高中数学讲义微专题31 解三角形的要素

高中数学讲义微专题31 解三角形的要素

- 1 - 微专题 31 解三角形中的要素 一、基础知识： 1、正弦定理： ，其中 为 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具 备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） （2） （恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式：（1） ① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出 是钝角还是锐角 当 时， ，即 为锐角； 当 （勾股定理）时， ，即 为直角； 当 时， ，即 为钝角 ② 观察到分式为齐二次分式，所以已知 的值或者 均可求出 （2） 此公式在已知 和 时不需要计算出 的值，进 行整体代入即可 3、三角形面积公式： （1） （ 为三角形的底， 为对应的高） （2） （3） （ 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径） （4）海伦公式： （5）向量方法： （其中 为边 所构成的向量，方向任意） 证明： ，而 2sin sin sin a b c RA B C   R ABC 2 2 2 2 2 2sin sin sin sin sinA B A B C a b ab c       cos cos sin cos sin cos sinb C c B a B C C B A     2 2 sin sin sin bc B C a A 2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 cos 2 b c aA bc   A 2 2 2b c a  cos 0A  A 2 2 2b c a  cos 0A  A 2 2 2b c a  cos 0A  A , ,a b c : :a b c cos A    22 2 1 cosa b c bc A    b c bc ,b c 1 2S a h  a h 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B    1 2S a b c r    r      1, 2S p p a p b p c p a b c          2 21 2S a b a b       ,a b  ,a b  2 2 2 2 2 2 21 1 1sin sin 1 cos2 4 4S ab C S a b C a b C        2 21 cos2S ab ab C   cosa b ab C   - 2 - 坐标表示： ，则 4、三角形内角和 （两角可表示另一角）。 5、确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形： ① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 ② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理） 求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或 ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两 条边 （2）不唯一确定的三角形 ① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦 定理可得：已知三个角只能求出三边的比例： ② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知 ，所确定的三角形有可能唯一，也有可 能是两个。其原因在于当使用正弦定理求 时， ，而 时，一个 可能对应两个角（1 个锐角，1 个钝角），所以三角形可 能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例 1） 6、解三角形的常用方法： （1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 （2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求 解 7、三角形的中线定理与角平分线定理 （1）三角形中线定理：如图，设 为 的一条中线，则 （知三求一） 证明：在 中 ① ② 为 中点 ① ②可得：     2 21 2S a b a b          1 1 2 2, , ,a x y b x y  1 2 2 1 1 2S x y x y  A B C     sin( ) sin sinA B C C     cos( ) cos cosA B C C     : : sin :sin :sina b c A B C , ,a b A B sinsinsin sin a b b ABA B a   0, ,2 2B             sin B AD ABC  2 2 2 22AB AC AD BD   ABD 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB    2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC    D BC BD CD  ADB ADC     cos cosADB ADC      2 2 2 22AB AC AD BD   D A B C - 3 - （2）角平分线定理：如图，设 为 中 的角平分线，则 证明：过 作 ∥ 交 于 为 的角平分线 为等腰三角形 而由 可得： 二、典型例题： 例 1：（1） 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 _____ （2）） 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 _____ 思路：（1）由已知 求 可联想到使用正弦定理： 代入可解得： 。由 可得： ，所以 答案： （2）由已知 求 可联想到使用正弦定理： 代入可解得： ，则 或 ，由 可得： ，所以 和 均满足条件 答案： 或 小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确 定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之 间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。 