2018届二轮复习等差数列、等比数列课件（全国通用）

2018届二轮复习等差数列、等比数列课件（全国通用）

第一讲 　 等差数列、等比数列 【 必备知识 】 1. 等差数列 (1) 通项公式 :a n = _________=a m + _______. (2) 等差中项公式 :2a n =________(n∈N * ,n≥2). (3) 前 n 项和公式 :S n = = . a 1 +(n-1)d (n-m)d a n-1 +a n+1 (4) 性质 (n,m, l ,k,p 均为正整数 ): ① 若 m+n= l +k, 则 a m +a n =_____( 反之不一定成立 ); 特别 地 , 当 m+n=2p 时 , 有 a m +a n =___; ② 若 {a n } 、 {b n } 是等差数列 , 则 {ka n +tb n }(k,t 是非零 常数 ) 是等差数列 ; ③ 等差数列的 “ 依次每 m 项的和 ” 即 S m ,S 2m -S m , S 3m -S 2m , … 仍是等差数列 . a l +a k 2a p ④ 等差数列 {a n } 当项数为 2n 时 ,S 偶 -S 奇 =nd, , 项数为 2n-1 时 ,S 偶 -S 奇 =a 中 =a n ,S 2n-1 =(2n-1)a n 且 . 2. 等比数列 (1) 等比数列的通项公式 :a n =_____=_____. (2) 等比中项公式 :a n 2 =_________(n∈N * ,n≥2). (3) 等比数列的前 n 项和公式 : S n = ___(q=1) ， ______=________,(q≠1). a 1 q n-1 a m q n-m a n-1 ·a n+1 na 1 (4) 性质 (n,m, l ,k,p 均为正整数 ): ① 若 m+n= l +k, 则 a m · a n =______( 反之不一定成立 ); 特别地 , 当 m+n=2p 时 , 有 a m · a n = ; ② 当 n 为偶数时 , =q( 公比 ); ③ 等比数列 “ 依次 m 项的和 ” , 即 S m ,S 2m -S m , S 3m -S 2m , … (S m ≠0) 成等比数列 . a l · a k a p 2 【 真题体验 】 1.(2017 · 全国卷 Ⅰ) 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 . 若 a 4 +a 5 =24,S 6 =48, 则 {a n } 的公差为　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 【 解析 】 选 C. 设公差为 d, 则 a 4 +a 5 =a 1 +3d+a 1 +4d=24, S 6 =6a 1 + d=48, 联立得 ① ×3-② 得 ( 21 － 15) d=24,6d=24, 所以 d=4. 2.(2017 · 全国卷 Ⅲ) 等差数列 {a n } 的首项为 1, 公差 不为 0. 若 a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列 , 则 {a n } 前 6 项的和为 　 ( 　　 ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 【 解析 】 选 A. 设等差数列的公差为 d,d≠0, =a 2 · a 6 ⇒(1+2d) 2 =(1+d)(1+5d),d 2 =-2d(d≠0), 所以 d=-2, 所以 S 6 =6×1+ ×(-2)=-24. 3.(2017 · 全国卷 Ⅱ) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 3 =3,S 4 =10, 则 =__________. 【 解析 】 设等差数列的首项为 a 1 , 公差为 d, 4.(2015 · 全国卷 Ⅰ) 数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a n+1 =2a n ,S n 为 {a n } 的前 n 项和 , 若 S n =126, 则 n=________. 【 解析 】 因为 a n+1 =2a n , 所以数列 {a n } 是首项 a 1 =2, 公比 q=2 的等比数列 , 由 S n =126, 可得 n=6. 答案 : 6 【 大数据易错点 】 排序 1: 未标注 n 的范围失分 . 书写与数列相关的式子时 , 只要出现如 a n-1 ,S n-1 时 , 就要标注条件 n≥2,n∈N + . 排序 2: 忽略对公比 q 的讨论致误 . 求数列的前 n 项和时 , 应先讨论公比是否为 1, 然后再选用相应的公式解题 . 排序 3: 混淆等差、等比数列单调性的判断条件致误 . 等差数列的单调性只与公差 d 有关 , 而等比数列的单调性不但与公比有关 , 还与首项有关 , 二者不能混淆 . 排序 4: 注意隐含条件 . 利用函数知识求 a n 或 S n 的最值时 , 易忽略条件 n∈N * . 热点考向一　等差 ( 比 ) 数列的基本运算 命题解读 : 主要考査等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式中的 5 个基本量的 “ 知三求二 ” 的运算 . 【 典例 1】 (1)(2017 · 长春二模 ) 等比数列 {a n } 中各项均为正数 ,S n 为其前 n 项和 , 且满足 2S 3 =8a 1 +3a 2 ,a 4 =16, 则 S 4 = 　 ( 　　 ) A.9 B.15 C.18 D.30 (2)(2017 · 郑州三模 ) 若等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S 2 =3,S 6 =63, 则 S 5 = 　 ( 　　 ) A.-33 　 B.15 C.31 D.-33 或 31 (3)(2017 · 丰台二模 ) 已知 {a n } 为等差数列 ,S n 为其前 n 项和 . 若 a 2 =2,S 9 =9, 则 a 8 =________. 世纪金榜导学号 92494050 【 解题导引 】 (1) 化简式子后用 a 1 ,q 表示 , 解出相关的量后计算 S 4 . (2) 利用等比数列的前 n 项和表示出 S 2 ,S 6 , 列方程 ( 组 ) 求出 a 1 ,q 后计算 S 5 . (3) 用 a 1 ,d 表示出相关量 , 求出 a 1 ,d 后求 a 8 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 设等比数列 {a n } 的公比为 q>0, 因为 2S 3 =8a 1 +3a 2 , 所以 2(a 1 +a 2 +a 3 )=8a 1 +3a 2 , 化为 :2a 3 =6a 1 +a 2 , 可得 2a 1 q 2 =6a 1 +a 1 q, 化为 :2q 2 -q-6=0, 解得 q=2. 