2017-2018学年山东省济南市历城二中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年山东省济南市历城二中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年山东省济南市历城二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0‎ C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0‎ ‎2．（5分）在△ABC中，若条件p：A=60°，条件q：sinA=，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（　　）‎ A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3‎ ‎4．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎5．（5分）在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎6．（5分）在等比数列中{an}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（　　）‎ A．9 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．（5分）已知b＜a＜0，给出下列四个结论：①ab＜b2②a+b＜ab③|a|＞|b|‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．②③ D．③‎ ‎8．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎9．（5分）下列各式中最小值为2的是（　　）‎ A． B． C．+ D．sinx+‎ ‎10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（　　）‎ A．1006 B．1007 C．1008 D．1009‎ ‎11．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，点M，N分别为边AB和AC的中点，点P是线段MN上任意一点（不含端点），且△ABC的面积为1，若△PAB，△PCA，△PBC的面积分别为x，y，z，记h（x，y，z）=++，则h（x，y，z）的最小值为（　　）‎ A．26 B．32 C．36 D．48‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为　 　．‎ ‎14．（5分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为　 　．‎ ‎15．（5分）设x，y，z∈R，若x2+y2+z2=4，则x﹣2y+2z的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a+‎ b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一根，则的△ABC周长的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，‎ ‎（1）求a1，a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=ax在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长．‎ ‎20．（12分）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房子，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过am．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎22．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省济南市历城二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0‎ C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0‎ ‎【分析】全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．‎ 所以全称命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”．‎ ‎【解答】解：命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定形式．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在△ABC中，若条件p：A=60°，条件q：sinA=，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】据不等式的性质，结合充分条件必要条件的对应即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵A=60°⇒sinA=，‎ 又当sinA=时，A=60°或120°，‎ ‎∴sinA=推不出A=60°，‎ ‎∴p是q的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（　　）‎ A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3‎ ‎【分析】由题意可得﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令﹣m不大于最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，‎ 即有﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．‎ 由于y=x+的导数为y′=1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．‎ 则当x=时，y取得最小值且为，‎ 则有﹣a，解得a．‎ 则a的最小值为﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】设椭圆G的方程为+=1（a＞b＞0），根据椭圆的定义得2a=12，算出a=6．再由离心率的公式建立关于a、b的等式，化简为关于b的方程解出b2=9，即可得出椭圆G的方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆G的方程为+=1（a＞b＞0），‎ ‎∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，‎ ‎∴根据椭圆的定义得2a=12，可得a=6．‎ 又∵椭圆的离心率为，∴e==，‎ 即=，解之得b2=9，‎ 由此可得椭圆G的方程为=1．‎ 故选：C ‎【点评】本题给出椭圆G满足的条件，求椭圆G的标准方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【分析】利用正弦定理将条件转化为，三角变形后判断角A、B之间的关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得：，‎ ‎∴⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B，‎ ‎∵A、B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，‎ 即A=B或A+B=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理、倍角公式，利用正弦定理将条件转化为关于角的三角函数关系，来判断角之间的关系是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在等比数列中{an}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（　　）‎ A．