陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测检测(二)数学(理)试题

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陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测检测(二)数学(理)试题

咸阳市2020年高考模拟检测(二)‎ 数学(理科)试题 注意事项:‎ ‎1.本试卷共4页满分150分,时间120分钟;‎ ‎2.答卷前,考生须准确填写自己的姓名、准考证号,并认真核准条形码上的姓名、准考证号;‎ ‎3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,涂写要工整、清晰;‎ ‎4.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数(为虚数单位),则的虚部为( ).‎ A.2 B. C. D.‎ ‎3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影等于( ).‎ A. B.‎9 C. D.‎ ‎4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15, ,我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛(如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球, )若一“落一形”三角锥垛有10层,则该堆第10层球的个数为( ).‎ A.66 B.‎55 C.45 D.38‎ ‎5.已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是( ).‎ A.该组数据的极差为12 B.该组数据的中位数为21‎ C.该组数据的平均数为21 D.该组数据的方差为11‎ ‎6.已知,则下列不等式不成立的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,且,,则“”是“”的( ).‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.的展开式中项的系数为( ).‎ A.24 B.‎18 C.12 D.4‎ ‎9.若,且,则的值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎10.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线,则的值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11.将函数的图像向右平移个单位长度后得函数图像,若为偶函数,则( ).‎ A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 ‎12.已知函数,则函数的零点个数为( ).‎ A.6 B.‎7 C.9 D.10‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知实数,满足不等式组,则的最大值为________.‎ ‎14.已知定义在上的函数满足,且,则________.‎ ‎15.在中内角,,所对的边分别为,,,若,,,则的面积为________.‎ ‎16.已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球的表面上,若球的表面积为,则该三棱柱的体积为________.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足,,其前项和为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式及;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知四棱锥中,底面为直角梯形,平面,且,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表:‎ 学生的编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 数学 ‎89‎ ‎87‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎78‎ ‎90‎ 物理 ‎79‎ ‎75‎ ‎77‎ ‎73‎ ‎72‎ ‎74‎ ‎(Ⅰ)若在本次考试中规定数学在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生,设表示理科小能手的人数,求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用表示数学成绩,用表示物理成绩,求与的回归方程.‎ 参考公式:,其中,.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆过点,且其离心率为,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于,两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数(且).‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)对任意,恒成立,求的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分,考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线.‎ ‎(Ⅰ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求,的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与相交于异于极点的交点为,与的交点为,求.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知关于的不等式有解,记实数的最大值为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)正数,,满足,求证.‎ 咸阳市2020年高考模拟检测(二)‎ 数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.6 14.3 15. 16.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,‎ 解得:, (4分)‎ ‎∴,, (6分)‎ ‎(Ⅱ)(错位相减法)‎ ‎,①‎ ‎①式两边同时乘,得,②‎ 可得,, (8分)‎ ‎,‎ ‎, (10分)‎ ‎. (12分)‎ ‎18.解:(Ⅰ)证明:取的中点,连接,,.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,,∴四边形为正方形,则.‎ ‎∵平面,平面,∴.‎ ‎∵,∴平面. (4分)‎ ‎∵,,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴,∴平面.‎ 又平面,∴平面平面. (6分)‎ ‎(Ⅱ)∵平面,∴为与平面所成的角,‎ 即,则.‎ 设,则,,.‎ 以点为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,.‎ ‎∵平面,∴平面的一个法向量. (8分)‎ 设平面的法向量,‎ ‎∵,,‎ 则,取,则. (10分)‎ 设二面角的平面角为,‎ ‎∴.‎ 由图可知二面角为锐角,故二面角的余弦值为. (12分)‎ ‎19.解:(Ⅰ)由题意得的可能取值为0,1,2,‎ ‎6个学生中理科小能手有2人,‎ ‎,‎ ‎, (4分)‎ ‎. (4分)‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎. (6分)‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎, (8分)‎ ‎ (9分)‎ ‎∴回归方程为:. (12分)‎ ‎20.解:(Ⅰ)椭圆经过点,∴,又∵ (2分)‎ 解之得,.所以椭圆的方程为 (4分)‎ ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,由对称性,设,.‎ ‎∵,在椭圆上,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴到直线的距离为,. (6分)‎ 当直线的斜率存在时,设的方程为,‎ 由得.‎ 设,,则,. (8分)‎ ‎∵,∴‎ ‎∴.‎ ‎∴,即. (10分)‎ ‎∴到直线的距离为,‎ 故存在定圆与直线总相切. (12分)‎ ‎21.解:(Ⅰ)由. (1分)‎ 当时,时,,单调递减;‎ 时,,单调递增. (2分)‎ 当时,时,,单调递减;‎ 时,,单调递增. (3分)‎ 综上所述,在区间上单调递减,在区间上单调递增. (4分)‎ ‎(Ⅱ)由题意知对任意,‎ 恒成立,‎ 又由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以只需:‎ ‎ (8分)‎ 设.‎ ‎∵,∴在区间上单调递增;在区间上单调递减.‎ 注意到,所以,当不等式(1)成立;当时不等式(1)不成立.‎ 又,∴当不等式(1)也成立,‎ 所以,时不等式(1)成立.此时,不等式(2)也成立,而当时,‎ ‎,由函数的性质知,不等式(2)不成立.‎ 综上所述,不等式组的解为. (11分)‎ 又∵,∴实数的取值范围为. (12分)‎ ‎(二)选考题:共10分,考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的笫一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.解:(Ⅰ)曲线(为参数)可化为普通方程:, (2分)‎ 由可得曲线的极坐标方程为, (3分)‎ 曲线的极坐标方程为. (5分)‎ ‎(Ⅱ)射线与曲线的交点的极径为, (6分)‎ 射线与曲线的交点的极径满足,解得, (8分)‎ ‎∴. (10分)‎ ‎23.解:(Ⅰ), (2分)‎ 若不等式有解,则满足, (3分)‎ 解得.∴. (5分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知正数,,满足,‎ ‎∴, (7分)‎ ‎. (9分)‎ 当且仅当,时,取等号. (10分)‎
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