北京市附属中学2019届高三下学期入学检测数学（理）试题

北京市附属中学2019届高三下学期入学检测数学（理）试题

高三第二学期入学检测试卷 数学(理)‎ 一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）‎ ‎1.已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以应选答案A．‎ ‎2.已知圆的极坐标方程为，则其圆心坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，圆的极坐标方程为，即，‎ 即，所以，‎ 所以圆心坐标为，‎ 又由，可得圆心的极坐标为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 执行程序框图， ，第一次循环， ，第二次循环， ，第三次循环， ，第四次循环， ，第五次循环， 结束循环，输出故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎4.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜‎0”‎是“a＜b”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】由（a﹣b）a2＜0得到：，则a＜b成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎5.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得 ,选A.‎ ‎6.自点 A（﹣3，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则A到切点的距离为（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心和半径，求出AC的值，可得切线的长度.‎ ‎【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1表示以C(2,3)为圆心，1为半径的圆，由于 且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，‎ 故切线长为：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎7.某几何体三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，该几何体为四棱锥，其中平面ABCD，作，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB和直角三角形BEC构成，‎ 则：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知点是平面区域内的动点, 点为坐标原点, 设的最小值为,若恒成立, 则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：直线恒过定点，当时，约束条件对应的可行域如图，则的最小值为，满足，当时，直线与轴重合，平面区域为图中轴右侧的阴影区域，则的最小值为，满足，当时，由约束条件表示的可行域如图，点与点重合时，的最小值为，联立，解得，所以，由，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.‎ 考点：简单的线性规划.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.‎ 二、填空题（共6小题；共6×5＝30分）‎ ‎9.在等差数列中，若,则该数列的通项公式=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.‎ ‎【详解】解：设等差数列的公差为d，由 ①，‎ 可得 ② ，可得②-①，，可得，‎ 把代入①，可得，可得，‎ 可得数列的通项公式，‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.‎ ‎10.展开式中的常数项为，则_________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a的值．‎ ‎【详解】（+）10展开式中的通项公式为 Tr+1=•ar•，‎ 令5﹣=0，求得r=2，可得它的常数项为a2•=180，故a=±2，‎ 故答案为或 ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎11.若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．‎ ‎【答案】(或)‎ ‎【解析】‎ 函数的图象过点，则， ，，.‎ ‎,,,有于在为减函数，所以，解得.‎ ‎【点睛】根据函数图象过已知点，求出 ，借助的范围求出的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据的范围研究的范围，有时还要关注的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.‎ ‎12.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意设所求双曲线的方程为，‎ ‎∵点在双曲线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的双曲线方程为，即．‎ 答案：‎ ‎13.已知非零向量，满足||＝1，与的夹角为30°，则||的最小值是_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造满足题意的三角形，根据几何意义求出||的最小值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意：作 过C作，垂直为D，则CD的长度即为||的最小值，‎ ‎，故||的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2＝1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若P与O重合，SP＝r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，SP＝AP的长度（如图）．‎ ‎（1）直线2x+2y+1＝0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为_____；‎ ‎（2）若线段MN上存在点T，使得：‎ ‎①点T在⊙O内；‎ ‎②∀点P∈线段MN，都有ST≥SP成立．则线段MN的最大长度为_____．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，即得解；‎ ‎（2）分析可得SP≤1，因此当线段MN过原点时，当线段MN过原点时，MN的最大长度为4，即得解.‎ ‎【详解】作出对应的图象如图：‎ 由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，取得最小值，此时P到⊙O的距离最长，‎ 此时OP，则AP＝1﹣OP＝1．‎ ‎（2）∵点T⊙O内，∴ST≤1，‎ ‎∵ST≥SP成立，∴SP≤1，‎ ‎∀点P∈线段MN，若P在圆内，都满足SP≤1；‎ 若P在圆外，P必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界）‎ ‎∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1＝4，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.‎ 三、解答题（共6小题；共80分）‎ ‎15.已知函数，（其中），其部分图像如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）已知横坐标分别为、、的三点都在函数的图像上，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到，再利用特殊点（1,1）解出的值，从而得到解析式；第二问，先利用、、的三点都在函数的图像上，得到点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN、MP、PN的长，利用余弦定理得到的值，最后利用平方关系得到，法二：还可以利用向量的数量积来计算.‎ 试题解析：（1）由图可知，， ‎ 最小正周期 ‎∴‎ 又∵，且 ‎∴，‎ ‎∴． ‎ ‎（2） 解法一: ∵‎ ‎，‎ ‎∴， ‎ ‎，‎ 从而， ‎ ‎∵，∴. ‎ 考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.‎ ‎16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：‎ 编号 项目 收案（件）‎ 结案（件）‎ 判决（件）‎ ‎1‎ 刑事案件 ‎2400‎ ‎2400‎ ‎2400‎ ‎2‎ 婚姻家庭、继承纠纷案件 ‎3000‎ ‎2900‎ ‎1200‎ ‎3‎ 权属、侵权纠纷案件 ‎4100‎ ‎4000‎ ‎2000‎ ‎4‎ 合同纠纷案件 ‎14000‎ ‎13000‎ n 其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．