2018年上海市松江区高考数学一模试卷

2018年上海市松江区高考数学一模试卷

‎2018年上海市松江区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）计算：=　 　．‎ ‎2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=　 　．‎ ‎3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=　 　．‎ ‎4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=　 　．‎ ‎5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于　 　．‎ ‎6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是　 　．‎ ‎7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是　 　．‎ ‎8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　 　．‎ ‎9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为　 　．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是　 　（写出所有真命题的序号）‎ ‎①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；‎ ‎②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；‎ ‎③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；‎ ‎④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．‎ ‎12．（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3‎ ‎14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[1，+∞）‎ ‎16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2‎ ‎=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1） B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．[﹣1，0]∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．‎ ‎（1）求BC边的长；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．‎ ‎19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．‎ ‎（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；‎ ‎（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？‎ ‎20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；‎ ‎（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．‎ ‎21．（18分）已知有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．‎ ‎（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；‎ ‎（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；‎ ‎（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市松江区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）计算：=　　．‎ ‎【解答】解：==，‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ ‎2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=　{x|2≤x＜3}　．‎ ‎【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，‎ ‎∵A={ x|0＜x＜3}，‎ ‎∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．‎ 故答案为：{x|2≤x＜3}．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=　100　．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，‎ ‎∴，解得d=2，a1=1．‎ 则S10=10+=100．‎ 故答案为：100．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=　3　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，‎ 则：2=，‎ 解得：a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，‎ ‎∴可得：r=1，cosα=，‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是　2　．‎ ‎【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，‎ x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=（ ）﹣1=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是　4　．‎ ‎【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，‎ 则：sin2x=cosx，‎ 整理得：sinx=或cosx=0‎ 所以：在[0，2π]范围内，x=，，，，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　0　．‎ ‎【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，‎ 故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，‎ 故答案为 0．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为　　．‎ ‎【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），‎ 若=，=4，‎ 则M（5x，5y），N（2x，8y），‎ 由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，‎ ‎=10x2+40y2≥2xy=，当且仅当x=2y=时取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为　（2，+∞）　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x﹣a|=有三个解，‎ 令y=|2x﹣a|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y′==﹣2，解得x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a﹣2x可得，a==2，‎ 函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，‎ 则实数a的取值范围为（2，+∞）．‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是　②③④　（写出所有真命题的序号）‎ ‎①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；‎ ‎②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；‎ ‎③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；‎ ‎④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．‎ ‎【解答】解：，‎ 若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；‎ 若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；‎ 若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；‎ 若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为　（﹣，0）　．‎ ‎【解答】解：由an=2qn+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故an＜0，‎ 特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，an≠0．‎ 当﹣＜q＜0时，a2n=|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，‎ 由指数函数的单调性知，{an}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，‎ 由题意，的最大值及最小值分别为=和=．‎ 由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．‎ 综上所述，q的取值范围为（﹣，0），‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3‎ ‎【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，‎ ‎∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，‎ 则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，‎ ‎∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，‎ ‎“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，‎ ‎∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[1，+∞）‎ ‎【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，‎ ‎∴2x•x﹣2x•m＜1，‎ ‎∴2x•m＞2x•x﹣1，‎ ‎∴m＞x﹣，‎ ‎∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，‎ ‎∴m＞x﹣≥﹣1．‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1） B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．[﹣1，0]∪（1，+∞）‎ ‎【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；‎ y＜0时，x=﹣y﹣2，‎ ‎∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），‎ 所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，‎ 则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，‎ 整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，‎ 当λ=﹣1时，y=2满足题意，‎ ‎∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，‎ ‎∴△＞0，2是方程的根，‎ ‎∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；‎ 综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．‎ ‎（1）求BC边的长；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）=﹣18，‎ 由于：AB=6，AC=3，‎ 所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，‎ 解得：BC=3．‎ ‎（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，‎ 则：cosA==﹣，‎ 所以：sinA=，‎ 则：=．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．‎ ‎【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）‎ 满足f（﹣x）=f（x），‎ 此时f（x）为偶函数；‎ 当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，‎ 不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），‎ 此时f（x）为非奇非偶函数；‎ ‎（2）当a＞0时，‎ 若x∈（0，a），则，为减函数；‎ 若x∈（a，+∞），则，为增函数；‎ 故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；‎ ‎　‎ ‎19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．‎ ‎（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；‎ ‎（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），‎ ‎∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．‎ ‎∴p（t）=．‎ ‎∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；‎ ‎（2）由，可得 Q=，‎ 当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），‎ 当且仅当t=5时等号成立；‎ 当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．‎ ‎∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；‎ ‎（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，‎ 将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，‎ ‎∴椭圆的E的方程：；‎ ‎（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），‎ 联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，‎ ‎∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，‎ ‎∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，‎ 由k＞0，∴k=或k=，‎ ‎∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；‎ ‎（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，‎ λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，‎ λ1+λ2为定值，定值为﹣8．‎ ‎　‎ ‎21．（18分）已知有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．‎ ‎（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；‎ ‎（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；‎ ‎（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）有穷数列{an}共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．‎ m=5，a1=1，a5=3，‎ 则满足条件的数列{an}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．‎ 证明：（2）必要性 若{an}为递增数列，由题意得：‎ a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，‎ ‎∴a64﹣a1==2016，‎ ‎∵a1=2，∴a64=2018．‎ 充分性 由题意|an+1﹣an|=n，1≤n≤63，n∈N*，‎ ‎∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，‎ ‎∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，‎ ‎∵a64=2018，‎ ‎∴an+1﹣an=n，1≤n≤63，n∈N*，‎ ‎∴{an}是增数列，‎ 综上，数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018．‎ 解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，am﹣am﹣1=±（m﹣1），‎ 假设am=b1+b2+b3+…+bm﹣1，其中，bi∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），‎ 则（am）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．‎ 若an中有k项，，，…，取负值，‎ 则有am=（am）max﹣（+++…+），（*）‎ ‎∴am的所有可能值与（am）max的差必为偶数，‎ 下面用数学归纳法证明an可以取到﹣与之间相差2的所有整数，‎ 由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，‎ 当m=2时，成立，‎ 当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，‎ ‎②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，‎ 即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，‎ 则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，‎ 可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，‎ 用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，‎ 将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，‎ 故命题成立，‎ ‎∴am所有可能的取值共有：=个．‎ ‎　‎