高考数学 17-18版 第9章 第42课 课时分层训练42

高考数学 17-18版 第9章 第42课 课时分层训练42

课时分层训练(四十二)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．‎ 　[依题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝π()2×2＝π.]‎ ‎2．正三棱柱ABCA1B‎1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为________. 【导学号：62172232】‎ ‎1　[在正△ABC中，D为BC中点，‎ 则有AD＝AB＝，‎ S△DB‎1C1＝×2×＝.‎ 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高．‎ ‎∴V三棱锥AB1DC1＝S△DB1C1·AD＝××＝1.]‎ ‎3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．‎ 　[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.]‎ ‎4．已知圆台的母线长为‎4 cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积是________ cm2.‎ ‎24π　[将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示，由题意知AC＝‎4 cm，∠ASO＝30°，O‎1C＝OA，‎ 设O1C＝r，则OA＝2r，‎ 又＝＝sin 30°，‎ ‎∴SC＝2r，SA＝4r.‎ AC＝SA－SC＝2r＝‎4 cm.‎ ‎∴r＝2 cm.‎ ‎∴圆台的侧面积为：‎ S＝π(r＋2r)×4＝24π(cm2)．]‎ ‎5．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎12　[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.]‎ ‎6．(2017·泰州中学高三摸底考试)在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．‎ 　[过A作AD垂直BC于D点，则AD＝，BD＝1，CD＝2.5，因此所形成的几何体的体积是×π·()2(2.5－1)＝.]‎ ‎7．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．‎ 　[设新的底面半径为r，由题意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，‎ ‎∴r2＝7，∴r＝.]‎ ‎8．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为‎10 cm，侧面积为60π cm2，则此圆锥的体积为________cm3.‎ ‎96π　[设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×10＝60π，‎ ‎∴r＝6.‎ ‎∴圆锥的高h＝＝8.‎ ‎∴圆锥的体积V＝πr2h＝π×36×8＝96π.]‎ ‎9．(2016·泰州期末)如图422，长方体ABCDA1B‎1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD‎1A1的体积为V2，则的值为________．‎ 图422‎ 　[设AB＝a，AD＝b，A‎1A＝c，则 V1＝S△ABD·A‎1A＝×ab×c＝.‎ V2＝S矩形ADD‎1A1·AB＝×bc×a＝.‎ ‎∴＝.]‎ ‎10．(2013·江苏高考)如图136，在三棱柱A1B‎1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B‎1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.‎ 图136‎ ‎1∶24　[设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh ‎.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.]‎ ‎11．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.‎ ‎ 【导学号：62172233】‎ π　[如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得 HA＝·2R＝R，‎ ‎∴OH＝.‎ ‎∵截面面积为π＝π·HM2，‎ ‎∴HM＝1.‎ 在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，‎ ‎∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴S球＝4πR2＝4π·2＝π.]‎ ‎12．(2017·南京盐城二模)如图423，正三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．‎ 图423‎ ‎8　[极限法，取E，F分别与B1，C1重合，则 S三棱锥AA1EF＝S△A1B‎1C1·AA1＝×AB2sin 60°·AA1‎ ‎＝×16××6＝8.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为π，则该圆锥的侧面积为________. 【导学号：62172234】‎ ‎3π　[设圆锥的母线长为l，高为h，‎ 则由V＝πr2·h，‎ 得h＝＝＝2.‎ ‎∴母线l＝＝3，故圆锥的侧面积为S＝(2πr)l＝πrl＝π×1×3＝3π.]‎ ‎2．(2017·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.‎ ‎5　[∵2πr1＝×10π，∴r1＝，‎ 同理r2＝，r3＝，‎ ‎∴r1＋r2＋r3＝＝5.]‎ ‎3．(2017·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为4，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．‎ ‎5　[设正四棱锥的高为h，则×4×4×h＝32，‎ ‎∴h＝3，∴底面对角线的长为4×＝8.‎ 侧棱长为＝5.]‎ ‎4．如图424，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B‎1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．‎ 图424‎ 　[VD1EDF＝VFDED1，‎ ‎△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，‎ 三棱锥FDED1的高即为正方体的棱长，‎ 所以VD1EDF＝VFDED1＝S△DED1·h ‎＝×DD1×AD×AB＝.]‎ ‎5．(2017·南京模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．‎ π∶　[正三棱柱的体积V1＝a2·a＝a3，‎ 圆柱的体积V2＝π2·b＝b3.‎ ‎∴a3＝b3，‎ ‎∴a3∶b3＝π∶.]‎ ‎6．(2017·无锡期末)在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．‎ 图425‎ 　[由题意可知VA＝VB＝，AB＝.‎ ‎∴VVAOB＝×S△AOB×VO＝×1×1××1＝.‎ ‎∴VOABV＝S△ABV×h＝××××sin 60°×h＝.‎ ‎∴h＝.]‎