2020_2021学年新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数2

2020_2021学年新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数2

4.1 　函数的奇偶性 激趣诱思 知识点拨 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹 , 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术 . 在中国 , 剪纸具有广泛的群众基础 , 是各种民俗活动的重要组成部分 . 其传承延续的视觉形象和造型样式 , 蕴涵了丰富的历史文化信息 , 表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣 , 具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值 . 折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法 , 它折法简明 , 制作简便 , 尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式 , 这种对称给人一种美的享受 . 我们学习过的函数图象中 , 也有很多这样的对称 现 象 , 请你想一想哪些函数的图象是对称的 , 都有 哪些 对称 方式 ? 激趣诱思 知识点拨 一、奇、偶函数的 定义 注 : 当函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数时 , 称 f ( x ) 具有奇偶性 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 判断函数的奇偶性要 “ 二看 ” (1) 一看定义域 . 定义域 A 要关于原点对称 , 即对任意 x ∈ A , -x ∈ A , 定义域不关于原点对称时 , f ( x ) 既不是奇函数 , 也不是偶函数 . 如 f ( x ) =x 2 , x ∈ R 是偶函数 , 但 f ( x ) =x 2 , x ∈ [ - 1,2] 既不是奇函数 , 也不是偶函数 . (2) 二看等式 . 当 f ( x ) 的定义域关于原点对称时 , 要看 f ( x ) 与 f ( -x ) 的关系 : ① f ( -x ) =f ( x ) ⇔ f ( x ) 是偶函数 ; ② f ( -x ) =-f ( x ) ⇔ f ( x ) 是奇函数 ; ③ f ( -x )≠ ± f ( x ) ⇔ f ( x ) 既不是奇函数 , 也不是偶函数 ; ④ f ( -x ) = ± f ( x ) ⇔ f ( x ) 既是奇函数又是偶函数 . 这样的函数只有一类 , 即 f ( x ) = 0, x ∈ D , 且 D 关于原点对称 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设非零函数 f ( x ), g ( x ) 的定义域分别是 F , G , 若 F=G , 则有下列结论 : 注意 : 上述表格中不考虑 f ( x ) ± g ( x ) = 0; f [ g ( x )] 中 , 需 x ∈ G , g ( x ) ∈ F. 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“√” , 错误的画“ ×”. ( 1) 若 f ( x ) 的定义域关于原点对称 , 则 f ( x ) 是偶函数 . ( 　　 ) (2) 若 f ( x ) 是偶函数 , 则它的定义域关于原点对称 . ( 　　 ) (3) 若 f ( - 2) =f (2), 则 f ( x )( x ∈ R ) 是偶函数 . ( 　　 ) (4) 若 f ( x )( x ∈ R ) 是偶函数 , 则 f ( - 2) =f (2) . ( 　　 ) (5) 若 f (2)≠ f ( - 2), 则 f ( x )( x ∈ R ) 不是偶函数 . ( 　　 ) (6) 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f ( x ) = 0( x ∈ R ) . ( 　　 ) 激趣诱思 知识点拨 答案 : (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 　 (6 ) × 解析 : 只有 f ( x ) 的定义域关于原点对称 , 且 f ( -x ) =f ( x ) 时 , f ( x ) 才是偶函数 , 故 (1) 错误 ; f ( x ) 的定义域关于原点对称是 f ( x ) 为偶函数的必要条件 , 故 (2) 正确 ; 对任意 x ∈ R , 满足 f ( -x ) =f ( x ), f ( x ) 才是偶函数 , 仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性 , 故 (3) 错误而 (4) 正确 ; 为了说明 f ( x ) 不是偶函数 , 举一个反例即可 , 故 (5) 正确 ; f ( x ) = 0, 定义域为 [ - 1,1], 该函数既是奇函数又是偶函数 , 故 (6) 错误 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 已知函数 f ( x ) 是奇函数 , 定义域为 D , 若 0 ∈ D , f (0) 是否为定值 ? 