2020届二轮复习三角函数（三）学案（全国通用）

2020届二轮复习三角函数（三）学案（全国通用）

年 级： 辅导科目：数学 课时数：‎ 课 题 三角函数（三）‎ 教学目的 教学内容 第五节 两角和与差的三角函数 ‎ ‎（一）高考目标 考纲解读 ‎1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ 考向预测 ‎1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．‎ ‎2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．‎ ‎3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．‎ ‎（二）课前自主预习 知识梳理 ‎1．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ　(Cα－β)‎ cos(α＋β)＝ 　(Cα＋β)‎ sin(α－β)＝ 　(Sα－β)‎ sin(α＋β)＝ 　(Sα＋β)‎ tan(α－β)＝ 　(Tα－β)‎ tan(α＋β)＝ 　(Tα＋β)‎ 前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．‎ ‎2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．‎ ‎3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：‎ tanα±tanβ＝ ，‎ tanαtanβ＝ ＝ .‎ ‎（三）基础自测 ‎1．(2018·福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)‎ A.　　　　　B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.‎ ‎2．已知α∈，sinα＝，则tan等于(　　)‎ A. B．‎7 ‎‎ C．－ D．－7‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵α∈，sinα＝，‎ ‎∴cosα＝－，∴tanα＝－.‎ 而tan＝＝＝.‎ ‎3．(2018·烟台模拟)已知α，β都是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵α∈，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝，得α＝，又由cos(α＋β)＝，得α＋β＝，故β＝，cosβ＝.‎ ‎4．tan15°＋cot15°等于(　 　)‎ A．2　　　 B．2＋　　 C．4　　 　 D. ‎[分析]　可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：tan15°＋cot15°＝＋＝＝＝4.‎ 解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋＝＋ ‎＝＋＝＋＝＋＝4.‎ 解法3：tan15°＋cot15°＝tan＋＝＋＝＝4.‎ ‎5．函数y＝sinx＋cos的最大值和最小值分别为________．‎ ‎[答案]　，－ ‎[解析]　y＝sinx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝sin.‎ 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝；‎ 当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.‎ ‎6．化简：cos＋sin＝________.‎ ‎[答案]　cosα ‎[解析]　cos＋sin＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα ‎＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.‎ ‎7．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．‎ ‎[解析]　∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝4，‎ ‎∴(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，‎ 即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ 又α、β均为锐角，‎ ‎∴0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ ‎（四）典型例题 ‎1.命题方向：化简求值问题 ‎[例1]　求下列各式的值：‎ ‎(1)(－) ‎(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°‎ ‎[分析]　角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．‎ ‎[解析]　(1)∵－＝－＝ ‎＝ ‎＝＝＝32cos20°.‎ ‎∴原式＝32.‎ ‎(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°‎ ‎＝＋－2cos40°‎ ‎＝－2cos40°‎ ‎＝－2cos40°‎ ‎＝－2cos40°‎ ‎＝＝2.‎ ‎[点评]　在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．‎ 跟踪练习1‎ 求[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·的值．‎ ‎[解析]　原式＝·sin80°‎ ‎＝(2sin50°＋2sin10°·)·cos10°‎ ‎＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎[点评]　对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：‎ ‎(1)化为特殊角的三角函数值．‎ ‎(2)化为正负相消的项，消去求值．‎ ‎(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值．‎ ‎(4)给值(或式)求值.‎ ‎2.命题方向：条件求值 ‎[例2]　已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，求cosα的值．‎ ‎[分析]　(1)因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值．‎ ‎(2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．‎ ‎[解析]　方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，‎ ‎∴cosα＋sinα＝.①‎ 又∵sin2α＋cos2α＝1，②‎ ‎∴由①得cosα＝－sinα，代入②得 ‎100sin2α－60sinα＋11＝0.‎ ‎∴sinα＝＝.‎ 又∵60°<α<150°，‎ ‎∴sinα>.而sinα＝<，∴只取sinα＝.代入①，得 cosα＝－·＝.‎ 方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值．‎ ‎∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.‎ ‎∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.‎ ‎∴sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①‎ cos(30°＋α)＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②‎ 由①②，得cosα＝.‎ 方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.‎ ‎∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.‎ ‎∴cosα＝cos[(30°＋α)－30°]‎ ‎＝cos(30°＋α)·cos30°＋sin(30°＋α)·sin30°＝－×＋×＝.‎ ‎[点评]　(1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sinα的范围，从而得cosα值．