例 2：在 中， ，若 的面积等于 ，则 边长为_________ 思路：通过条件可想到利用面积 与 求出另一条边 ，再利用余弦定理求出 AD ABC BAC AB BD AC CD D DE AC AB E BD BE DC AE  EDA DAC   AD BAC EAD DAC   EDA EAD   EAD EA ED  BD BE BE DC AE ED   BED BAC  BE AB ED AC AB BD AC CD  ABC , ,A B C , ,a b c 2, 6, 60c b B    C  ABC , ,A B C , ,a b c 2, 6, 30c b C    B  , ,B b c C sinsinsin sin b c c BCB C b   1sin 2C  c b 60C B   30C   30C   , ,C b c B sinsinsin sin b c b CBB C c   3sin 2B  60B   120B   c b C B 60B   120B   60B   120B   ABC 2, 60BC B   ABC 3 2 AC S ,BC B AB AC A B CD E - 4 - 即可 解： 答案： 例 3：（2012 课标全国）已知 分别为 三个内角 的对边，且有 （1）求 （2）若 ，且 的面积为 ，求 （1）思路：从等式 入手，观察每一项关于 齐次，考虑 利用正弦定理边化角： ，所涉及式 子与 关联较大，从而考虑换掉 ，展开化简后即可求出 解： 即 或 （舍） （2）思路：由（1）可得 ，再由 ， 可想到利用面积与关于 的余弦 定理可列出 的两个方程，解出 即可 1 1 3 3sin 22 2 2 2ABCS AB BC B AB       1AB  2 2 2 12 cos 1 4 2 2 32AC AB BC AB BC B           3AC  3 , ,a b c ABC , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c    A 2a  ABC 3 ,b c cos 3 sin 0a C a C b c    , ,a b c cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sin 0a C a C b c A C A C B C         ,A C  sin sinB A C  A cos 3 sin 0a C a C b c    sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C      sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C      sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C      13sin cos 1 2sin 1 sin6 6 2A A A A                  6 6A     5 6 6A    3A   3A  3ABCS  2a  A ,b c ,b c - 5 - A C B D 解： 可解得 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否 具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角 同时出现在方程中时，通常要 从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角 例 4：如图，在 中， 是边 上的点，且 ，则 的值为___________ 思路：求 的值考虑把 放入到三角形中，可选的三角形有 和 ，在 中，已知条件有两边 ，但是缺少一个 角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在 中，三边比例已知，进而可求出 ，再利用补角关系求出 ，从而 中已知两边一角，可解出 解：由 可设 则 在 中， 在 中，由正弦定理可得： 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时 尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。 （2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的 ）， 这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算 例 5 ：已知 中， 分别是角 所对边的边长，若 的面积为 ，且 ，则 等于___________ 1 sin 3 42ABCS bc A bc    2 2 2 2 22 cos 4a b c bc A b c bc       2 2 2 24 8 4 4 b c bc b c bc bc           2 2 b c    , ,A B C ABC D AC ,2 3 , 2AB AD AB BD BC BD   sinC sinC C ABC BDC BDC ,BD BC ABD BDA BDC BDC C 2 3AB BD 2BD k 3AB k 3 , 4AD k BC k    ADB      2 222 2 2 3 2 3 3cos 2 32 3 2 k k kAD BD ABADB AD BD k k       3cos cos 3BDC ADB     6sin 3BDC  BDC sin 6sinsin sin 6 BD BC BD BDCCC BDC BC     k ABC , ,a b c , ,A B C ABC S  2 22S a b c   tanC - 6 - 思路：由已知 可联想到余弦定理关于 的内容，而 ，所 以可以得到一个关于 的式子，进而求出 解： 而 代入可得： 答案： 例 6：在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， 则 的值为 . 思路：已知 求 可以联想到余弦定理，但要解出 的值，所以寻找解出 的条件， ，而 代入可得 ，再由 可得 ，所以 答案： 例 7 ：设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 思路：由 可得： ，从而 ， 解得 ，从 可联想到余弦定理： ，所以 有 ，从而 再由 可得 ，所以 的 值为 答案：C  2 22S a b c   cosC 1 sin2S ab C sin ,cosC C tanC  2 2 2 2 212 2 sin 22S a b c ab C a b c ab         2 2 2 2 cosc a b ab C   2 2 2 2 cosa b c ab C    sin 2 2 cos sin 2 2cosab C ab ab C C C     2 2 4sinsin 2 2cos 5 3sin cos 1 cos 5 CC C C C C           4tan 3C   4tan 3C   ABC , ,A B C , ,a b c ABC 3 15 12,cos ,4b c A    a cos A a ,b c ,b c 1 sin 3 152ABCS bc A  2 15sin 1 cos 4A A   24bc  2b c   22 2 2 2 cos 2 2 cos 64a b c bc A b c bc bc A        8a  8 ABC , ,A B C , ,a b c sin 3 cos 0b A a B  2b ac a c b  2 2 2 2 4 sin 3 cos 0b A a B  sin sin 3sin cos 0B A A B  tan 3B  3B  2b ac 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac       22 2 0a c ac ac a c      a c 2b ac a b c  a c b  2 - 7 - 小炼有话说：本题的难点在于公式的选择， 以及所求 也会让我们想到正弦定理。 但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定 选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中 含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。 