‎ ‎（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；‎ ‎（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；‎ ‎（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;‎ ‎（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解;‎ ‎（Ⅲ）设4类案件的均值为，则,代入运算，得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，‎ 共有2400+3000+4100＝9500种取法，‎ 其中取到的是结案案件方法数为 ‎2400+2900+4000＝9300种，‎ 设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，‎ 则P（A）；‎ ‎（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，‎ 其中是判决案件有1200种取法，‎ 设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B，‎ 则P（B）；‎ ‎（Ⅲ）；‎ 设4类案件的均值为，则 ‎[]‎ ‎[]‎ ‎[]‎ ‎[]．‎ ‎【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎17.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，由，知，由此能够证明平面；（Ⅱ）因为四边形与均为菱形，所以，平面平面，由此能够证明平面；（Ⅲ）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为中点，所以，故平面，由两两垂直，建立空间直角坐标系，设，因为四边形为菱形，，则，所以，，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由此能求出二面角的余弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，‎ 连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点． ‎ 又 FA=FC，所以 AC⊥FO． ‎ 因为 FO∩BD=O，‎ 所以 AC⊥平面BDEF． ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，‎ 所以AD∥BC，DE∥BF，‎ 所以 平面FBC∥平面EAD． ‎ 又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD． ‎ ‎（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，‎ 所以△DBF为等边三角形．‎ 因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．‎ 由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． …（9分）‎ 设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，‎ 则BD=2，所以OB=1，．所以 ．‎ 所以 ，．‎ 设平面BFC的法向量为=（x，y，z），‎ 则有，‎ 取x=1，得．‎ ‎∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）． ‎ 由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．‎ 所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为． ‎ ‎18.已知椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用即可得解；‎ ‎（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，‎ ‎∴⇒m＝4，‎ ‎（Ⅱ）‎ 当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．‎ ‎∴，．‎ 因为A0（4，y1），，‎ 所以直线A0B的方程为：y﹣y1，‎ ‎⇒y ‎．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴直线A0B的方程为：y，‎ 当直线AB与x轴重合时，直线A0B与x轴重合，‎ 综上，直线A0B恒过定点（，0）‎ ‎【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎19.设f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．‎ ‎（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求f'（x）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;‎ ‎（Ⅱ）分a≤0，a＞0两种情况分析导数极值，得到f（ln‎2a）是极大值，由极大值小于0，求a的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣‎2a＝（x+1）（ex﹣‎2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，‎ 所以由题意得：0，∴a；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当‎2a≤0时，即a≤0时，ex﹣‎2a≥0，‎ ‎∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，‎ x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 所以f（x）有极小值，无极大值；‎ 当a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln‎2a，‎ 当ln‎2a＞﹣1时，即a，‎ ‎∴x∈（﹣∞，﹣1）和 （ln‎2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当﹣1＜x＜ln‎2a时，‎ f'（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 所以f（﹣1）为极大值，且f（﹣1）a，由题意得：f（﹣1）＜0，∴；‎ 当ln‎2a＜﹣1时，即0＜a，‎ ‎∴x∈（﹣∞，ln‎2a）和 （﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ x∈（ln‎2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 所以f（ln‎2a）极大值，且f（ln‎2a）＝2aln‎2a﹣aln‎22a﹣2aln‎2a＝﹣aln‎22a＜0恒成立；‎ 当ln‎2a＝﹣1时，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，无极值，舍去；‎ 综上所述：符合条件的a的取值范围：（0，）∪（，）．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.‎ ‎20.如果无穷数列{an}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{an}具有性质P．‎ ‎（Ⅰ）若an（k∈N*），判断数列{an}是否具有性质P，并说明理由，‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}具有性质P，求证：{an}中一定存在三项ai，aj，ak（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；‎ ‎（Ⅲ）若数列{an}具有性质P，则{an}中是否一定存在四项ai，aj，ak，al，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ）数列{an}具有性质P．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分n为奇数，n为偶数讨论，研究an包含的数的情况，即得解;‎ ‎（Ⅱ）考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：,分为奇数，偶数讨论，分别构造，为公差为奇数的等差数列，即得证.‎ ‎（Ⅲ）构造反例：为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反证法，即得证,‎ ‎【详解】（Ⅰ）解：∵an（k∈N*），∴数列{an}具有性质P．‎ 理由如下：‎ 当n为奇数，n∈N*时，an＝n+1包含所有的正偶数，‎ 当n为偶数，n∈N*时，an＝n﹣1包含所有的正奇数，‎ ‎∴无穷数列{an}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，‎ ‎∴数列{an}具有性质P．‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨设 考虑，令，‎ 从开始寻找第一个大于M的项，记为：，则中含有1，2，且为前j项中的最大项()‎ ‎(i)若为奇数，，所以在之后，记为，则，为公差为奇数的等差数列;‎ ‎(ii) 若为偶数，令，则，为公差为奇数的等差数列.‎ 故结论成立.‎ ‎（Ⅲ）不一定存在 例如为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,‎ 即每三项构成一组，第k组的通项公式为：2k-1,4k-2,4k，‎ 假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差，‎ 由于中，任意一项奇数后面的偶数都大于等于2，‎ 因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.‎ 故假设不成立.‎ ‎【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.‎