提示 : ∵ f ( x ) 为奇函数 , ∴ 对任意 x ∈ D , f ( -x ) =-f ( x ), ∴ f ( - 0) =-f (0), 即 f (0) = 0, 为定值 . 激趣诱思 知识点拨 二 、函数奇偶性与单调性的关系 1 . 奇函数在 关于原点 对称的区间上具有相同的单调性 ; 偶函数在 关于原点 对称的区间上具有相反的单调性 . 上述结论可简记为 “ 奇同偶异 ” . 2 . 偶函数在 关于原点 对称的区间上有相同的最大 ( 小 ) 值 , 取得最值时的自变量的值互为相反数 ; 奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数 , 取得最值时的自变量的值也互为相反数 . 激趣诱思 知识点拨 名师点 析 1. 奇偶性 与单调性都是函数的重要性质 , 单调性是函数的 “ 局部 ” 性质 , 是研究函数值在某一区间内的变化趋势 ; 而奇偶性是函数的 “ 整体 ” 性质 , 是研究函数图象在整个定义域上的对称性 . 2. 研究 函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要 , 如果一 个函数是奇函数或是偶函数 , 根据它的图象关于坐标原点对称或关于 y 轴对称的性质 , 只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分 , 由函数在其中一部分上的图象和性质 , 即可推断出它在整个定义域内的图象和性质 . 而研究该函数其中一部分图象的情况 , 就得研究其函数值的变化 , 这就是单调性 , 只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若奇函数 f ( x ) 在 [ - 6, - 2] 上是减函数 , 且最小值是 1, 则它在 [2,6] 上是 ( 　　 ) A. 增函数且最小值是 - 1 B. 增函数且最大值是 - 1 C. 减函数且最大值是 - 1 D. 减函数且最小值是 - 1 答案 : C 　 解析 : ∵ 奇函数 f ( x ) 在 [ - 6, - 2] 上是减函数 , 且最小值是 1, ∴ 函数 f ( x ) 在 [2,6] 上是减函数且最大值是 - 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性 : 分析 利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时 , 先求出函数的定义域 , 看其是否关于原点对称 , 如果定义域关于原点对称 , 再判断 f ( -x ) 与 f ( x ) 的关系 . 为了判断 f ( -x ) 与 f ( x ) 的关系 , 既可以从 f ( -x ) 开始化简整理 , 也可以考虑 f ( -x ) +f ( x ) 或 f ( -x ) -f ( x ) 是否等于 0 . 当 f ( x ) 不等于 0 时也可 考虑 与 1 或 - 1 的关系 , 还可以考虑使用图象法 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 函数的定义域为 { x|x ≠ - 1}, 不关于原点对称 , 故 f ( x ) 既不是奇函数又不是偶函数 . (2) 函数的定义域为 R , 关于原点对称 , f ( -x ) = ( -x ) 3 - 2( -x ) = 2 x-x 3 =-f ( x ), ∴ f ( x ) 是奇函数 . 函数的定义域为 { - 1,1}, 关于原点对称 . 又 f (1) =f ( - 1) = 0, 故 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数 . (4) 函数的定义域关于原点对称 . ( 方法一 ) 当 x> 0 时 , -x< 0, f ( -x ) =-x [1 - ( -x )] =-x (1 +x ) =-f ( x ) . 当 x< 0 时 , -x> 0, f ( -x ) = ( -x )[1 + ( -x )] =-x (1 -x ) =-f ( x ) . ∴ f ( -x ) =-f ( x ) . ∴ f ( x ) 是奇函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 图象关于原点对称 , ∴ f ( x ) 是奇函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 根据奇偶性可将函数分为奇函数 , 偶函数 , 既是 奇函数 也 是 偶函数 , 既不是奇函数又不是偶函数 . 2 . 