2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中考试数学（理）试题

宜昌市葛洲坝中学2017-2018学年第一学期 高二年级期中考试试卷理科数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若直线过点，则的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知点A(﹣2,0)，A(2,0)，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段 ‎3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 实轴长为2，离心率为的双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. 或 ‎ C. D. 或 ‎5. 双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 直线（且m,n不同为0）经过定点（ ）‎ A. （﹣1, 1） B. （1，﹣1） C. （2, 1） D. （1, 2）‎ ‎7．若圆的半径为1，圆心在第二象限，且与直线和轴都相切，则圆的标准方程是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎9．动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知F1, F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1, F2，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 方程表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是 ‎ ‎14. 直线的倾斜角为，直线m与直线l交于点（0,1）且其倾斜角为2，则直线m的方程为 ‎ ‎15. 直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是 ‎ ‎16．已知椭圆： ，双曲线： ，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点， 为椭圆右焦点， 为椭圆右顶点， 为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿 轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．‎ 三、解答题（共6题，共70分，请在答题卷上相应区域内写清楚过程）‎ ‎17（本题满分10分）‎ ‎（1）焦点在x轴的椭圆，长轴长是短轴长的3倍，且一个顶点为点P（3，0），求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）焦点在y轴的双曲线，实轴长是虚轴长的3倍，且经过点，求双曲线的标准方程.‎ ‎18（本题满分12分）‎ 已知直线的方程为，求的方程，使得：‎ ‎（1）与平行，且过点；‎ ‎（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.‎ ‎19（本题满分12分）‎ ‎（1）点P在圆上，点Q在直线上，求的最小值.‎ ‎（2）点为圆上一点，过点K作圆的切线为，与： 平行，求与之间的距离.‎ ‎20（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且点为椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎21（本题满分12分）‎ 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。‎ ‎22（本题满分12分）‎ 在△ABC 中，顶点A,B,C 所对三边分别是a,b,c ，已知B(﹣1,0)，C(1,0)，且b,a,c 成等差数列.‎ ‎（1）求顶点A的轨迹方程；‎ ‎（2）设顶点A的轨迹与直线y = k x + m 相交于不同的两点M、N ，如果存在过点的直线l ,使得点M、N 关于l 对称，求实数m 的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.C ‎13.（7, 9） 14. 15. 16. 2‎ ‎17.（1） …………5分 ‎（2） …………10分 ‎18.（1）. …………5分 ‎（2）或. …………12分 ‎19.（1）圆的标准方程为 圆心到直线的距离为 ‎∴ …………5分 ‎ （2）圆的标准方程为 ‎ 设直线，由l与圆相切得，解得 ‎ ∴直线，‎ a=3，直线 两直线间的距离为 …………12分 ‎20.（1）由条件得：，解得，‎ 所以椭圆的方程为 …………3分 ‎（2）设的方程为，点 由消去得．‎ 令，解得， …………5分 由韦达定理得． …………6分 则由弦长公式得． …………8分 又点P到直线的距离， …………9分 ‎∴， …………10分 ‎ ‎ 当且仅当，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2． …………12分 ‎21.（1）因为双曲线的渐近线方程为: ，‎ 所以 ，又右顶点为，所以，即方程为 …………5分 ‎（2）直线与双曲线联立方程组消y得 ‎ ‎ ‎= …………12分 ‎22. （I）由题知 得 ，即 （定值）．‎ 由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点），‎ 且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ．‎ ‎∴ 顶点 的轨迹方程为 ． ‎ ‎（II）由 ‎ 消去整理得,‎ ‎∴ ，整理得： …①.‎ 令 ，则 .‎ 设 的中点 ，则 ‎ .‎ i)当 时，由题知， ．‎ ii)当 时，直线方程为 ，‎ 由 在直线l上，得，得…②‎ 把②式代入①中可得 ，解得 .‎ 又由②得 ，解得 ，∴．‎ 验证：当 在 上时，得 代入②得 ， 无解．即 不会过椭圆左顶点.‎ 同理可验证 不过右顶点．∴ 的取值范围为． ‎ 综上，当 时，m的取值范围为；当 时，m的取值范围为．‎