又 a 4 =16, 可得 a 1 ×2 3 =16, 解得 a 1 =2, 则 S 4 =30. (2) 选 D. 设等比数列 {a n } 的公比为 q≠1, 因为 S 2 =3, S 6 =63, 所以 a 1 (1+q)=3, =63, 解得 q=±2. q=2 时 ,a 1 =1;q=-2 时 ,a 1 =-3. 则 S 5 = =31 或 S 5 = =-33. (3) 因为 {a n } 为等差数列 ,S n 为其前 n 项和 . a 2 =2,S 9 =9, 设其首项为 a 1 , 公差为 d, 所以 所以 a 8 =a 1 +7d=0. 答案 : 0 【 规律方法 】 等差 ( 比 ) 数列基本运算的解题思路 (1) 设基本量 a 1 和公差 d( 公比 q). (2) 列、解方程 ( 组 ): 把条件转化为关于 a 1 和 d(q) 的方程 ( 组 ), 求出 a 1 和 d(q) 后代入相应的公式计算 . (3) 注意整体思想 , 如在与等比数列前 n 项和有关的计算中 , 两式相除就是常用的计算方法 , 整体运算可以有效简化运算 . 【 变式 1+1】 1.(2017 · 邵阳模拟 ) 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已 知 a 2 a 3 =2a 1 , 且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 , 则 S 5 = 　 ( 　　 ) A.29 B.31 C.33 D.36 【 解析 】 选 B. 设等比数列 {a n } 的公比为 q, 因为 a 2 a 3 =2a 1 , 所以 =2a 1 ,① 因为 a 4 与 2a 7 的等差中项为 , 所以 a 4 +2a 7 = , 即 a 1 q 3 +2a 1 q 6 = ,② 联立①②可解得 a 1 =16,q= , 所以 S 5 = =31. 2.( 新题预测 ) 已知等比数列 {a n } 的公比为正数 ,a 2 =1, 且 a 3 a 9 = , 则 a 1 等于　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为等比数列 {a n } 的公比为正数 , 且 a 3 ·a 9 = 所以公比 q= 【 加练备选 】 1.(2017 · 张家口二模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 :S n =An 2 +Bn, 且 a 1 =1,a 2 =3, 则 a 2017 = 　 ( 　　 ) A.4031 B.4032 C.4033 D.4034 【 解析 】 选 C. 因为数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 :S n =An 2 +Bn, 所以数列 {a n } 是等差数列 . 因为 a 1 =1,a 2 =3, 则公差 d=3-1=2.a 2017 =1+2×2016=4033. 2. 已知 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和 ,a 1 =1,a 2 =3, 数列 {a n a n+1 } 是公比为 2 的等比数列 , 则 S 10 = 　 ( 　　 ) A.1364 B.76 C.118 D.124 【 解析 】 选 D.S n 是数列 {a n } 的前 n 项和 ,a 1 =1,a 2 =3, 数列 {a n a n+1 } 是公比为 2 的等比数列 , 可得 =2, 解得 a 3 =2, =2,a 4 =6, 同理 a 5 =4,a 6 =12,a 7 =8, a 8 =24,a 9 =16,a 10 =48, 则 S 10 =1+3+2+6+4+12+8+24+16+48=124. 热点考向二　等差 ( 比 ) 数列性质的应用 命题解读 : 主要考査利用等差、等比数列的性质求基本量的运算和相关的最值范围等问题 . 【 典例 2】 (1)(2017 · 汉中二模 ) 已知等比数列 {a n } 的前 n 项积为 T n , 若 log 2 a 2 +log 2 a 8 =2, 则 T 9 的值为　 ( 　　 ) A.±512 　 B.512 C.±1024 　 D.1024 (2) 若 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 S 8 -S 3 =20, 则 S 11 的值为　 ( 　　 ) A.44 B.22 C. D.88 (3)(2017 · 遂宁二模 ) 在等差数列 {a n } 中 ,a 1 =-6, 公差 为 d, 前 n 项和为 S n , 当且仅当 n=6 时 ,S n 取得最小值 , 则 d 的取值范围为　世纪金榜导学号 92494051( 　　 ) A. B.(0,+∞) C.(-∞,0) D. 【 解题导引 】 (1) 利用对数的运算性质求出 a 2 a 8 , 将 T 9 利用等比数列的性质转化为 a 2 ,a 8 的等比中项计算 . (2) 将 S 8 -S 3 用项表示出来 , 利用等差数列的性质求出 a 1 +a 11 即可求 S 11 . (3) 利用 S n 的最值情况可以确定等差数列项的正、负的特点 , 列不等式求范围 . 【 规范解答 】 (1) 选 A.log 2 a 2 +log 2 a 8 =2, 可得 log 2 (a 2 a 8 )=2, 可得 :a 2 a 8 =4, 则 a 5 =±2, 等比数列 {a n } 的前 9 项积为 T 9 =a 1 a 2 … a 8 a 9 =(a 5 ) 9 =±512. (2) 选 A. 因为 S 8 -S 3 =a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 =20, 由等差数列的 性质可得 ,5a 6 =20, 所以 a 6 =4. 由等差数列的求和公式 得 S 11 = =11a 6 =44. (3) 选 D. 因为在等差数列 {a n } 中 ,a 1 =-6, 公差为 d, 前 n 项和为 S n , 所以 S n = 因为当且仅当 n=6 时 ,S n 取得最小值 , 所以 解得 1

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