2019届二轮复习（文）解三角形问题学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）解三角形问题学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，文16】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）‎ ‎，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 ‎ 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 学 ‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1，文4】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知， ， ，则b=‎ ‎（A）（B）（C）2 （D）3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.‎ ‎【考点】余弦定理 ‎【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！‎ ‎【命题意图】学 ]‎ ‎1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.‎ ‎【命题规律】‎ ‎1.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．‎ 由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ ‎2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．‎ 变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况 ]‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜b ‎ a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 ‎4.三角形常用的面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． ]‎ ‎【方法总结】 学 ‎ ‎1.三角形中常见的结论 ‎ (1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；‎ tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.‎ ‎(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .‎ ‎(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．‎ ‎2.判定三角形形状的两种常用途径 ‎ (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．‎ (2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．‎ ‎1．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】在中，内角的对边分别为.若，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理可得，即 ‎∵‎ ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，即为锐角 ‎∴‎ 故选A ‎2．【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】在中，，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】D 点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题．‎ ‎3．【长春市普通高中2018-2019届高三质量监测（一）】在中，内角、、的对边分别为、、，若，则角为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用正弦定理、结合诱导公式可得，从而可得.‎ ‎【详解】 学 ‎ ‎【点睛】‎ 题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径 学 ‎ ‎4．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（五）】在中，，若，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由向量线性运算法则可得=，即可得P为△ABC的重心，则有++=，由正弦定理分析sinB•+2sinA•+3sinC•=可得b•+2a•+3c•=，由向量减法法则可得b（﹣）+2a•+3c•=，即b•+（2a﹣b）+3c•=，由平面向量基本定理可得，解可得a=b=3c，由余弦定理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎：根据题意，如图，在△ABC中，设D为BC的中点，‎ 有+=2，‎ ‎【考点】‎ 向量、三角形重心性质、余弦定理．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理和正弦定理的应用，涉及平面向量基本定理，关键是明确a、b、c的具体关系．‎ ‎5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为 A． 1 B． C． 2 D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 学 ]‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的三角形的边所满足的条件，结合余弦定理，求得，结合三角形内角的取值范围，求得，再结合正弦定理，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 化为，‎ 所以，又因为，所以，‎ 由正弦定理可得，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解三角形问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件进行认真分析，求得结果. 学 ‎ ‎6．【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】在中，角的对边分别为，若，，则（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.‎ ‎7．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】在中，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得，‎ 且，‎ 由余弦定理可得：.‎ ‎【点睛】‎ 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎8．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先利用双曲线的定义求出，再利用余弦定理求出，再利用双曲线的定义判 ‎．‎ 点睛：处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时，往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化，如本题中两次利用双曲线的定义，第一次是求得，第二次是结合、判定三角形的形状． 学 ‎ ‎9．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为，若 ‎，则的值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即的值范围是．‎ 点睛：三角形中的最值问题，一般利用正、余弦定理将变化为角，转化为三角函数的最值问题求解，解题过程中要注意角的取值范围，如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角A的取值范围．‎ ‎10．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（二）】在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为（ ）‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【答案】D 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎11．【山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测】的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属基础题．‎ ‎12．【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】在中，内角的对边分别为，，，，则（ ）‎ A． B． C． 4 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可. 学 ‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得：，即，解得：，‎ 结合余弦定理可得：，则 由正弦定理有：，‎ 结合合分比定理可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎13．【甘肃省师大附中2018-2019学年上学期高三期中模拟】在锐角中，，则的取值范围是 ‎（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合余弦函数的图像与性质可得 ‎ 。答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定量、二角和的正弦公式、二部角公式及余弦函数的图像与性质，综合性较强，考查了学生的转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力及创新能力，属于中档题。‎ ‎14．【山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试（二）】我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?” ‎ ‎（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, ‎ 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为（ ）‎ A． 1055步 B． 1255步 C． 1550步 D． 2255步 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，设岛高步，与前标杆相距步，则有解得步，即海岛高度为步，故选B.‎ ‎15．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．‎ 点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．‎