9 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】利用等比中项的性质可知，a3a11=a72，a5a9=a72，代入题设等式求得a7，进而利用等比中项的性质求得的值．‎ ‎【解答】解：a3a5a7a9a11=a75=243‎ ‎∴a7=3‎ ‎∴=a7=3‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题过程充分利用等比中项的性质中G2=ab的性质．等比中项的性质根据数列的项数有关．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知b＜a＜0，给出下列四个结论：①ab＜b2②a+b＜ab③|a|＞|b|其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．②③ D．③‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质，结合b＜a＜0，逐一分析给定三个不等式的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵b＜a＜0，‎ ‎∴①ab＜b2 正确；‎ ‎②a+b＜0＜ab正确；‎ ‎③|a|＜|b|，错误；‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示．‎ A（4，0），‎ 化目标函数z=3x+2y为，‎ 由图可知，当直线过点A时，目标函数取得最大值．‎ ‎∴zmax=3×4+2×0=12．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）下列各式中最小值为2的是（　　）‎ A． B． C．+ D．sinx+‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：A.==＞2，不正确；‎ B.===2，当且仅当=1时取等号，其最小值为2，正确；‎ C.，其值小于0，无最小值；‎ D．sinx＜0，其值小于0，其最小值不可能为2．‎ 综上可知：只有B正确．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的使用法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（　　）‎ A．1006 B．1007 C．1008 D．1009‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由于满足S2016=＞0，S2017=2017a1009＜0，可得：a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，‎ ‎∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，‎ 对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k=1009．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】根据OM⊥PF，且FM=PM判断出△POF为等腰直角三角形，推断出∠OFP=45°，进而在Rt△‎ OFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：∵OM⊥PF，且FM=PM ‎∴OP=OF，‎ ‎∴∠OFP=45°‎ ‎∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•‎ ‎∴e==‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在△ABC中，点M，N分别为边AB和AC的中点，点P是线段MN上任意一点（不含端点），且△ABC的面积为1，若△PAB，△PCA，△PBC的面积分别为x，y，z，记h（x，y，z）=++，则h（x，y，z）的最小值为（　　）‎ A．26 B．32 C．36 D．48‎ ‎【分析】由已知可得：x+y+z=1．h（x，y，z）=++=（x+y+z）=14+++++，利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得：x+y+z=1．‎ h（x，y，z）=++=（x+y+z）=14+++++‎ ‎≥14+2+2+2=14+2×（2+3+6）=36，‎ 当且仅当2z=6x=3y=1时取等号．‎ 则h（x，y，z）的最小值为36．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为　（﹣2，6）　．‎ ‎【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．‎ ‎【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，‎ 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，‎ 故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），‎ 故答案为：（﹣2，6）．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为　　．‎ ‎【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程后作差，整理后即可得到弦所在直线的斜率的等式，代入弦中点坐标后即可得到 ‎【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则+=1，①，‎ ‎+=1，②．‎ ‎①﹣②得：=﹣．‎ ‎∵点（1，2）是弦的中点 ‎∴x1+x2=8，y1+y2=4，‎ ‎∴k==﹣．‎ 故答案是﹣．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，涉及弦中点问题，常采用“点差法”，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设x，y，z∈R，若x2+y2+z2=4，则x﹣2y+2z的最小值为　　．‎ ‎【分析】直接利用柯西不等式求出结果．‎ ‎【解答】解：由于：x，y，z∈R，由于x2+y2+z2=4，‎ 则：（x﹣2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（﹣2）2+22]=4×9=36，‎ ‎∴x﹣2y+2z的最小值为﹣6，‎ 故答案为：﹣6‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：柯西不等式的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，若a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一根，则的△ABC周长的最小值是　10+5　．‎ ‎【分析】先由条件求得 cosC=﹣，再由余弦定理可得 c2=（a﹣5）2+75，利用二次函数的性质求得c的最小值，即可求得△ABC周长a+b+c 的最小值．‎ ‎【解答】解：解方程2x2﹣3x﹣2=0可得x=2，或 x=﹣．‎ ‎∵在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，‎ ‎∴cosC=﹣．‎ 由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣ab，‎ ‎∴c2=（a﹣5）2+75．‎ 故当a=5时，c最小为=5，‎ 故△ABC周长a+b+c 的最小值为10+5．‎ 故答案为：10+5．