这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos(30°＋α)＝－，再将两式展开，解方程组即可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝(30°＋α)－30°，从而快捷地求出cosα的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度．‎ ‎(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．‎ 跟踪练习2‎ ‎(2018·襄樊)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.‎ ‎(1)求tan2α的值；‎ ‎(2)求角β.‎ ‎[解析]　(1)由cosα＝，0<α<，得 sinα＝＝＝.‎ ‎∴tanα＝＝4.‎ 于是tan2α＝＝＝－.‎ ‎(2)由0<β<α<，得0<α－β<.‎ 又∵cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ 由β＝α－(α－β)得，‎ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.‎ ‎∴β＝.‎ ‎3.命题方向：给值求解问题 ‎[例3]　已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．‎ ‎[分析]　(1)欲求角，应先求其某种三角函数值．‎ ‎(2)从已知条件找出角α＋2β的范围，确定其值．‎ ‎[解析]　方法一：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，‎ 即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，‎ 得sin2β＝sin2α.‎ ‎∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α ‎＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.‎ 又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.‎ 故α＋2β＝90°.‎ 方法二：由3sin2α＋2sin2β＝1得 ‎3sin2α＝cos2β①‎ 又由3sin2α－2sin2β＝0得sin2α＝sin2β②‎ ‎①÷②得tanα＝cot2β.‎ ‎∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，‎ ‎∴cot(90°－α)＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，‎ ‎∴α＋2β＝90°.‎ 跟踪练习3‎ 已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.‎ ‎(1)求sinα的值；‎ ‎(2)求β的值．‎ ‎[解析]　(1)∵tan＝，‎ ‎∴sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.‎ ‎(2)∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝.‎ 又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.‎ 由cos(β－α)＝，得0<β－α<.‎ ‎∴sin(β－α)＝＝，‎ ‎∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝＝.‎ 由<β<π得β＝π.‎ ‎(或求cosβ＝－，得β＝π)．‎ ‎（五）思想方法点拨 理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题：‎ 1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．‎ ‎①掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键 ‎②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．α、β中若有为的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便．‎ ‎2．公式的逆用及有关变形 tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；‎ sinα±cosα＝sin.‎ ‎3．角的变换 α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．‎ 注意：在公式T(α±β)中，α、β、α±β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋2kπ(k∈Z)．否则，利用诱导公式求解．‎ ‎（六）课后强化作业 一、选择题 ‎1．(2018·新课标文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)‎ A．－　　　　　B. C．－ D. ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．‎ 由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，‎ 由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.‎ ‎2．(2018·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)‎ A．0 B. C. D．1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.‎ ‎3．已知－<α<，sin＝，则sinα＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　∵－<α<，∴－<－α<，‎ 又sin＝，∴cos＝，‎ ‎∴sinα＝sin＝，故选A.‎ ‎4．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是(　　)‎ A．－7 B．‎7 C．－ D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，‎ 则tanα＝－.‎ ‎∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.‎ ‎5．已知cos＝，则sin2α的值为(　　)‎ A.　　　 B．－　　　 C．－　　　 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　方法1：sin2α＝cos(－2α)＝2cos2(α－)－1＝－，故选C.‎ 方法2：cos(α－)＝cosα＋sinα＝ 两边平方得　＋sin2α＝，∴sin2α＝－，故选C.‎ ‎6．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是(　　)‎ A. B．－ C．± D．± ‎[答案]　B ‎[解析]　由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得 ，‎ 相加得cos(x－y)＝，且x、y均为锐角，‎ ‎∴sin(x－y)＝，∴tan(x－y)＝－，故选B.‎ ‎7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵sin＝－，－β∈ ‎∴－β＝－①‎ ‎∵cos＝，α，β∈，‎ ‎∴α－∈，∴α－＝－或②‎ 由①②有或(舍去)，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos＝－.‎ ‎8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知2tanB＝tanA＋tanC(※)‎ 显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．‎ ‎∵tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－，且tanB≠0，‎ ‎∴tanAtanC＝3，‎ ‎∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan‎2A＋tan‎2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，‎ ‎∵tanB>0，∴tanB≥，≤B<，‎ 即B的取值范围是，选D.