2018-2019学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 湖北省沙市中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎2．设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当a=0时，如果b=0同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B ‎【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 ‎3．已知函数，为的导函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数f(x) 求导，再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数 的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若x≥3，则90+x被去掉，剩余四个数的平均数满足题意，再计算方差得解.‎ ‎【详解】‎ 去掉最低分87，若x≥3，则90+x被去掉，‎ 此时剩余的分数为90,90,91,93，平均数为91，满足条件，‎ 此时的方差为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数的计算和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．已知函数，则当取得极大值时，的值应为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，再利用导数求函数的单调区间，即得函数的极大值点.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 令所以函数的增区间为（-1,0）,(1,+∞)，‎ 令所以函数的减区间为（-∞，-1），（0,1），‎ 所以f(x)的极大值点为x=0,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的极值点，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出AB的长，再求点P到直线AB的最小距离和最大距离，即得△ABP面积的最小值和最大值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 由题得圆心到直线AB的距离为，‎ 所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1，最大距离为2+1=3，‎ 所以△ABP的面积的最小值为，最大值为.‎ 所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线的距离的计算，考查面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：由成等比数列得 即 ‎【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题 ‎8．已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，化简不等式即得双曲线的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，‎ 所以 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎9．已知，若，使得 成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题等价于，再求解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，使得成立，则，‎ 由题得，‎ 所以函数f(x)在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，‎ 所以，‎ 由题得，‎ ‎∴‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的存在性问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．如右图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得三视图对应的几何体是如图所示的三棱锥，AB=AD=2,‎ 所以该多面体的体积是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图还原几何体，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．已知函数，当时，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求出函数g(x)的最小值，得,再结合已知得到.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为1≤a≤e+1,‎ 所以函数g(x)在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，‎ 所以g(x)的最小值为g(1)=0,所以,‎ 则 即.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．已知函数，，若直线 与两函数的图象均相切，则（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据直线和的图像相切，求出a=-4,再根据直线和相切求出切点P或.把点P和代入曲线方程即得m的值.‎ ‎【详解】‎ 联立与得 ‎ ‎,所以直线方程为y=2x-4,‎ 由题得设切点P坐标为，‎ 所以 所以切点P或.‎ 把点P和代入得m=或.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和曲线相切，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设复数满足，则____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．‎ 详解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：z﹣2i===2+i ‎∴z=2+3i．‎ ‎∴复数z的共轭复数为2﹣3i 故答案为．‎ 点睛：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎14．已知，若为互质的正整数)，由以上等式，可推测的值，则________.‎ ‎【答案】41‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将每个式子化为统一的形式，，，归纳得到第n个式子，再由特值得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对于第一个式子；‎ 第二个式子；‎ 第二个式子；‎ ‎ ‎ 分析可得：第个式子可得，‎ 当时，，即，即.‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎15．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 由于y′＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝，∴an＝lg，∴原式＝lg ＋lg＋…＋lg＝lg＝lg＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎16．已知是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则的取值范围是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 ， ，设 ，因为点P在线段AB上，所以， ，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知,命题：对任意，不等式恒成立；命题：曲线 在任意一点处的切线斜率均大于． ‎ ‎(Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ）若命题是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ）;(Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ）由题得解不等式即得m的范围；(Ⅱ）先化简命题q,得m≤2，再根据命题是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ）由题得.‎ ‎(Ⅱ）因为 在任意一点处的切线斜率均大于，所以.‎ 因为命题是真命题，所以且m≤2，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的恒成立问题，考查导数的几何意义，考查复合命题的真假的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了名女性或名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图.‎ ‎（1）完成下列 列联表： ‎ 喜欢旅游 不喜欢旅游 估计 女性 男性 合计 ‎（2）能否在犯错误概率不超过的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.‎ 附：‎ 参考公式：‎ ‎，其中 ‎【答案】(1)答案见解析；(2) 不能在犯错误概率不超过的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等高条形图计算可得女生不喜欢打羽毛球的人数为，男性不喜欢打羽毛球的人数为.据此完成列联表即可.‎ ‎（2）结合(1)中的列联表计算可得，则不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.‎ 详解：（1）根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为，‎ 男性不喜欢打羽毛球的人数为.‎ 填写列联表如下：‎ 喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 总计 女生 男生 总计 ‎（2）根据列联表中数据，计算 ‎ ，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.‎ 点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． ‎ ‎19．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ ‎【答案】解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 ‎.‎ 故长方体的体积为 从而 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.‎ 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，‎ 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。‎ 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.‎ 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设长方体的长和宽分别为，则高为，所以长方体的体积为，，令得（舍去）或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时长方体的长宽高分别为.‎ 考点：导数在实际问题中的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数在实际问题中的应用，属于中档题.数学应用问题解答的关键是读懂题意，设出变量（一般是怎么问，就怎么设）建立函数关系，利用数学知识来解答.本题中通过设出长和宽，根据所有棱长和为表示出高，得到体积的一元三次函数关系，利用导数研究出其在定义域内的单调性，找出最值点.‎ ‎20．在四棱锥中，平面，，，且，为线段上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ）若且，求证： 平面，并求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明面面垂直可证线面垂直，因为平面，平面，所以，又，且，所以平面.（2）在上取一点，使得，因为，所以.又，所以，所以四边形为平行四边形，因为平面，所以.因为，‎ ‎，即点到的距离为，再根据椎体体积公式求解即可 试题解析：‎ 证明：（1）因为平面，平面，‎ 所以，又，且，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）在上取一点，使得，‎ 因为，所以.‎ 又，所以，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.因为，，即点到的距离为，‎ 即得点到平面的距离为2，‎ ‎，所以点到平面的距离为，‎ 所以 .‎ ‎21．已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线MN过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据已知得到关于p和a,b的方程组，解方程组即得抛物线的方程；（Ⅱ）设所在直线的方程为，求出．设所在直线的方程为，可得．再求直线MN的方程，求直线MN经过的定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为， ‎ 不妨取，即，‎ ‎∴焦点到渐近线的距离为，‎ ‎∵，∴ ‎ 所以抛物线的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，代入中，得，‎ 设，则有，‎ 从而．‎ 则． ‎ 设所在直线的方程为，同理可得． ‎ ‎，‎ 所在直线的方程为，‎ 即． ‎ 又，即，代入上式，得，‎ 即 ．∵，∴是此方程的一组解，‎ 所以直线恒过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎22．已知函数，且时有极大值.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据在时f(x)有极大值得或，再检验舍去，即得函数f(x)的解析式；（Ⅱ）原命题等价于，记，证明，原命题等价于等价于，记，求出k的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，‎ 所以，从而得或， ‎ 时，，此时，当时，，当 时，‎ ‎，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去； ‎ 时，，此时，符合题意。‎ ‎∴所求的 . ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于 ‎，即， ‎ 记，则,‎ 由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，‎ 所以，‎ 对任意正实数恒成立，等价于，‎ 即， ‎ 记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