高考数学复习课时冲关练(三) 1_3
课时冲关练(三)
不等式、线性规划
A组(30分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.若a,b为实数,则“0
”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.00,b>0时,由0.
所以“0”的充分条件,
反之,当a<或b>时,可能有ab<0,所以“0”的不必要条件,故应为充分不必要条件.
2.(2014·惠州模拟)不等式≥0的解集为 ( )
A.[-2,1] B.(-2,1]
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-2]∪(1,+∞)
【解析】选B.≥0-20的解集为{x|20,
解得:x>或x<.
5.(2014·茂名模拟)设a>0,则函数f(x)=4x+≥4(x>0)成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≥2 B.a=1 C.a=4 D.a≤3
【解析】选C.由f(x)=4x+≥4≥4,得a≥2,所以选C.
6.(2014·福州模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1,6] D.
【解析】选A.作出不等式组所表示的区域如图,
由z=3x-y得,y=3x-z,平移直线y=3x,由图象可知当直线经过点E(2,0)时,直线y=3x-z的截距最小,此时z最大为z=3×2-0=6,当直线经过C点时,直线y=3x-z的截距最大,此时z最小,
由解得
此时z=3x-y=-3=-,
所以z=3x-y的取值范围是.
7.(2014·泰安模拟)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
【解析】选C.因为a+b=2,
所以y=+=（+）·（）
=（1+++4）
≥（5+2）=.
8.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
①>;
②acloga(b-c).
其中所有的正确结论的序号是 ( )
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
【解析】选D.由不等式的基本性质可知①对;
幂函数y=xc(c<0)在(0,+∞)上单调递减,
又a>b>1,所以②对;
由对数函数的单调性可得logb(a-c)>logb(b-c),
logb(b-c)>loga(b-c),
所以logb(a-c)>loga(b-c),③对,故选项D正确.
9.下列不等式一定成立的是 ( )
A.lg（x2+）>lgx(x>0)
B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解题提示】应用基本不等式:x,y为正实数,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.
【解析】选C.当x>0时,x2+≥2·x·=x,
所以lg（x2+）≥lgx(x>0),
故选项A不正确;
运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等,
而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正、负不定,故选项B不正确;
由基本不等式可知,选项C正确;
当x=0时,有=1,故选项D不正确.
10.(2014·汕头模拟)“m≥3”是“关于x,y的不等式组表示的平面区域为三角形”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当m≥3时,不等式对应的区域为△OBC,当m=1时,此时直线x+y-m=0经过点C,此时对应的区域也为三角形,所以m≥3是不等式组表示的平面区域为三角形的充分不必要条件.
11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是 .
【解析】由p得:00},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|30.从而有=-1+4=3,b=-3a,=-1×4=-4,c=-4a.因此+=9a+≥2=,即+的最小值为.
答案:
15.若x,y满足约束条件,则x-y的取值范围是 .
【解析】记z=x-y,则y=x-z,所以z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数,画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示.
结合图形可知,当直线经过点B(1,1)时,x-y取得最大值0,当直线经过点C(0,3)时,x-y取得最小值-3.
答案:[-3,0]
16.(2014·潍坊模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则+的最小值为 .
【解析】+=+=
3++≥3+2=3+2.
即+的最小值为3+2.
答案:3+2
B组(30分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2014·揭阳模拟)设a,b为正实数,现有下列命题:
①若a2-b2=1,则a-b<1;
②若-=1,则a-b<1;
③若|-|=1,则|a-b|<1;
④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.
其中的真命题是 ( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解题提示】利用不等式的性质,平方差公式,立方差公式解决问题.
【解析】选C.
①因为a2-b2=(a+b)(a-b)=1,
所以a>b,a+b>1>a-b>0.故①正确;
②由-==1知,
a-b=ab>0,即a>b.不妨设a-b=ab=1,
即a= (1),
又-=1, (2)
由(1)(2)得-b=1,
解得b=有解,符合题意,
故a-b<1不正确,故②不正确;
③不妨设a>b,
则-=1,
所以a>1.
所以+>1,
a-b=(+)(-)=(+)>1,故③不正确;
④不妨设a>b,则a3-b3=1,
所以a>1,a2+ab+b2>1.
又由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=1
知00,b<0时,该点位于该直线的 ( )
A.右上方 B.右下方
C.左下方 D.左上方
【解析】选D.因为am+bn+c<0,b<0,
所以n>-m-.
所以点P所在的平面区域满足不等式y>-x-,a>0,b<0.
所以->0.故点P在该直线的上侧,综上知,点P在该直线的左上方.
