2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-3　二次函数与幂函数（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-3　二次函数与幂函数（试题部分）

‎§3.3　二次函数与幂函数 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　二次函数的图象与性质 ‎1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为(　　)‎ A.[2,+∞)　　　　　B.(2,+∞)‎ C.(-∞,0)　　　　　D.(-∞,2)‎ 答案　A ‎2.已知abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　)‎ 答案　D 考点二　幂函数 ‎3.函数y=‎3‎x‎2‎的图象大致是(　　)‎ 答案　C ‎4.函数f(x)=(m2-m-1)·xm‎2‎‎-2m-3‎是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为(　　)‎ A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5‎ 答案　A ‎5.已知幂函数f(x)的图象过点(2,‎2‎),则f(4)的值为　　　　. ‎ 答案　2‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　求二次函数在闭区间上的最值(值域)‎ ‎1.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2), f(0)=3, f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(　　)‎ A.(0,+∞)　　　B.[2,+∞)　　　C.(0,2]　　　D.[2,4]‎ 答案　D ‎2.已知函数f(t)=log2(2-t)+t-1‎的定义域为D.‎ ‎(1)求D;‎ ‎(2)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值.‎ 解析　(1)由题意知‎2-t>0,‎t-1≥0,‎解得1≤t<2,故D=[1,2).‎ ‎(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为直线x=-m.‎ ‎①当-m≥2,即m≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;‎ ‎②当1<-m<2,即-20,‎解得a≥-‎5‎‎4‎,‎a>-2,‎a>1或a<-1,‎ 即a>1或-‎5‎‎4‎≤a<-1.‎ ‎∴实数a的取值范围是‎-‎5‎‎4‎,-1‎∪(1,+∞).‎ ‎(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,‎ ‎∴f(0)=a2-1<0,解得-10,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,‎3‎a-‎4‎b+‎5‎c的最小值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.‎ ‎(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;‎ ‎(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.‎ 解析　(1)证明:由f(x)=x+‎a‎2‎‎2‎+b-a‎2‎‎4‎,得图象的对称轴为直线x=-a‎2‎.由|a|≥2,得‎-‎a‎2‎≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.‎ 当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,‎ 得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.‎ 当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,‎ 得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.‎ 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.‎ ‎(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,‎ 由|a|+|b|=‎|a+b|,ab≥0,‎‎|a-b|,ab<0,‎得|a|+|b|≤3.‎ 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.‎ 所以|a|+|b|的最大值为3.‎ 考点二　幂函数 ‎5.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是(　　)‎ 答案　D ‎6.(2014上海,9,4分)若f(x)=x‎2‎‎3‎-x‎-‎‎1‎‎2‎,则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(0,1)‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共35分)‎ ‎1.(2020届河南南阳一中第一次月考,9)已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,设a=f(m‎-‎‎1‎‎3‎),b=fln ‎‎1‎‎3‎,c=f‎2‎‎2‎,则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.ab>c且a≠0),若a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎,2‎‎3‎　　　　　B.(2,2‎3‎)‎ C.(1,2)　　　　　D.(1,2‎3‎)‎ 答案　A ‎7.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)=(m2-m-1)x‎4m‎9‎-m‎5‎-1‎是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)‎ A.恒大于0　　　B.恒小于0　　　C.等于　　　D.无法判断 答案　A 二、多项选择题(每题5分,共15分)‎ ‎8.(改编题)已知点‎2,‎‎1‎‎2‎在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　)‎ A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内每个区间内的单调减函数 D.定义域内每个区间内的单调增函数 答案　AC ‎9.(改编题)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,则(　　)‎ A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B.c=3‎ C.b=2‎ D.f(x)=x2-2x+3‎ 答案　ABCD ‎10.(改编题)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,‎3‎),则(　　)‎ A.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.f(x)=‎x‎1‎‎2‎ D.f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 答案　BC 三、填空题(每题5分,共15分)‎ ‎11.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-∞,-1]‎ ‎12.(2020届广东揭阳三中第一次月考,14)已知幂函数y=f(x)的图象过点‎1‎‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎,则log2 f(2)的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎13.(2020届上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数 a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.‎ 甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;‎ 乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1);‎ 丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1;‎ 丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.‎ 你可以选择其中的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ 四、解答题(共25分)‎ ‎14.(2020届山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x1,x2是f(x)的两个零点,且|x1-x2|=2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若x>0,求g(x)=xf(x)‎的最大值.‎ 解析　(1)∵二次函数满足f(x)=f(-4-x),‎ ‎∴f(x)图象的对称轴为x=-2,‎ ‎∵x1,x2是f(x)的两个零点,且|x1-x2|=2,‎ ‎∴x‎1‎‎=-3,‎x‎2‎‎=-1‎或x‎1‎‎=-1,‎x‎2‎‎=-3,‎ 设f(x)=a(x+3)(x+1)(a≠0).‎ 由f(0)=3a=3得a=1,∴f(x)=x2+4x+3.‎ ‎(2)由(1)得g(x)=xf(x)‎=xx‎2‎‎+4x+3‎=‎1‎x+‎3‎x+4‎,‎ ‎∵x>0,∴‎1‎x+‎3‎x+4‎≤‎1‎‎4+2‎‎3‎=1-‎3‎‎2‎.‎ 当且仅当x=‎3‎x,即x=‎3‎时等号成立.‎ ‎∴g(x)的最大值是1-‎3‎‎2‎.‎ ‎15.(2019甘肃甘谷第一中学第一次检测,20)已知函数g(x)=x2-(m-1)x+m-7.‎ ‎(1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,求实数m的取值范围.‎ 解析　(1)g(x)图象的对称轴为x=m-1‎‎2‎,因为函数g(x)在[2,4]上具有单调性,所以有m-1‎‎2‎≤2或m-1‎‎2‎≥4,所以实数m的取值范围是m≤5或m≥9.‎ ‎(2)因为在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,‎ 则x2-(m-1)x+m-7>2x-9在[-1,1]上恒成立,‎ 即x2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,‎ 令f(x)=x2-(m+1)x+m+2,x∈[-1,1],则f(x)min>0,‎ 当m+1‎‎2‎≤-1,即m≤-3时, f(x)min=f(-1)=2m+4>0,‎ 解得m>-2,无解;‎ 当-10,此时1-2‎2‎0,此时m≥1.‎ 综上,实数m的取值范围是m>1-2‎2‎.‎ 思路分析　(1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;‎ ‎(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,令f(x)=x2-(m+1)x+m+2,求出函数图象的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.‎