陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测理科数学试题 Word版含解析

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西安市2020届高三年级第三次质量检测 理科数学 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合,，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，‎ 所以 ．‎ 考点：集合的交集、补集运算．‎ ‎2. 若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则的虚部为（ ）‎ A. ﹣2 B. 2 C. ﹣2i D. 2i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用共轭复数概念求出从而可得结果.‎ ‎【详解】由于复数，‎ 得，‎ ‎，‎ 则的虚部为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.‎ - 19 -‎ ‎3. 已知向量，向量，则的值为（ ）‎ A. 17 B. 5 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，再由向量模的坐标公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为向量，向量，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.‎ ‎4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．‎ B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90‎ 众数分别为88，90，不相等，A错．‎ 平均数86，88不相等，B错．‎ 中位数分别为86，88，不相等，C错 A样本方差=4，标准差S=2，‎ B样本方差=4，标准差S=2，D正确 考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 ‎5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“‎ - 19 -‎ ‎．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）‎ A. 7 B. 13 C. 16 D. 22‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，，,‎ 所以解下5个环所需的最少移动次数为16.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型.‎ ‎6. 已知，则下列关系正确的是（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.‎ ‎【详解】因为，，，所以，综上可得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.‎ ‎【详解】，则，则倾斜角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.‎ ‎8. 函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先借用函数的奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可.‎ ‎【详解】解：函数是偶函数，排除选项B、C；‎ - 19 -‎ 当时，，对应点在第四象限，排除A．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.‎ ‎9. 在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线方程为，代入的坐标即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，又为的中点，所以，‎ 设抛物线方程为，‎ 则，所以，解得，‎ 所以抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，考查了抛物线的标准方程和的几何意义，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎10. 已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）‎ A. 5 B. ‎ C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数整理，得到，确定其最值，再由题意，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】函数，其中，‎ 所以，‎ 因为是其图像的一条对称轴，正弦型三角函数在对称轴位置取最值，‎ 所以，‎ 即，即，整理得：，‎ 解得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查由三角函数的对称轴求参数，属于常考题型.‎ ‎11. 已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.‎ - 19 -‎ ‎【详解】设点，则①．‎ 又，‎ ‎②．‎ 由①②得，‎ 即，‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．‎ ‎12. 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的值域与单调性即可得解.‎ ‎【详解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解，‎ 由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为，‎ - 19 -‎ 所以方程有三个实数解.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.‎ 二､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______．‎ ‎【答案】0.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由互斥事件的概率可得．‎ ‎【详解】解：设甲、乙两人下成和棋，甲获胜的概率为，则乙不输的概率为，‎ 甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得．‎ 两人下成和棋的概率为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查互斥事件的概率，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎14. 设等差数列的前项和为，若，则_____．‎ ‎【答案】65‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出，再求即可.‎ ‎【详解】解：设的公差为，‎ ‎，即；‎ - 19 -‎ ‎.‎ 故答案为：65.‎ ‎【点睛】考查等差数列的性质和求前项和，基础题.‎ ‎15. 已知函数，的最小正周期是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16. 如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h．则h等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据水的体积不变列出方程解出h.‎ ‎【详解】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为，水的体积 - 19 -‎ ‎，‎ 设倒置后液面面积为S',则，‎ ‎，‎ 水的体积为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.‎ 三､解答题(共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；‎ ‎（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；‎ ‎（2）求高一参赛学生平均成绩．‎ ‎【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ ‎（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；‎ ‎（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值．‎ ‎【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65，‎ 又因为第一个小矩形的面积为0.3，‎ 第二个小矩形的面积是0.4， ，所以中位数在第二组，‎ 设中位数为，则，解得：，‎ 所以中位数为65.‎ ‎（2）依题意，利用平均数的计算公式，‎ 可得平均成绩为：‎ ‎，‎ 所以参赛学生的平均成绩为67分．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题．‎ ‎18. 在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设△ABC外接圆半径为R，且，求b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．‎ ‎（2）由（1）可求，又由正弦定理得，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围．‎ ‎【详解】（1）因为，所以 - 19 -‎ ‎，即，‎ 所以，因为，所以 又因为，解得：.‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，可得，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎∵，∴，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．‎ ‎19. 如图，菱形中，，为中点，将沿折起使得平面平面，与相交于点，是棱上的一点且满足.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，结合可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.‎ - 19 -‎ ‎（2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质定理可得，以为坐标原点，，，为轴，轴，轴，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：由题意知，，‎ 所以.‎ 又，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因平面平面，平面平面，，‎ 又平面，‎ 所以平面，所以，‎ 以为坐标原点，，，为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设菱形的边长为4，则点，，.‎ 则，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 即，‎ 令，得；‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设二面角的大小为，则.‎ 故二面角的余弦值为.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、空间向量法求二面角，属于中档题.‎ ‎20. 已知函数．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求函数的定义域，用分析法易证.‎ ‎(2)令，只需证明即可，分，，讨论即可.‎ ‎【详解】(1)证明：函数的定义域为，‎ ‎，‎ 只需证明，‎ 即证明，即证，显然成立 所以.‎ ‎ （2）解：令 ‎①当时，，在递增，‎ - 19 -‎ ‎，即对恒成立，‎ ‎②当时，，在递增，，即对恒成立，‎ ‎③当时，，‎ 因为，所以有，‎ 令，递增；‎ 令，递减；‎ ‎，，‎ 令，‎ ‎，‎ 在上递减，且，‎ 所以当时，不可能；‎ 综合①②③有，.‎ ‎【点睛】考查证明不等式和不等式恒成立求参数的取值范围，后一个问题转化为研究函数的值域确定参数的范围，难题.‎ - 19 -‎ ‎21. 已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆对称性得，可得的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出的值，进而求出椭圆方程；‎ ‎（2）直线与椭圆方程联立得，由于直线与椭圆有两个交点，可得；由于，设中点为，可得，根据垂直斜率的关系，由此可推导出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）∵设椭圆右焦点为，由椭圆对称性得，‎ ‎∴．‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由消去整理得：，‎ ‎∵直线与椭圆交于不同的两点，，‎ ‎∴，‎ - 19 -‎ 整理得．‎ 设，，‎ 则，‎ 又设中点的坐标为，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，设M（2，0），若|MP|+|MQ|＝4，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：；直线l的参数方程为（为参数）；（2）.‎ - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出直线l过定点，得出线l的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案. （2）将直线l的参数方程代入圆的方程得：,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.‎ ‎【详解】（1）由，即，得.‎ 由直线l的方程为，‎ 则,又，所以直线l的倾斜角为，‎ 又直线l过定点，则直线l的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）设P，Q两点在直线l的参数方程中的对应参数分别为.‎ 将直线l的参数方程代入圆的方程得：‎ 所以 则 即，由，则 所以，即，所以直线l的斜率为 ‎【点睛】本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎23. 已知函数，，且．‎ ‎（1）若函数的最小值为，试证明点在定直线上；‎ ‎（2）若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）点在定直线上，证明过程见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值三角不等式，得到，根据题意，得到，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，化不等式为，求解，得到，推出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号；‎ 又函数的最小值为，，所以，‎ 即点在定直线；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 当时，不等式可化为，‎ 整理得：，解得：，‎ 由题意，可得：，‎ 则，解得：，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.‎ - 19 -‎