2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知命题 ， ；命题，使则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A． B． p∧(q) C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，命题 为假命题，则为真命题；命题为真命题，则为假命题，所以由真值表可得， 为真命题， 为假命题， 为假命题， 为假命题，故选D.‎ ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A． 命题“”的否定是：“”‎ B． “”是“”的必要不充分条件 C． 命题“若，则”的否命题是：若，则 D． 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 逐一考查所给命题的真假：‎ A.命题“”的否定是：“”，选项A错误 B.“”是“”的充分不必要条件，选项B错误 C.命题“若，则”的否命题是：若，则，选项C错误 D.命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题，该说法正确.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A． 椭圆 B． 线段 C． 不存在 D． 椭圆或线段 ‎【答案】D ‎【解析】当时，由均值不等式的结论有： ，当且仅当时等号成立.‎ 当时，点的轨迹表示线段,‎ 当时，点的轨迹表示以位焦点的椭圆,‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.‎ ‎4．设分别是椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，且则的面积为（ ）‎ A． 24 B． 25 C． 30 D． 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵|PF1|：|PF2|=4：3，‎ ‎∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，‎ 由题意可知3k+4k=2a=14，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴|PF1|=8，|PF2|=6，‎ ‎∵|F1F2|=10，‎ ‎∴△PF1F2是直角三角形，‎ 其面积=××=×6×8=24．‎ 故选A．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，已知为函数 图象上一点，若，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。‎ 由双曲线的定义得，又，所以。‎ 在中，由余弦定理得。选C。‎ 点睛：‎ 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常涉及到正（余）弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式。解题中常用到定义式的平方，再结合余弦定理和三角形的面积公式求解。‎ ‎6．设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的对称性知， ，因为所以 ‎=，根据题意所成的角为60°的“直线对”只有2对，则， ‎ 又因为在右支上存在一点，使由焦半径公式得，得 ‎，故因为即 ‎ 综上则该双曲线的离心率的取值范围是 故选 点睛：本题考查了双曲线的离心率问题，综合性较强，一定要理解题目中给出的条件意思，将其转化为数学语言，如“所成的角为60°的“直线对”只有2对”将其转化为离心率问题，需要熟练运用基础知识 ‎7．已知双曲线的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于， 两点，若，则的离心率为( )‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的右顶点为A(a,0)，‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。‎ 若,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为： ，‎ 可得： ,即.‎ ‎8．已知为坐标原点， ， 是双曲线： （， ）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设P为双曲线右支上一点, =m, =n,|F1F2|=2c，‎ 由双曲线的定义可得m−n=2a，‎ 点P满足,可得m2+n2=4c2，‎ 即有(m−n)2+2mn=4c2，‎ 又mn=2a2，‎ 可得4a2+4a2=4c2，‎ 即有c=a，‎ 则离心率e=‎ 故选：D .‎ ‎9．已知点是抛物线上的一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 （ ）‎ A． 4 B． C． 5 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为点到抛物线的准线的距离为等于到抛物线的焦点的距离，则的最小值为到直线的距离，‎ ‎ 由抛物线得，‎ ‎ 所以的最小值为，故选D．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的定义其简单的几何性质的应用，其中解答中直接把点到抛物线准线的距离转化为到培训安的焦点的距离，求解焦点到直线的距离是解答的关键，着重考查了数形结合法和转化思想的应用，试题比较基础，属于基础题．‎ ‎10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2017/4/12/1664270599528448/1664834291892224/EXPLANATION/e0f9adec754e4c04b0fb98802f455e29.png]‎ 因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点 的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.‎ ‎11．过曲线图象上一点（2， 2）及邻近一点（2 ， 2 ）作割线，则当时割线的斜率为（ ）‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ．故选B．‎ 考点：导数的定义．‎ ‎12．已知，则 ( )‎ A． B． C． D． 以上都不正确 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：‎ 据此有： .‎ 本题选择B选项.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，不等式的解集为，‎ ‎ 要使得不等式成的充分不必要条件是，‎ 则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.