2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章第 2 课时 一元二次不等式在实际问题中的应用

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章第 2 课时 一元二次不等式在实际问题中的应用

第 2 课时 一元二次不等式在实际问题中的应用 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实 意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系； 2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 预习小测 自我检验 1．不等式1＋x 1－x ≥0 的解集为________． 答案 {x|－1≤x<1} 解析 原不等式⇔ x＋1x－1≤0， x－1≠0， ∴－1≤x<1. 2．不等式1 x ≤1 的解集为________． 答案 {x|x≥1 或 x<0} 解析 ∵1 x ≤1，∴x－1 x ≥0， ∴ xx－1≥0， x≠0， ∴x≥1 或 x<0. 3．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x－0.1x2(01. 解 (1)原不等式可化为 2x－13x＋1≥0， 3x＋1≠0. 解得 x≤－1 3 或 x≥1 2 ， x≠－1 3 ， ∴x<－1 3 或 x≥1 2 ， ∴原不等式的解集为 x|x<－1 3 或 x≥1 2 . (2)方法一 原不等式可化为 x＋3>0， 2－x>x＋3 或 x＋3<0， 2－x－3， x<－1 2 或 x<－3， x>－1 2 ， ∴－30， 化简得－2x－1 x＋3 >0，即2x＋1 x＋3 <0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－30)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为 a(1＋2x%)万担，收购总金额为 200a(1＋2x%)万元．依题意得 y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝ 1 50a(100＋2x)(10－x)(025 时，不等式 ax≥25×8＋50＋1 6(x2－600)＋x 5 有解， 等价于当 x>25 时，a≥150 x ＋x 6 ＋1 5 有解． 由于150 x ＋x 6 ≥2 150 x ·x 6 ＝10，当且仅当150 x ＝x 6 ，即 x＝30 时等号成立， 所以 a≥10.2. 故当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元． 不等式恒成立问题 典例 (1)若对∀x∈R 不等式 x2＋mx>4x＋m－4 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若 x2>4x＋m－4 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围． 解 (1)原不等式可化为 x2＋(m－4)x＋4－m>0， ∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0， ∴0m 恒成立， ∴m<0， ∴m 的取值范围为{m|m<0}． [素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况： ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ a>0， Δ<0. ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ a<0， Δ≤0. 1．不等式x－1 x－2 ≥0 的解集为( ) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1 或 x≥2} C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2 或 x≤1} 答案 D 解析 由题意可知，不等式等价于 x－1x－2≥0， x－2≠0， ∴x>2 或 x≤1.故选 D. 2．不等式 3 x＋1 ≥1 的解集是( ) A．{x|x<－1 或－1320， 即 x2－28x＋192<0，解得 12－a 或 x0. 又 a＋b<0，所以 b<－a. 所以原不等式的解集为{x|x>－a 或 x2 或 x≤3 4 D. x|x≥3 4 答案 B 解析 不等式3x－1 2－x ≥1，移项得3x－1 2－x －1≥0， 即 x－3 4 x－2 ≤0，可化为 x－3 4 ≥0， x－2<0 或 x－3 4 ≤0， x－2>0， 解得3 4 ≤x<2，则原不等式的解集为 x|3 4 ≤x<2 ， 故选 B. 2．与不等式x－3 2－x ≥0 同解的不等式是( ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．00 答案 B 解析 解不等式x－3 2－x ≥0，得 20 的解是 20 的解集为{x|x>1}，则关于 x 的不等式ax＋b x－2 >0 的解集为( ) A．{x|x>1 或 x<－2} B．{x|12 或 x<－1} D．{x|－10 的解集为{x|x>1}， ∴a>0， 故ax＋b x－2 ＝ax＋1 x－2 >0， 等价为(x＋1)(x－2)>0. ∴x>2 或 x<－1. 4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围为( ) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1400， 即 x2－30x＋200<0，∴1015，∴150 的解集为{x|－1bx 的解集为________． 答案 {x|x<0} 解析 由题意知，－1,2 为 ax2＋bx＋c＝0 的两根， ∴ b＝－a， c＝－2a 且 a<0， ∴不等式2a＋b x ＋c>bx 可化为a x －2a>－ax， ∵a<0，即1 x －2<－x，即x－12 x <0， ∴x<0. 7．现有含盐 7%的食盐水 200 克，生产含盐 5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐 4% 的食盐水为 x 克，则 x 的取值范围是________． 答案 {x|1000，x2＋10x－7 200＝0 有两个实数根， 即 x1＝80，x2＝－90， 然后，根据二次函数 y＝x2＋10x－7 200 的图象(图略)， 得不等式的解集为{x|x≤－90 或 x≥80}． 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于 80 km/h. 9．解关于 x 的不等式a－x x＋1 >0(a∈R)． 解 原不等式可化为x－a x＋1 <0， 即(x＋1)(x－a)<0， ①当 a＝－1 时，x∈∅； ②当 a>－1 时，{x|－1－1 时，不等式的解集为{x|－10， 00， 00 的解集为( ) A．{x|x>－1 且 x≠2} B．{x|x>－1} C．{x|－12} 答案 A 解析 原不等式可化为x－2x＋1 x－2 >0⇒ x＋1>0， x－2≠0， ∴x>－1 且 x≠2.故选 A. 12．若 a>0，b>0，则不等式－b<1 x1 a B. x|－1 a1 b D. x|－1 b－b， 1 x0， ax－1 x >0， 可得 x<－1 b 或 x>0， x<0 或 x>1 a ， 故不等式的解集为 x|x<－1 b 或 x>1 a . 13．不等式x2－2x－2 x2＋x＋1 <2 的解集为( ) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2 或 x>2} 答案 A 解析 ∵x2＋x＋1>0 恒成立， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 14．在一个限速 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车， 但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m．又 知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x＋0.01x2， s 乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________． 答案 乙车 解析 由题意列出不等式 s 甲＝0.1x＋0.01x2>12， s 乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得 x 甲<－40 或 x 甲>30. x 乙<－50 或 x 乙>40. 由于 x>0，从而得 x 甲>30 km/h，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 15．某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，六月份的销售额为 500 万元，七月份 的销售额比六月份增加 x%，八月份的销售额比七月份增加 x%，九、十月份的销售总额与七、 八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为 7 000 万元，则 x 的最小值为 ________． 答案 20 解析 由题意得七月份的销售额为 500(1＋x%)万元，八月份的销售额为 500(1＋x%)2 万元， 记一月份至十月份的销售总额为 y 万元， 则 y＝3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000， 解得 1＋x%≤－11 5 (舍去)或 1＋x%≥6 5 ，即 x%≥20%，所以 xmin＝20. 16．某工厂生产商品 M，若每件定价 80 元，则每年可销售 80 万件，税务部门对市场销售的 商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据 市场调查，若政府对商品 M 征收的税率为 P%(即每百元征收 P 元)时，每年的销售量减少 10P 万件，据此，问： (1)若税务部门对商品 M 每年所收税金不少于 96 万元，求 P 的取值范围； (2)在所收税金不少于 96 万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定 P 值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定 P 值． 解 税率为 P%时，销售量为(80－10P)万件， 即销售额为 y1＝80(80－10P)， 税金为 y2＝80(80－10P)·P%， 其中 0

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