2017-2018学年湖北省部分重点中学高二下学期期中考试数学（文科）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省部分重点中学高二下学期期中考试数学（文科）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省部分重点中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数（是虚数单位）是实数，则实数（ ）‎ A. 0 B. -3 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数（是虚数单位）是实数，故 ‎ 故答案为：A。‎ ‎2．对下列三种图形，正确的表述为（ ）‎ A.它们都是流程图 B.它们都是结构图 C.（1）、（2）是流程图，（3）是结构图 D.（1）是流程图，（2）、（3）是结构图 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．‎ 解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．‎ ‎（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．‎ ‎（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．‎ ‎3．已知函数f(x)＝ ，则 ＝( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因此，选A.‎ ‎4．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为(　 　)‎ A. 4＋7i B. 1＋3i C. 4－4i D. －1＋6i ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，选C.‎ ‎5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=(　　)‎ A. 4 B. 5‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】循环依次为 结束循环，输出，选A.‎ ‎6．6．若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于( )‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x) 在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，‎ 所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，‎ 所以ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．选D ‎7．已知“整数对”按如下规律排一列: ，则第2017个整数对为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设“整数对”为（m，n）（m，n∈N），由已知可知点列的排列规律是m+n的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．‎ 当m+n=2时只有一个（1，1）；‎ 当m+n=3时有两个（1，2），（2，1）；‎ 当m+n=4时有3个（1，3），（2，2），（3，1）；‎ ‎…‎ 当m+n=64时有63个（1，63），（2，62），…，（63，1）；‎ 其上面共有个数对。‎ 所以第2017个整数对为。‎ 选C。‎ ‎8．已知，则下列三个数， ， （ ）‎ A. 都大于6 B. 至少有一个不大于6 C. 都小于6 D. 至少有一个不小于6‎ ‎【答案】D ‎【解析】假设3个数， ， 都小于6，则 ‎ 利用基本不等式可得， ，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数， ， 至少有一个不小于6，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键.‎ ‎9．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　 　)‎ A. B. r C. r D. r ‎【答案】D ‎【解析】设，则上底为，高为，‎ 因此梯形面积为 因为由，‎ 得，根据实际意义得时，梯形面积取最大值，此时上底为，选D.‎ 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.‎ ‎10．设为实数，函数的导数为，且是偶数，则曲线：在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，因为为偶函数，故，所以且，因此且切线的斜率，故而切线方程为：，整理得.选D.‎ 点睛：（1）一般地，对于多项式函数，如果为偶函数，那么；如果为奇函数，那么.‎ ‎（2）曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点横坐标处的导数，因此切点的横坐标是处理切线问题的核心.‎ ‎11．函数在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以去掉B;当时，‎ 解得，所以舍去D，选C.‎ 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 ‎12．定义上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 当且仅当 B. 当且仅当， ‎ C. 对于 D. 对于, ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，故当时， ，则；当时， ，则，应选答案D。‎ 点睛：解答本题时充分运用题设条件，运用分类整合的思想与函数方程思想，如当时， ，则，则是借助大于函数的最大值进行推证；当时， ，则，这是借助不等式的传递性进行进行合理的推理和论证，最终使得问题获解。‎ 二、填空题 ‎13．设集合， ，若，则最大值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得： ，则x=1时， 时， ，当时， 当时， .故答案为.‎ ‎14．根据下图所示的流程图，回答下面问题：‎ 若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．‎ ‎【答案】50.6‎ ‎【解析】因为，所以输出 ‎15．已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】设正四棱锥底面边长为则高为，‎ 所以正四棱锥的体积为，‎ 由得，‎ 由极值唯一性可知当时，取最大值，此时高为 ‎16．对于三次函数给出定义：设是函数的导数， 是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算__________.‎ ‎【答案】2016‎ ‎【解析】，‎ 因此关于对称，即 设，‎ 则 因此 点睛：函数对称性代数表示 ‎（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；‎ ‎（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，‎ ‎（3）函数周期为T,则 三、解答题 ‎17．已知复数，是实数，是虚数单位．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）z=﹣2i．（2）m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：‎ 解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．‎ 又∵是实数，∴， ∴b=﹣2，即z=﹣2i．‎ ‎（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2‎ ‎﹣4）﹣4mi，‎ 又∵复数所表示的点在第一象限，∴，‎ 解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．‎ ‎18．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．‎ ‎(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？‎ ‎(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎【答案】(1) 当x＝15时，S取得最大值．(2) x＝20，包装盒的高与底面边长的比值为 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出， 与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；‎ ‎（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．‎ 设包装盒的高为，底面边长为 由已知得 ‎（1）∵2分 ‎∴当时， 取得最大值 3分 ‎（2）根据题意有5分 ‎∴。‎ 由得，(舍)或。‎ ‎∴当时；当时7分 ‎∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为 即包装盒的高与底面边长的比值为10分．‎ ‎【考点】1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．‎ ‎19．等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项的和Sn.‎ ‎(2)设bn=.求证:数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列.‎ ‎【答案】（1）an=2n+-1,Sn=n(n+)；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据条件求出等差数列的公差，然后再求和．‎ ‎（2）用反证法证明．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则S3=3a1+3d=9+3，‎ 又a1=1+，‎ 解得d=2，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎ (2)由(1)得bn==n+，‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列．‎ 则=bp·br，‎ 即(q+)2=(p+)·(r+)，‎ 整理得(q2-pr)+ (2q-p-r)=0，‎ 所以　‎ 消去q得=pr，即(p-r)2=0，‎ 所以p=r．‎ 与p，q，r互不相等矛盾．‎ 所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列．‎ 点睛：‎ ‎（1）结论若是“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法．‎ ‎（2）用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样：‎ 有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎20．如图所示，矩形中， ， ，沿对角线把折起，使点在平面上的射影落在上．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】解：试题分析：‎ ‎(1)利用题意证得CD⊥平面ABC.然后由面面垂直的判断定理即可证得平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)三棱锥的体积关键在于选择合适的顶点和底面，以点A为顶点计算可得VA－BCD＝‎ 试题解析：‎ ‎ (1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.‎ 又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，‎ ‎∴CD⊥平面ABC.‎ 又CD⊂平面ACD，‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，‎ 又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，‎ ‎∴AB⊥平面ACD.‎ ‎∴VA－BCD＝VB－ACD＝·S△ACD·AB.‎ ‎ 又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD=3 ，‎ ‎∴AC＝.‎ ‎∴VA－BCD＝‎ ‎21．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.‎ 解析：‎ ‎(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， ‎ 解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求函数的极小值；‎ ‎（3）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：1.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；2.已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为（或）恒成立的问题；3.已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴时函数 的最小值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ） 当时， ‎ 令得，‎ 解得或（舍），即 当时，，当时，‎ ‎∴的极小值为 ‎（Ⅲ）将方程两边同除得 整理得 即函数与函数在上有两个不同的交点；‎ 由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增 ‎，当时，‎ ‎∴‎ 实数的取值范围为 ‎【考点】本题主要考查导数的运用.‎