2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期末数学理试题（解析版）

河北省邢台市 2017-2018 学年高二上学期期末考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 设命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题 ： ， 的否定为 ， ,故选 A. 2. 已知抛物线 的方程为 ，则 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题抛物线 的标准方程为 ，则焦点坐标为 .故选 C. 3. 用反证法证明命题“三角形内角中至多有一个钝角”，假设正确的是（ ） A. 假设三个内角都是锐角 B. 假设三个内角都是钝角 C. 假设三个内角中至少有两个钝角 D. 假设三个内角中至少有两个锐角 【答案】C 【解析】“至多有一个”的否定是“至少有两个”. 故选 C. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 函数 无零点 B. 抛物线 的准线方程为 C. 椭圆的离心率越大，椭圆越圆 D. 双曲线 的实轴长为 【答案】C 【解析】A,B,D 显然成立，椭圆的离心率 ,所以离心率越大，椭圆越扁，故 C 不正确. 故选 C. 5. “ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 ，解得 ，所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.故选 B. 6. 以 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】点 到直线 的距离 ，所以以 为圆心，且与直线 相切 的圆的方程为 故选 B. 7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为三分之一个圆锥，其体积为 . 故选 D. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能 看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然 后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符 合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间 想象将三视图还原为实物图． 8. 设 是椭圆 ： 的两个焦点，点 是椭圆 与圆 ： 的一个交点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知 ， ，解得 ， ， ，故选 C. 9. 小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”； 小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我的第一名”.已知他们四人中只有一人说 真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ） A. 小明 B. 小马 C. 小红 D. 小方 【答案】A 【解析】如果小方得第一名，那么小明说的也是真话，不符合要求；如果小红得第一名，那么小马说的也是真话， 不符合要求；如果小明得第一名，那么小明说的也是真话，小马、小方、小红说的是假话，符合要求；所以得第 一名的人是小明.故选 A. 10. 抛物线 ： 的准线与 轴交于点 ，点 为焦点，若抛物线 上一点 满足 ，则以 为圆心且过点 的圆被 轴所截得的弦长约为（参考数据： ）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意,A(−1,0),F(1,0)， 点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上. 设点 P 的横坐标为 m,联立圆与抛物线的方程得 x2+4x−1=0 ， ∵m>0,∴ ∴ 点 P 的横坐标为 ，∴|PF|=m+1= ， 故所求弦长为 . 故选 D. 11. 在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对棱长相等的三棱锥可以补形为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别为 则 有 则外接球的半径 ，所以表面积为 . 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、 切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，或者对棱长相等的三棱锥一般把有关元素“补 形”成为一个球内接长方体，利用 求解． 12. 设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，过 作 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点 为 ，已知 ， ，点 是双曲线 右支上的动点，且 恒成立，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知 ，由 得 则 由于 恒成立，所以 ， 又 又 本题选择 A 选项. 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是_______. 【答案】 【解析】由题知双曲线的焦点在 y 轴上，且 解得 ，所以双曲线的方程是 . 14. 若圆 与圆 的公共弦的弦长为 ，则 _______. 【答案】 【解析】公共弦所在的直线方程为 ,圆心（0，0）到该直线的距离 ，解得 . 15. 设函数 ，观察： ， ， ， ， …… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 且 时， ______. 【答案】 16. 已知 为曲线 ： 上任意一点， ，则 的最大值是_______. 【答案】8 可得 |MA|+|MB| 的最大值为 8. 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知命题 ：若 ，则 ， ： . （1）写出 的逆否命题； （2）判断 的真假，并说明理由. 【答案】(1)见解析(2) 为真， 为真， 为假. 【解析】试题分析：（1）若 则 的逆否命题是若 则 . （2）先判断命题 p,q 的真假，再利用真值表可判断 的真假. 试题解析：（1） 的逆否命题：若 ，则 . （2）若 ，则 ，∴ ，∴ 为真， ∵方程 的判别式 ，∴方程无解，∴ 为假. 故 为真， 为真， 为假. 18. 已知圆 ： ，直线： . （1）若直线与圆 交于 两点，求 ； （2）是否存在常数 ，使得直线 ： 被圆 所截得的弦的中点在直线上？若存在，求出 的值；若不存 在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 不存在这样的 【解析】试题分析：（1）先求圆心 到直线： 的距离 ，再利用勾股定理求 . （2）联立直线 与圆 得 ， 可得中点坐标为 ，将其代入直线方程，得 ，结合 判断不存在这样的 . 试题解析：（1）因为圆心 到直线： 的距离 ， 所以 . （2）记直线 与圆 两交点的坐标分别为 ， 由 得 ， 所以 ， 所以中点坐标为 ， 将其代入直线方程，得 所以 又由 得 所以不存在这样的 . 19. 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， . （1）证明： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）先证明 平面 ，可证得 . （2）分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ,用向量法求解即可. 试题解析：（1）因为四边形 是矩形， ， 所以 又因为 ， ，所以 平面 因为 ，所以 平面 ， ， 又 ，所以 平面 ，从而 . （2）分别以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ，所以 ，又 ， 故 ， 设 为平面 的法向量，则 即 ， 取 ，解得 ， ∴ 为平面 的一个法向量 显然， 为平面 的一个法向量 则 . 据图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 . 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两 直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③ 求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 20. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，原点为 ，过 作倾斜角为的直线交抛物线 于 两点. （1）过 点作抛物线准线的垂线，垂足为 ，若直线 的斜率为 ，且 ，求抛物线的方程； （2）当直线的倾斜角为多大时， 的长度最小. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用几何性质可得 为等边三角形，得 ，所以抛物线方程为 . （2）联立 得 ， ，可得 ， 所以焦点弦 ，当且仅当 等号成立， ∴ . 试题解析：（1）准线与 轴的交点为 ，则由几何性质得 ， ∵ 且 ， ∴ 为等边三角形，得 ， ∴抛物线方程为 . （2）∵ ，∴直线的方程可设为 ， 由 得 ， 设 ，则 ，得 ， 所以 ，当且仅当 等号成立， ∴ . 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到 准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就 能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离， 这样就可以使问题简单化． 21. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 平面 ， ， 是 棱 上的一个点， ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）连接 ，取 的中点 ，所以 ，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，所以 平面 ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，求得线面夹角的正弦值。 试题解析： （1）证明：连接 ，设 ，取 的中点 ，连接 ， 在 中，因为 分别为 的中点，所以 ， 又 平面 ，所以 平面 ， 同理，在 中， 平面 ， 因为 平面 ，所以 平面 . （2）以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 在等边三角形 中，因为 ，所以 ， 因此 ， 且 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ，得 ， 直线 与平面 所成的角为， 则 . 22. 已知椭圆 ： 的焦距为 4，且点 在椭圆 上，直线经过椭圆 的左焦点 ，与椭圆 交于 两点，且其斜率为 ， 为坐标原点， 为椭圆 的右焦点. （1）求椭圆 的方程； （2）设 ，延长 分别与椭圆 交于 两点，直线 的斜率为 ，求证： 为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】试题分析：（1）由题意知， ，且 解得 ，故椭圆 的方程为 . （2）联立 得 ，同理得 的坐标为 ，表示 整 理得 ，从而 为定值. 试题解析：（1）由题意知， ，且 ∴解得 椭圆 的方程为 . （2）由（1）可得 ，设 ， ， 可得 ： ， ∴联立方程 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 同理，直线 与椭圆交点 的坐标为 ∴ 设 ： ，∴ 代入可得 ， ∴ 为定值. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉 及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之 前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.