‎ 二、填空题 ‎9．(2018·乐山模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，则β＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴sinα＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，‎ ‎∵0<β<，∴β＝.‎ ‎10．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.‎ ‎[答案]　π ‎[解析]　解法1：f(x)＝sinsin＝－＝－cos＋.‎ ‎∴T＝π.‎ 解法2：y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，‎ ‎∴T＝π.‎ ‎11．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意知：‎ ‎①＋②⇒cosαcosβ＝，③‎ ‎②－①⇒sinαsinβ＝，④‎ 得：tanαtanβ＝.‎ 三、解答题 ‎12．(2011·北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：‎ ‎(1)tan的值；‎ ‎(2)的值．‎ ‎[解析]　(1)∵tan＝，且tanα＝2，‎ ‎∴tan＝＝－3.‎ ‎(2)＝＝＝tanα＋＝.‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点．已知A、B的横坐标分别为、.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求α＋2β的值．‎ ‎ [解析]　由已知得cosα＝，cosβ＝.‎ ‎∵α、β为锐角，∴sinα＝＝，‎ sinβ＝＝，‎ ‎∴tanα＝7，tanβ＝.‎ ‎(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎(2)∵tan2β＝＝＝，‎ ‎∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.‎ ‎∵α、β为锐角，0<α＋2β<，∴α＋2β＝.‎ ‎14．(文)若sinA＝，sinB＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．‎ ‎[分析]　欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．‎ ‎[解析]　∵A、B均为钝角且 sinA＝，sinB＝，‎ ‎∴cosA＝－＝－＝－，‎ cosB＝－＝－＝－，‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝①‎ 又∵0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g(x)的单调增区间．‎ ‎[分析] ‎ ‎ [解析]　(1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx ‎＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，‎ 依题意得＝，故ω的值为.‎ ‎(2)依题意得g(x)＝sin＋2＝sin＋2，‎ 由2kπ－≤3x－≤2kπ＋　(k∈Z)，解得 kπ＋≤x≤kπ＋　(k∈Z)，‎ 故y＝g(x)的单调增区间为　(k∈Z)．‎ 第六节 二倍角的三角函数 ‎（一）高考目标 考纲解读 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不要求记忆)．‎ 考向预测 ‎1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．‎ ‎2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．‎ ‎3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．‎ ‎（二）课前自主预习 知识梳理 ‎1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ ；‎ cos2α＝ ＝ ＝ ；‎ tan2α＝ ‎ ‎2．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．‎ 其形式为： 升幂公式1＋cos2α＝ ， 1－cos2α＝ .‎ 降幂公式cos2α=，sin2α. =‎ ‎3.辅助角公式 asinα+bcosα= ‎ ‎（三）基础自测 ‎1．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为(　　)‎ A．－3,1　　　　　　B．－2,‎2 ‎‎ C．－3， D．－2， ‎[答案]　C ‎[解析]　f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，‎ ‎∴sinx＝时，f(x)max＝，‎ sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.‎ ‎2．(2010·福建文)计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　本题主要考查二倍角公式 ‎1－2sin2225°＝cos45°＝ ‎3．(2010·江西理)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　如图，设CB＝AC＝1，则AB＝，又取AB的中点为H，连CH，则CH⊥ AB，由题意知EH＝，CH＝，得tan∠ECH＝. ‎ 故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝， 选D.‎ ‎4.＝(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　原式＝＝＝2·＝2，故选C.‎ ‎5．(2010·浙江理)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．‎ ‎[答案]　π ‎[解析]　f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin(2x－)－(1－cos2x)＝sin(2x－)＋cos2x－ ‎＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，‎ 所以T＝＝＝π.‎ ‎6．化简的结果是__________．‎ ‎[答案]　cos1‎ ‎[解析]　原式＝＝＝＝cos1.‎ ‎7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的最大值、最小值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x ‎＝cos2x－sin2x＝cos，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)当cos＝1时，f(x)max＝；‎ 当cos＝－1时，f(x)min＝－.‎ ‎（四）、典型例题 ‎1.命题方向：三角函数的化简与求值 ‎[例1]　化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.‎ ‎[分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．‎ ‎[解析]解法1：(从“角”入手，复角化单角)‎ 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ 解法2：(从“名”入手，异名化同名)‎ 原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos2α·cos2β ‎＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2α·cos2β ‎＝cos2β－cos2β· ‎＝－cos2β＝－cos2β＝.‎ 解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)‎ 原式＝·＋·－cos2α·cos2β ‎＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－·cos2α·cos2β ‎＝＋＝.