判断函数奇偶性的两种方法 (1) 定义法 : (2) 图象法 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 判断下列函数的奇偶性 : (2) f ( x ) =|x+ 2 |+|x- 2 | ; (3) f ( x ) = 0 . (2) f ( x ) 的定义域是 R , 又 f ( -x ) =|-x+ 2 |+|-x- 2 |=|x- 2 |+|x+ 2 |=f ( x ), 所以 f ( x ) 是偶函数 . (3) 因为 f ( x ) 的定义域为 R , 又 f ( -x ) = 0 =f ( x ), 且 f ( -x ) = 0 =-f ( x ), 所以 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用函数的奇偶性求解析式 例 2 已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数 , 当 x> 0 时 , f ( x ) =- 2 x 2 + 3 x+ 1 . (1) 求 f ( - 1); (2) 求 f ( x ) 的解析式 . 分析 (1) 根据奇函数的性质 , 将 f ( - 1) 转化为 f (1) 求解 ;(2) 先设出所求区间上的自变量 , 利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点 , 把它转化到已知解析式的区间上 , 代入已知的解析式 , 再次利用函数的奇偶性 求解 . 注意不要忽略 x= 0 时 f ( x ) 的解析式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 因为函数 f ( x ) 为奇函数 , 所以 f ( - 1) =-f (1) =- ( - 2 × 1 2 + 3 × 1 + 1) =- 2 . (2) 当 x< 0 时 , -x> 0, 则 f ( -x ) =- 2( -x ) 2 + 3( -x ) + 1 =- 2 x 2 - 3 x+ 1 . 由于 f ( x ) 是奇函数 , 则 f ( x ) =-f ( -x ), 所以 f ( x ) = 2 x 2 + 3 x- 1 . 当 x= 0 时 , f ( - 0) =-f (0), 则 f (0) =-f (0), 即 f (0) = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 这类问题常见的情形是 : 已知当 x ∈ ( a , b ) 时 , f ( x ) = φ ( x ), 求当 x ∈ ( -b , -a ) 时 f ( x ) 的解析式 . 若 f ( x ) 为奇函数 , 则当 x ∈ ( -b , -a ) 时 , f ( x ) =-f ( -x ) =- φ ( -x ); 若 f ( x ) 为偶函数 , 则当 x ∈ ( -b , -a ) 时 , f ( x ) =f ( -x ) = φ ( -x ) . 2 . 若函数 f ( x ) 的定义域内含 0 且为奇函数 , 则必有 f (0) = 0, 不能漏掉 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例中的 “ 奇 ” 改为 “ 偶 ”,“ x> 0” 改为 “ x ≥ 0”, 其他条件不变 , 求 f ( x ) 的解析式 . 解 : 当 x< 0 时 , -x> 0, 此时 f ( -x ) =- 2( -x ) 2 + 3( -x ) + 1 =- 2 x 2 - 3 x+ 1 . 由于 f ( x ) 是偶函数 , 则 f ( x ) =f ( -x ) =- 2 x 2 - 3 x+ 1, 所以 f ( x ) 的解析式为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 函数奇偶性与单调性的综合应用 1 . 比较函数值的大小 例 3 已知偶函数 f ( x ) 的定义域为 R , 当 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ ) 上单调递增 , 则 f ( - 2), f ( π ), f ( - 3) 的大小关系是 ( 　　 ) A. f ( π ) >f ( - 3) >f ( - 2) B. f ( π ) >f ( - 2) >f ( - 3) C. f ( π ) f (3) >f ( π ) . 又因为 f ( x ) 是 R 上的偶函数 , 所以 f ( - 2) =f (2), f ( - 3) =f (3 ), 从而 有 f ( - 2) >f ( - 3) >f ( π ) . (2) 因为函数为定义在 R 上的奇函数 , 且在 [0, +∞ ) 上 单调递增 , 所以函数在 R 上是增函数 , 因为 - 3 <- 2 < π , 所以 f ( - 3) 0 时 , f ( x ) < 0, 则 ( 　　 ) A. f ( x ) 是奇函数 , 且在 R 上是增函数 B. f ( x ) 是奇函数 , 且在 R 上是减函数 C. f ( x ) 是奇函数 , 且在 R 上不是单调函数 D. 无法确定 f ( x ) 的单调性和奇偶性 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 令 x 1 =x 2 = 0, 则 f (0) = 2 f (0), 所以 f (0) = 0 . 令 x 1 =x , x 2 =-x , 则 f ( -x ) +f ( x ) =f ( x-x ) =f (0) = 0, 所以 f ( -x ) =-f ( x ), 故函数 y=f ( x ) 是奇函数 . 设 x 1 0, 所以 f ( x 2 -x 1 ) < 0, 故 f ( x 2 ) 2 a- 4 . ∴ a> 6 . 故 a 的取值范围为 (6, +∞ ) .