知双曲线左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于a,c的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】由双曲线的通径公式可得，‎ 由结合双曲线对称性可知是等腰直角三角形，‎ 由直角三角形的性质有：，即：，‎ 据此有：，，解得：，‎ 双曲线中，故的离心率为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12.对于给定的函数，给出五个命题其中真命题是（ ）‎ ‎①函数的图象关于原点对称；②函数在上具有单调性；③函数的图象关于轴对称；④函数的最大值是0.‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据奇函数的定义进行判断； ②根据函数单调性的性质进行判断； ③根据偶函数的定义进行判断； ④根据函数单调性和最值关系进行判断．‎ ‎【详解】解：① 则函数 是奇函数，则函数的图象关于原点对称；故①正确， ②为减函数，故函数在上具有单调性；故②正确， ③，‎ 则设 则 则，则不是偶函数，则函数的图象关于y轴不对称；故③错误， ④函数为偶函数，且当时为减函数， 故当时，函数取得最大值，最大值为，故④正确， 故正确的是①②④， 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数奇偶性的判断和应用，以及函数最值和单调性的关系，综合性较强，有一定的难度．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，若，则________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】‎ 分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.‎ 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.‎ ‎14.若变量、满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，‎ 其最大值为：.‎ ‎【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎15.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，所以两式相除得代入得，填32。‎ ‎16.已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，可知要使 的体积最大，则面⊥面，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-BCD的体积最大值可求．‎ ‎【详解】因为球的直径，且，所以，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.‎ ‎【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若，求sinC的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：‎ ‎,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；‎ ‎（Ⅱ）解：由，可得，则.‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.‎ ‎18.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；‎ ‎（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数，（3）先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ 详解：（1）∵ ， ∴ ，‎ 完成年度任务的人数为.‎ ‎（2）第1组应抽取的人数为，‎ 第2组应抽取的人数为，‎ 第3组应抽取的人数为，‎ 第4组应抽取的人数为，‎ 第5组应抽取的人数为；‎ ‎（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为，，；第5组有3人，记这3人分别为，，； ‎ 从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.‎ 获得此奖励2名销售员在同一组的基本事件有6个，‎ 故所求概率为.‎ 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.‎ ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．‎ ‎（1）求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎（2）求三棱锥P-ABM的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，‎ 则∥. 又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面. ‎ 在中，，∴.‎ 又∵， ∴∥.‎ ‎∵平面，平面，∴∥平面. ‎ 又∵， ∴平面∥平面. ‎ ‎（2）由（1）知，平面∥平面，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 由已知，，，，∴，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上短轴长为2，离心率为，过左顶点的直线与椭圆交于另一点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目条件可列式求得椭圆方程． （2）设直线l的方程为： ，代入椭圆方程，由弦长公式得到所需结论．‎ ‎【详解】（1）由题意的，‎ 则得到椭圆方程为.‎ ‎（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为，‎ 设直线的方程为，代入椭圆方程，得到 ‎，‎ 因为一个根为，则另外一个根为，‎ 则，‎ 化简，即，，‎ 则倾斜角或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥曲线方程的求法和圆锥曲线与直线的综合应用，属于中档题，在高考中时常涉及．‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若直线是曲线的切线，求的值.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.有极大值，无极小值.（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求得函数的定义域.对函数求导有，利用导数的正负求得函数的单调区间以及极值.（2）先求得函数的导数，设出切点的坐标，利用切点处的导数为，求得含有切点横坐标的表达式，并由此求得切点的横坐标，从而求得的值.‎ ‎【详解】的定义域为.‎ ‎（1）当时，，‎ 所以，令，‎ 得，因为，所以.‎ 与在区间上的变化情况如下：‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 有极大值，无极小值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 设直线与曲线的切点为，‎ 所以，即. ①‎ 又因为，‎ 即，②‎ 由①②得.‎ 设，因为，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 因为，即.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数求有关函数图像切线的问题.属于中档题.求函数单调区间以及极值，要首先求得函数的定义域，对函数求导后利用导函数的正负，可确定单调区间，由单调区间可以求得极值点，进而求得极值.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程是 (m>0,t为参数)，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，与曲线交于点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程，利用代入法消去参数可得直线的普通方程，曲线的极坐标方程两边同乘以，利用 即可得结果；（Ⅱ）把（为参数），代入，得，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义列方程，结合判别式的符号可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）直线的参数方程是，（，为参数），消去参数可得.‎ 由，得，可得的直角坐标方程：.‎ ‎（Ⅱ）把（为参数），代入，得.由，解得，，，，解得或1.又满足， 实数或1.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎ ‎