例 8：设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 或 思路：由 的结构可以联想到余弦定理： ，可以此为突破 口，即 ，代入解得： ，进而求出 ， 得到 比例代入余弦定理可计算出 解：由 可得： ， 代入到 可得： 例 9：已知 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的 2 倍，则最小内角 的余弦值是（ ） A. B. C. D. 思路：不妨考虑 ，将三个边设为 ，则 ，想到正弦定 理 ，再将 利用余弦定理用边表示，列方程解出 ，从而求 2b ac a c b  ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 , 6b a bc A    C  6  4  3 4  4  3 4  2 2a b bc  2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 2 cosb bc b c bc A     3 1c b   3 1 2 a b , ,a b c C 2 2b a bc  2 2a b bc   2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 2 cosb bc b c bc A      2 3 1c bc   3 1c b   2 2b a bc   2 2 23 1a b b   4 2 3 3 12 3 2 2 a b b b      3 1: : :1: 3 1 2 a b c        2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 22cos 2 23 12 2 a b cC ab          4C   ABC 3 4 5 6 7 10 2 3 a b c  1, , 1a x b x c x     2C A sin sin2 2cossin sin c C A Aa A A   cos A x - 8 - 出 解：设 ，则 代入 可得： ，解得： 答案：A 小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角 2 倍”这个条件，可联想到正余弦 的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联 系。如果采用余弦二倍角公式，则有 ，即便使用余弦定理也会导致方程次 数过高，不利于求解。 例 10：在 中， 为边 上一点， ，若 的 面积为 ，则 _________ 思路：要求出 ，可在 中求解，通过观察条件 ， 可 从 可解，解出 ，进而求出 ，再在 中解出 ，从而 三边齐备，利用余弦定理可求出 解： cos A a b c  1, , 1a x b x c x     2C A sin sin2 2cossin sin c C A Aa A A    2 2 2 2 2 2 2 2 c b c a b c a a bc bc        1, , 1a x b x c x           2 22 1 11 1 1 x x xx x x x       5x  4, 5, 6a b c    2 2 2 3cos 2 4 b c aA bc     2cos 2cos 1C A  ABC D BC 1 , 120 , 22BD CD ADB AD    ADC 3 3 BAC  BAC ABC 120 ( 120 ), 2, 3 3ADCADB ADC AD S        ADC ,AD AC BD ABD AB ABC BAC 1 sin 3 32ADCS AD DC ADC        2 3 3 2 3 1 2 sin 3 DC        1 3 12BD DC       22 2 2 22 cos 2 2 3 1 2 2 2 3 1 cos 3AC AD DC AD DC ADC                 6 4 2 3   6 3 1AC    A B CD - 9 - 同理 答案： 小炼有话说：（1）本题与例 4 想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件 观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素 （2 ）本题还可以利用辅助线简化运算，作 于 ，进而利用在 中 得 ，再用 解出 进 而 ， 则 在 上 所 以 可 得 ： ，所以 三、近年好题精选 1、设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 2、设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 3、在 中， 为 边上一点， ，若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 2 2 2 2 cosAB AD DB AD DB ADB         22 22 3 1 2 2 3 1 cos 3        6 6AB        22 2 2 2 6 6 3 1 3 3 1 1cos 2 22 6 6 3 1 AB AC BCBAC AB AC               60BAC   60BAC   AM BC M Rt ADM 60 , 2ADC AD   3,, 1AM DM  3 3ADCS    2 3 1CD   3 1BD   BC 3, 2 3 3BM BD DM CM CD DM       45 ,tan 2 3CMBAM MAC AM     15MAC   60BAC   ABC , ,A B C , ,a b c 1, , 24 ABCa B S   sin A  2 10 2 50 82 82 1 10 ABC , ,A B C , ,a b c 3, 1, 2b c A B   a 2 2 2 3 2 3 ABC D BC 2 , 2, 45DC BD AD ADC     2AC AB BD  2 3 4 2 5 3 5 A B CD M - 10 - 4、（2015，北京）在 中， ，则 _______ 5 、（ 2015 ， 广 东 ） 设 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 若 ，则 _______ 6、（2015，福建）若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于_______ 答案：7 7、（2015，天津）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ， ，则 的值为_________ 8 、（2014 ，天津）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 的值为_______ 9、（2014，山东）在 中，已知 ，当 时， 的面积为_____ 10 、（ 2014 ， 辽 宁 ） 在 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 且 ， 已 知 ，求： （1） 的值 （2） 的值 11 、（2015 ，陕西）设 的内角 的对边分别为 ，向量 与 平行 （1）求 （2）若 ，求 的面积 12、（2015，新课标 II）在 中， 是 上的点， 平分 ， 的面积是 面积的 2 倍 （1）求 （2）若 ，求 的长 13、（2015，安徽）在 中， ，点 在 边上， ， 求 的长 14、(2015，江苏）在 中，已知 （1）求 的长 （2）求 的值 ABC 4, 5, 6a b c   sin2 sin A C  ABC , ,A B C , ,a b c 13,sin ,2 6a B C    b  ABC 10 3 5, 8AB AC  BC ABC , ,A B C , ,a b c ABC 3 15 12,cos 4b c A    a ABC , ,A B C , ,a b c 1 4b c a  2sin 3sinB C cos A ABC tanAB AC A  6A  ABC ABC , ,A B C , ,a b c a c 12,cos , 33BA BC B b     ,a c  cos B C ABC , ,A B C , ,a b c  , 3m a b  cos ,sinn A B A 7, 2a b  ABC ABC D BC AD BAC ABD ADC sin sin B C 21, 2AD DC  ,BD AC ABC 3 , 6, 3 24A AB AC   D BC AD BD AD ABC 2, 3, 3AB AC A    BC sin2C A B CD - 11 - 习题答案： 1、答案：A 解析： 代入可得： 2、答案：D 解析： 3、答案：C 解析：设 ，则 ，由余弦定理可得： ，代入可得： 解得： 4、答案：1 解析： 5、答案：1 解 析 ： 由 及 可 得 ： ， 从 而 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： ， 解得 6、答案：7 1 sin 2 4 22ABCS ac B c    2 2 2 2 cosb a c ac B    2 21 32 2 1 4 2 252b        5b  2sin sinsin sin 10 a b aA BA B b      2A B sin sin 2 2sin cosA B B B   2 cosa b B  2 2 2 cos 2 a c bB ac   2 2 2 2 1 92 62 2 a c b aa b aac a           2 23 8a a   22 24 2 3a a    BD x 2CD x 2 2 2 2 cos135AB AD BD AD BD     2 2 2 2 cos45AC AD CD AD CD     2 2 2 2 2 2 2 4 4 AB x x AC x x        2AC AB  2 2 1 2 2 2 2 4 4 x x x x     2 5x   2 2 2sin2 sin 25 36 16 42cos 2 2 1sin sin 2 2 5 6 6 A A b c a aAC C bc c              1sin 2B  6C  6B  2 3A  sin sin a b A B 1b  A B CD - 12 - 解析：由 ，可得： ，即 ，再由余弦定理可计算 7、答案：8 解析： 由余弦定理可得： 8、答案： 解析：由 可得 代入到 即可得到 ，不妨 设 ，则 9、答案： 解析： 10、解析：由 可得： 由余弦定理可得： 即 解得： （2）由 可得： 由正弦定理可知： 为锐角 1 sin2ABCS AB AC A  3sin 2A  3A  2 2 2 cos 7BC AC AB AB AC A     21 15cos sin 1 cos4 4A A A      1 sin 3 15 242ABCS bc A bc         22 2 2 2 cos 2 1 cos 64a b c bc A b c bc A        8a  1 4 2sin 3sinB C 2 3b c 1 4b c a  : : 4 : 3: 2a b c  4 , 3 , 2a k b k c k   2 2 2 2 2 29 4 16 1cos 2 2 3 2 4 b c a k k kA bc k k         1 6 sintan cos cos AAB AC A bc A A    2 sin cos Abc A  2 2 2 1 1 sin 1 1sin tan2 2 cos 2 6ABC AS bc A AA      2BA BC   cos 2ac B  6ac     22 2 1 cosb a c ac B     29 16 5a c a c      6 5 ac a c a c       3 2 a c    1cos 3B  2 2 2sin 1 cos 3B B   sin 4 2sinsin sin 9 b c c BCB C b    c b C - 13 - 11、解析：（1） （2）由余弦定理可得： 即 12、解析：（1） （2） 在 中，由余弦定理可得： 再由 可解得： 13、解析： 2 7cos 1 sin 9C C      23cos cos cos sin sin 27B C B C B C     m n   ∥ 3 cos sin 3sinBcos sin sinb A a B A A B    3cos sin tan 3A A A    3A   2 2 2 2 cosa b c bc A   27 4 2c c   2 2 3 0 3c c c      1 1 3 3 3sin 2 32 2 2 2ABCS bc A       1 1sin , sin2 2ABD ADCS AB AD BAD S AC AD CAD     2 ,ABD ADCS S BAD CAD     2, ABD ADC S AB S AC    sin 1 sin 2 B AC C AB   2ABD ADC S BD S DC   2 2BD DC   ,ABD ADC  2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos AB AD BD AD BD ADB AC AD CD AD CD ADC          2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC      2AB AC 1AC  2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A     236 18 2 6 3 2 902             3 10BC  - 14 - 由正弦定理可得： 由 可知 为等腰三角形 由正弦定理可得： 14、解析：（1）由余弦定理可得： （2）由余弦定理可得： sin 10sinsin sin 10 AC BC AC ABB A BC    3 10cos 10B  AD BD ABD 2ADB B     sin sin sin 2 AD AB AB B BDA B   sin sin 10sin2 2sin cos 2cos AB AB ABAD B BB B B B       2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A     4 9 2 2 3 cos 73        7BC  2 2 2 9 7 4 2 7cos 2 72 3 7 AC BC ABC AC BC        2 21sin 1 cos 7C C    21 2 7 4 3sin2 2sin cos 2 7 7 7C C C     