‎ ‎[点评]　对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．‎ 跟踪练习1‎ 计算：cos·cos·cos.‎ ‎[分析]　构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解．‎ ‎[解析]　cos·cos·cos＝ ‎＝＝＝＝＝.‎ ‎2.命题方向：三角函数式的证明 ‎[例2]　(1)求证＝tan‎4A.‎ ‎(2)已知：sinβ＝m·sin(2α＋β)，其中m≠0,2α＋β≠kπ(k∈Z)．求证：tan(α＋β)＝tanα(m≠1)．‎ ‎[分析]　对(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化‎4A为‎2A，再化‎2A为A，然后将弦化为切．‎ ‎(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为α＋β与α的函数，而已知是β与2α＋β的函数，将β，2α＋β用α＋β，α表示是解决本题的正确方向．‎ ‎[解析]　(1)左边＝＝2＝2＝tan‎4A＝右边．‎ ‎∴等式成立．‎ ‎(2)由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]，‎ 即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，‎ 即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα 跟踪练习2‎ 求证：＝sin2α.‎ ‎[证明]　左边＝＝·cos2α＝tanα·cos2α＝·cos2α ‎＝sinαcosα＝sin2α＝右边．‎ 所以原等式得证.‎ ‎3.命题方向：辅助角公式的考查 ‎[例3]　(2010·浙江文)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足 S＝(a2＋b2－c2)．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)求sinA＋sinB的最大值．‎ ‎[分析]　本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力 ‎[解析]　(1)由题意可知，absinC＝·2abcosC，‎ ‎∴tanC＝，‎ 又∵00)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)‎ ‎＝2－1＝2sin－1.‎ 由－1≤sin≤1，‎ 得－3≤2sin－1≤1.‎ 可知函数f(x)的值域为[－3,1]．‎ ‎(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得＝π.即得ω＝2.‎ 于是有f(x)＝2sin－1，‎ 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以y＝f(x)的单调增区间为 (k∈Z)．‎ ‎（五）思想方法点拨 ‎1．三角函数式的化简 ‎(1)化简的要求 ‎①能求出值的应求出值；‎ ‎②尽量使三角函数种数最少；‎ ‎③尽量使项数最少；‎ ‎④尽量使分母不含三角函数；‎ ‎⑤尽量使被开方数不含三角函数．‎ ‎(2)化简的思路 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．‎ ‎(3)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．‎ ‎2．三角恒等式的证明 ‎①证明三角恒等式的方法：‎ 观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．‎ ‎②证明三角条件等式的方法 首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等．‎ ‎3．辅助角公式 asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中 .‎ φ的终边所在的象限由a，b的符号来确定，角φ称为辅助角．‎ ‎（六）课后强化作业 一、选择题 ‎1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝(　　)‎ A．－　　　　 B．－ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．‎ 由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α，‎ ‎∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos(π－2α)＝－.‎ ‎2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是(　　)‎ A．1　　　　　 B. C. D．1＋ ‎[答案]　C ‎[解析]　f(x)＝＋sin2x＝sin＋，‎ 又x∈，∴2x－∈，‎ f(x)max＝1＋＝，故选C.‎ ‎3．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则 的值为(　　)‎ A. B．－ C．－3＋2 D．3－2 ‎[答案]　C ‎[解析]　＝＝.‎ 又tan2α＝－2＝ ‎∴2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.‎ 又<α<，∴tanα＝.‎ 原式＝＝－3＋2.故选C.‎ ‎4．(2010·新课标理)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．‎ ‎∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，‎ ‎∴＝＝＝＝ ‎＝＝＝－，故选A.‎ ‎5．已知sinα＝，且α∈，则的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，‎ ‎∴＝＝＝＝－.‎ ‎6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为(　　)‎ A．5 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2＝sin(2x－θ)－2，‎ 其中tanθ＝，‎ 所以f(x)的最大值是－2＝.故选C.‎ ‎7.＋2的化简结果是(　　)‎ A．4cos4－2sin4 B．2sin‎4 ‎‎ C．2sin4－4cos4 D．－2sin4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，‎ ‎∵π<4<，∴cos40)‎ ‎(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；‎ ‎(2)设x∈[0，]，f(x)的最小值是－2，最大值是，求实数a，b的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝a(sinx·cosx－cos2x＋)＋b＝a×(sin2x－×＋)＋b ‎＝a·sin(2x－)＋b ‎∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)‎ 得，f(x)的递减区间是[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)‎ ‎(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]‎ ‎∴sin(2x－)∈[－，1]‎ ‎∴函数f(x)的最小值是－a＋b＝－2‎ 最大值a＋b＝，解得a＝2，b＝－2.‎ ‎13．在△ABC中，已知a·cos2＋c·cos2＝b.‎ ‎(1)求证：a、b、c成等差数列；‎ ‎(2)求角B的范围．‎ ‎[解析]　(1)由条件得a·＋c·＝b.‎ ‎∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.‎ ‎∴a＋c＋a·＋c·＝3b，‎ ‎∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．‎ ‎(2)cosB＝＝＝≥＝.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴0

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