【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第1讲平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第1讲平面向量的概念及线性运算学案

第四章　平面向量 第1讲　平面向量的概念及线性运算 ‎[考纲解读]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．‎ ‎2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)‎ ‎3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.‎ ‎1．向量的有关概念 ‎2．向量的线性运算 ‎3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则＝(＋)．(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列命题正确的是(　　)‎ A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>b C．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0‎ 答案　C 解析　‎ A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若a＝b，则a与b方向相同，故a∥b；D错误，若|a|＝0，则a＝0.‎ ‎(2)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝－ D.＝ 答案　D 解析　由题意得，＝－，故D错误．‎ ‎(3)设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则(　　)‎ A．A，B，D三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，C三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　因为＝a＋2b，所以＝－a－2b，所以＝＋＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3.‎ 所以∥，所以A，C，D三点共线．‎ ‎(4)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 答案　b－a　－a－b 解析　因为四边形ABCD是平行四边形，‎ 所以＝，＝－＝－a，‎ 所以＝＝－＝b－a，‎ ＝－＝－a－b.‎ 题型 　平面向量的基本概念 ‎1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．‎ 综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎2．下列叙述错误的是________(填序号)．‎ ‎①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；‎ ‎②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；‎ ‎③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；‎ ‎④＋＝0；‎ ‎⑤若λa＝λb，则a＝b.‎ 答案　①②③④⑤‎ 解析　对于①，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．‎ 对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．‎ 对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．‎ 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.‎ 对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.‎ 故①②③④⑤均错误．‎ 有关平面向量概念的六个注意点 ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．‎ ‎(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．‎ ‎(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．给出下列说法：①若A，B，C，D是不共线的四个点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中正确说法的序号是(　　)‎ A．①④ B．③④ C．②③ D．①②‎ 答案　A 解析　①④正确；②错误，因为a，b的方向不一定相同；③错误，＝－.‎ ‎2．给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 答案　②‎ 解析　①错误，例如△ABC中，与有公共终点，但不是共线向量；②正确；③错误，若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0或a＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但a与b不一定共线．‎ 题型 　向量的线性运算 ‎1．下列四个结论：‎ ‎①＋＋＝0；‎ ‎②＋＋＋＝0；‎ ‎③－＋－＝0；‎ ‎④＋＋－＝0.‎ 其中一定正确的结论个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　①正确；②错误，‎ ＋＋＋＝＋＋＋＝≠0；③正确，－＋－＝(－)＋(＋)＝＋＝0，④正确，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.‎ 解法二：利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A.‎ 条件探究1　把举例说明3的条件改为“点D在BC边上且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE”，试用，表示.‎ 解　由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得 ＝－＝－＝－ ‎＝－ ‎＝－.‎ 条件探究2　把举例说明3的条件改为“D为AB的中点，点E满足2＋＝0”，试用，表示.‎ 解　因为D为AB的中点，‎ 所以＝＋＝＋，‎ 所以＝－.‎ 又因为2＋＝0，‎ 所以2(－)＋(－)＝0，‎ 所以3＝2＋，‎ 所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝－.‎ ‎1．平面向量的线性运算技巧 ‎(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．‎ ‎(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．‎ ‎2．向量线性运算的两个常用结论 ‎(1)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)，如举例说明3.‎ ‎(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝‎ －2＋＝0，所以＝2－，故选C.‎ ‎2．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，OC，由题意得∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，所以CD∥AB，CD＝AC，‎ 易证△AOC为等边三角形，所以AC＝AB，所以＝，所以＝＋＝＋＝b＋a＝a＋b.‎ 题型 　共线向量定理的应用 角度1　证明向量共线或三点共线 ‎1．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上 C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部 答案　C 解析　因为＋＋＝＝－，所以＝－2，所以A，P，C三点共线，且P 是线段AC的三等分点(靠近A)．‎ 角度2　由向量共线求参数的值 ‎2．(2018·贵州适应性测试)已知向量e1与e2不共线，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)‎ A．mn＝1 B．mn＝－1‎ C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1‎ 答案　A 解析　因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1.‎ 求解向量共线问题的注意事项 ‎(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．‎ ‎(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.‎ ‎(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．‎ ‎(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 答案　C 解析　＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，所以AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．‎ ‎2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解　(1)证明：由已知得 ＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，∴＝2.‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ ‎∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ ‎∴＝λ(λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ ‎∴解得k＝12.‎