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的解法、二次函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，‎ ‎（1）求a1，a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由等差中项的性质可得2an=sn+2，令n=1可得2a1=s1+2=a1+2，解可得a1的值，再令n=2可得2a1=s2+2=a1+a2+2，计算可得a2的值；‎ ‎（2）由2an=sn+2可以构造2an﹣1=sn﹣1+2，将两个式子相减即可得2an﹣2an﹣1=sn﹣sn﹣1=an，变形可得：an=2an﹣1，结合等比数列的性质分析可得数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，数列{an}满足an是Sn与2的等差中项，‎ 则有2an=sn+2，‎ 当n=1时，2a1=s1+2=a1+2，解可得a1=2，‎ 当n=2时，2a1=s2+2=a1+a2+2，‎ 解可得a2=4；‎ ‎（2）根据题意，2an=sn+2，①‎ 则有2an﹣1=sn﹣1+2，②‎ ‎①﹣②可得：2an﹣2an﹣1=sn﹣sn﹣1=an，‎ 变形可得：an=2an﹣1，‎ 又由a1=2，‎ 则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，‎ 则a1=2×2n﹣1=2n．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式，涉及数列的通项公式，关键是理解数列递推公式的意义．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=ax在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】第一步：分别求出p，q为真时a的取值范围；‎ 第二步：由题设“p∧q为假命题，p∨q为真命题”推断p，q的真假性；‎ 第三步：综合前面两步，由p，q的真假性即可求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若p为真，则0＜a＜1；‎ 若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，‎ 又a＞0，a≠1，∴．‎ 因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．‎ ‎①当p为真，q为假时，由；‎ ‎②当p为假，q为真时，无解． ‎ 综上，a的取值范围是．‎ ‎【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．‎ ‎2．本题考查了根据复合命题的真假反过来推断简单命题的真假，求解此类问题时，应熟记以下结论：‎ ‎（1）“或”命题p∨q的真假：一真为真，两假才假；‎ ‎（2）“且”命题p∧q的真假：一假为假，两真才真；‎ ‎（3）p的否定￢p：与p的真假相反．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把题设中的等式整理得即ac+c2=b2﹣a2‎ ‎，进而代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B．‎ ‎（Ⅱ）根据B为钝角可推断出b为最长边，根据sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，‎ 整理得（a+c）c=（b﹣a）（a+b），‎ 即ac+c2=b2﹣a2，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜B＜π，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴最长边为b，‎ ‎∵sinC=2sinA，∴c=2a，‎ ‎∴a为最小边，由余弦定理得，解得a2=1，‎ ‎∴a=1，即最小边长为1‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房子，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过am．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？‎ ‎【分析】已知中地面面积为12m2，我们可得xy=12有y=，根据房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶的造价共5200元，结合墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：设总造价为Z元，则xy=12，有y=‎ ‎∴Z=3y×400+6x×150+5800‎ ‎=900（x+）+5800…（3分）‎ ‎≥900×2 +5800‎ ‎=13000 …（6分）‎ 当 x=时，即x=4时，Z有最小值13000，‎ 若a≥4时，则x=4总进价最低，最低总造价是13000元．‎ 当0＜a＜4时，则y′=900（1﹣）‎ ‎∴当0＜x＜4时，y′＜0，故函数y=900（x+）+5800（0，a]上是减函数，‎ ‎∴当x=a时，y有最小值，即最低总造价为900（a+）+5800元 答：当a≥4时，x=4总造价最低，最低总造价是13000元；‎ 当0＜a＜4时，x=a总造价最低，最低总造价为900（a+）+5800元．‎ ‎【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ ‎【分析】（I）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，代入点，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，运用数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值．‎ ‎【解答】解：（I）由题意知e==，a2﹣b2=c2，‎ 即 又，‎ 可得a2=4，b2=3，‎ 即有椭圆的方程为+=1；‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，‎ 由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，即，‎ 由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，‎ ‎△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2‎ ‎=k2•+km（﹣）+m2=，‎ 代入，即，‎ 得：，2m2﹣4k2=3，‎ ‎，‎ O到直线l的距离为，‎ ‎△ABO的面积为，‎ 把2m2﹣4k2=3代入上式得．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎22．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．‎ ‎【分析】（1）代入a的值，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）去掉绝对值求出不等式组的解集，从而确定a的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2，‎ 由此可得x≥3或x≤﹣1，‎ 故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．‎ ‎（2）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，‎ 此不等式化为不等式组或 即或，‎ 因为a＞0，所以不等式组的解集为，‎ 由题设可得，故a=2．‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．‎ ‎【分析】根据题意，利用基本不等式分析可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac和++≥++，进而有a2+b2+c2+（++）2=a2+b2+c2++++2（++），由基本不等式运用放缩法分析可得证明．‎ ‎【解答】证明：根据题意，因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac．‎ 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac．①‎ 同理++≥++，②‎ 故a2+b2+c2+（++）2=a2+b2+c2++++2（++）≥ab+bc+ac+3（++）=ab++bc++ac+≥6，‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．‎ 即当a=b=c=时，等号成立．‎ ‎【点评】本题考查不等式的证明，涉及基本不等式的应用，关键是掌握并应用基本不等式．‎ ‎　‎