‎ ‎14．已知圆： 及一点， 在圆上运动一周， 的中点形成轨迹的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则， 在圆上， ，即， 轨迹的方程为,故答案为.‎ ‎15．直线与椭圆交与两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，以为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点两点为顶点得一矩形． 直线的倾斜角为，所以矩形宽为，长为 ‎ 由椭圆定义知矩形的长宽之和等于，即 即答案为．‎ ‎【点睛】本题考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．‎ ‎16．已知在上可导， ，则__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由题知，则．故本题应填．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得的值，由此求得函数的解析式；（Ⅱ）将问题转化为函数的图象与有三个公共点，由此结合图象求得的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，‎ 因为曲线在处的切线与直线平行，‎ 所以，解得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，‎ 所以函数在区间上有三个零点，‎ 等价于函数在上的图象与有三个公共点．‎ 结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是．‎ 考点：1、导数几何意义；2、函数的零点；3、函数的图象．‎ ‎【知识点睛】对于函数零点的判定：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有，那么函数在区间内有零点,即存在，使得，这个也就是方程的根．‎ ‎18．（题文）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求和的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论方程的解的个数，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) ， .‎ ‎（2）当时，方程无解；当或时，方程有唯一解；当时，方程有两解.‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用在处的切线方程为,列出方程组求解;（Ⅱ）通过 ,判断方程的解出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当 时，方程无解；当或时，方程有唯一解；当时，方程有两解.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，又在处得切线方程为，‎ 所以，解得.‎ ‎（Ⅱ）当时，在定义域内恒大于0，此时方程无解.‎ 当时，在区间内恒成立，‎ 所以为定义域为增函数，因为，‎ 所以方程有唯一解.‎ 当时，.‎ 当时，， 在区间内为减函数，‎ 当时，，在区间内为增函数，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 当时，，无方程解；‎ 当时，，方程有唯一解.‎ 当时，，‎ 因为，且，所以方程在区间内有唯一解，‎ 当时，设，所以在区间内为增函数，‎ 又，所以，即，故.‎ 因为，所以.‎ 所以方程在区间内有唯一解，所以方程在区间内有两解，‎ 综上所述，当时，方程无解.‎ ‎19．已知抛物线 的焦点为是过F的直线与抛物线的两个交点，‎ 求证：(1)y1y2＝－p2，；‎ ‎(2)为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出抛物线的焦点和准线方程，设直线方程是，代入拋物线方程，运用韦达定理，结合拋物线方程，即可得证；（2）运用拋物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值；（3）求出的中点坐标，以及的长，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：即可得证.‎ 试题解析：　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，‎ 代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝ (定值).‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 ‎20．已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍 ‎（1）求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。‎ 根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.‎ ‎21．设命题，命题：关于不等式的解集为.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当为真时，；（2）的取值范围是。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题为真命题，即不等式的解集为，利用判别式求出实数的取值范围；‎ 根据题意得命题，有且仅有一个为真命题，分别讨论真假与假真，即可得出实数的取值范围。‎ 解析：（1）当为真时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时，恒成立.‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当为真时，‎ ‎（2）当为真时，‎ ‎∵，∴当为真时，；‎ 当为真时，，‎ 由题设，命题或是真命题，且是假命题，‎ 真假可得，‎ 假真可得或 综上可得或 则的取值范围是.‎ ‎22．如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE∥AB,AB为短轴,OC为长半轴 ‎(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;‎ ‎(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，可得半椭圆的方程：，设点，由且，可得。（2））设半椭圆上一点为由条件得故，结合对称轴得到，从而，即为所求范围。‎ 试题解析：‎ ‎（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系 半椭圆的方程：，‎ 设椭圆上点，‎ 所以且，‎ 所以. ‎ ‎（2）设半椭圆上一点为 由题可知点 所以，‎ 又函数图象的对称轴为，‎ 所以 解得 所以 由（1）知 所以底边DE的取值范围为