2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高一下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在中，角，，所对的边分别为，，，，，＝，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理可直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎2．在等差数列中，，，则＝（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．若是异面直线，直线，则与的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】，是异面直线，直线，‎ 则可能与直线平行，也可能相异面，故选．‎ ‎4．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可知剩余部分的几何体是原球体的，利用球的体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，剩余部分的几何体为原球体的 剩余部分几何体体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积的有关计算，关键是能够通过三视图判断出剩余的几何体与球体之间的关系.‎ ‎5．若的三个内角满足,则（ ）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，从而可知为钝角，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设，，，可知为的最大角 ‎，可知为钝角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理判断三角形形状问题，关键是能够判断出最大角所处的范围，属于基础题.‎ ‎6．下列命题中错误的是（ ）‎ A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；‎ B．若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行；‎ C．平行于同一个平面的两个平面平行；‎ D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间中面面平行的性质、判定定理可以得到正确，可找到反例，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：三角形各边所在直线与一个平面平行，即三角形所在平面中有两条相交直线均平行于另一个平面，可知两个平面平行，正确；‎ 选项：在如下图所示的正方体中 平面平面，平面，平面 此时，与异面，可知错误；‎ 选项：由面与面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，正确；‎ 选项：由面面平行的性质定理可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的相关命题的辨析，主要考查面面平行的判定定理、性质定理的应用，属于基础题.‎ ‎7．一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据四棱锥特点可知为正四棱锥，由正视图可判断出底面边长和四棱锥的高，根据椎体体积公式求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：该四棱锥为正四棱锥 由正视图可知，底面正方形边长为：；四棱锥高为：‎ 四棱锥体积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查锥体体积的求解问题，涉及到空间几何体的特点、三视图的问题，属于基础题.‎ ‎8．等比数列中，，，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等比数列的性质可知，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列性质可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列性质的应用问题，属于基础题.‎ ‎9．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．‎ ‎【考点】异面直线所成的角．‎ ‎【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．‎ ‎10．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求解出中的各个角和，利用正弦定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，，‎ 由正弦定理得：‎ 即河流的宽度 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，关键是能够通过条件得到三角形的一边及两角，从而得到正弦定理解三角形的基本条件.‎ ‎11．已知数列满足（）,且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由递推关系式可知数列为等差数列，根据和求得公差；利用求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 为等差数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推关系式证得等差数列，进而求解等差数列中的项的问题，关键是能够将递推公式化为符合等差数列定义的形式，证得数列为等差数列.‎ ‎12．若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用圆锥体积与球的体积相等求解出圆锥高与底面半径之间的关系，进而用圆锥底面半径分别表示出圆锥侧面积和球的表面积，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥底面半径为，圆锥的高为，则球的半径为 ‎ ‎ 圆锥母线长为：‎ 圆锥侧面积，球的表面积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体表面积、体积的相关计算问题，关键是能够利用体积相等的关系得到圆锥底面半径与圆锥高之间的关系.‎ 二、填空题 ‎13．若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，三个正数，，成等比数列，所以，解得．‎ ‎【考点】等比中项．‎ ‎14．在中，，，，则________.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】利用三角形面积公式直接构造关于的方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式得：‎ 解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用问题，属于基础题.‎ ‎15．设数列是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若，，成等比数列，则的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据，，成等比数列得到；利用等差数列前项和公式构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，成等比数列 ‎ 即，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比中项的性质、等差数列前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎16．如图所示,在正方体中,,分别为棱,的中点,有以下四个结论:‎ ‎①直线与是相交直线；‎ ‎②直线与是平行直线；‎ ‎③直线与是异面直线； ‎ ‎④直线与所成的角为.‎ 其中正确的结论为___________ (注:把你认为正确的结论序号填在横线上).‎ ‎【答案】③④.‎ ‎【解析】根据异面直线判定定理可知①错误，③正确；根据线线平行的性质可知②错误；通过平移求解出异面直线所成角，可得④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①平面，平面，平面，，可知与为异面直线，故①错误；‎ ‎②，，可知与不平行，故②错误；‎ ‎③平面，平面，平面，，可知与异面，可知③正确；‎ ‎④,分别为棱,的中点，可知，则直线与所成角即为，又为等比三角形，可得，可知④正确.‎ 本题正确结果：③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．设等差数列满足，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。‎ ‎【答案】an=11-2n,n=5时，Sm取得最大值。‎ ‎【解析】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．‎ ‎【考点】等差数列 点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．‎ ‎18．如图，在正方体中 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由正方体特征可知，根据线面平行判定定理可得结论；（2）利用将问题转化为求解，根据正方形特点求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正方体可知：‎ 又平面，平面 平面 ‎（2）‎ 四边形为正方形 ‎ 异面直线与所成角即为直线与所成角，即 四边形为正方形 ‎ 异面直线与所成角的大小为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.‎ ‎19．在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理化简边角关系式可求得，从而可得；（2）利用余弦定理构造关于的方程，解方程求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 即，解得：（舍）或 ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎20．已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）代入求得，再根据求得当且时，可知时依然满足，从而可得结果；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ 当且时，‎ 综上所述：‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用前项和求解数列通项、裂项相消法求解数列前 项和的问题，关键是能够根据与的关系求得，从而确定通项公式的形式，从而确定求和方法.‎ ‎21．在中的内角,,所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理化简可得的值，进而求得；（2）利用余弦定理可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得：‎ 即：‎ ‎ ，又 ‎ ‎（2）由余弦定理可知：‎ 即： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于常规题型.‎ ‎22．如图，直三棱柱中，，分别是,的中点.‎ ‎(1)证明：平面;‎ ‎(2)设,，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接，交于点，根据三角形中位线可得 ‎，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）利用体积桥将问题变为求解三棱锥的体积，求解出，根据直棱柱的关系可知高为，代入棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，交于点 棱柱为直三棱柱 四边形为矩形 为中点，又为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2），，即 ‎ ‎ ‎ 又棱柱为直三棱柱 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系的证明、椎体体积的求解问题.求解三棱锥体积时，通常采用体积桥的方式将问题转化为高易求的三棱锥的体积求解问题.‎