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营的总利润y(单位:10万元)与运营年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则要使每辆客车运营的年平均利润最大,每辆客车的运营年限为 ( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】选C.=-x-+12≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时等号成立.
4.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为 ( )
A.4 B.3 C.4 D.3
【解析】选C.作不等式组表示的平面区域D,如图所示.
又z=·=(x,y)·(,1)=x+y,
所以y=-x+z.
令l0:y=-x,平移直线l0,
当过点M(,2)时,截距z有最大值.
故zmax=×+2=4.
5.已知正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.不存在
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q(q>0),
因为a3=a2+2a1,
所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.
又=4a1,
所以qm+n-2=16,
所以2m+n-2=16.
因此m+n=6.
则（+）(m+n)=5++≥9.
当且仅当n=2m(即n=4,m=2)时取等号.
所以（+）(m+n)的最小值为9,0
从而+的最小值为.
6.若对任意正数x,均有a2<1+x,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.(-1,1)
C.[-,] D.(-,)
【解析】选A.依题意,a2<1+x对任意正数x恒成立,则a2≤1,求得-1≤a≤1.
7.若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是 ( )
A.ex≤1+x+x2
B.≤1-x+x2
C.cosx≥1-x2
D.ln(1+x)≥x-x2
【解析】选C.对于A,因为e3>1+3+32,故A不恒成立;同理,当x=时,>1-x+x2,故B不恒成立;因为（cosx+x2-1）′=-sinx+x≥0(x∈[0,+∞)),且x=0时,y=cosx+x2-1=0,所以y=cosx+x2-1≥
0恒成立,所以C对;当x=4时,ln(1+x)0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.4
【解题提示】先由已知结合线性规划知识可以求得a,b的关系式,再由基本不等式求解.
【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6.
所以+=（+）·=+（+）≥+2=.
【方法技巧】线性规划问题的求解关注
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的是:
(1)准确无误地作出可行域.
(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错.
(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 ( )
A.3 B.4 C. D.
【解题提示】将已知式改写成y关于x的表达式,再代入x+2y消元,整理成应用基本不等式的形式求最值.
【解析】选B.因为x+2y+2xy=8,
所以y=>0,又x>0,
所以00,则平面区域如图所示
因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,则
的最小值是,即（===a=1.
11.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
【解析】选B.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,总利润为z万元,则目标函数为z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
线性约束条件为
即
画出可行域,如图所示.
作出直线l0:x+0.9y=0,向上平移至过点B时,z取得最大值,由求得B(30,20).
12.定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件且z=max{4x+y,3x-y},则z的取值范围为 ( )
A.[-6,0] B.[-7,10]
C.[-6,8] D.[-7,8]
【解析】选B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y,
所以z=直线x+2y=0将约束条件所确定的平面区域分为两部分.
如图,令z1=4x+y,点(x,y)在四边形ABCD上及其内部,求得-7≤z1≤10;
令z2=3x-y,点(x,y)在四边形ABEF上及其内部(除AB边),求得-7≤z2≤8.
综上可知,z的取值范围为[-7,10].故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2014·浙江高考)设函数f=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 .
【解析】由题意,或
解得f(a)≥-2,
所以或
解得a≤.
答案:a≤
14.(2014·广州模拟)已知实数x,y满足
若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a的值为 .
【解析】依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.
要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1.
答案:1
15.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
【解析】因为4x2+y2+xy=1,
所以(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2-·2xy=1,
所以(2x+y)2-·（≤1,
解之得(2x+y)2≤,
即2x+y≤.
等号当且仅当2x=y,即x=,y=时成立.
答案:
【一题多解】方法一:令t=2x+y,则y=t-2x,
代入4x2+y2+xy=1,
得6x2-3tx+t2-1=0,由于x是实数,
故Δ=9t2-24(t2-1)≥0,
解得t2≤,
即-≤t≤,即t的最大值也就是2x+y的最大值为.
方法二:化已知4x2+y2+xy=1为（2x+y+（y=1,
令2x+y=cosα,y=sinα,
则y=sinα,
则2x+y=2x+y+y=cosα+sinα=sin(α+φ)≤.
答案:
16.(2014·宁德模拟)设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是 .
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10,故8≤a≤10.
答案:[8,10]
【加固训练】已知t是正实数,如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆,则t的最小值为 .
【解析】
画出不等式组表示的平面区域,当t是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意,它有一个半径为1的内切圆,不妨设斜边|OB|=t,
则两直角边长|AB|=|OA|=t,
所以=1,
求得t==2+2,
即tmin=2+2.
答案:2+2
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