2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一 1 第1讲 集合、常用逻辑用语
专题强化训练
[基础达标]
1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.
2．(2019·金华模拟)已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＝，x＜1}，则A∩B＝( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选A.法一：因为A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝{y|y＞1}，B＝{y|y＝，x＜1}＝{y|y＞}，所以A∩B＝{y|y＞1}，故选A.
法二：取2∈A∩B，则由2∈A，得log2x＝2，解得x＝4＞2，满足条件，同时由2∈B，得＝2，x＝－1，满足条件，排除选项B，D；取1∈A∩B，则由1∈A，得log2x＝1，解得x＝2，不满足x＞2，排除C，故选A.
3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，故a的值为2，选B.
4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.|a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.
5．(2019·衢州质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )
A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R
C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A
解析：选D.因为A＝{x|－4
4}，
所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
6．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
解析：选C.若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0，故选C.
7．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.
8．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题
解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.
9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是( )
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，
且AC∩AB1＝A，
所以平面ACB1∥平面A1C1D，
正方体的体对角线BD1＝，
设B到平面ACB1的距离为h，
则VBAB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，
则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝－2h＝－2×＝，故A正确．
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，
C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝，则2R＝，R＝，则球的体积V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正确．
D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，
则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，
因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，
因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
所以线段MN长度的最小值是－.故D错误．故选D.
10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C.由36－x2>0可解得－63(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|xm＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－41；
④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项公式an＝Sn－Sn－1(n>1)．
解析：命题①：由数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an－an－1＝d(n≥2)(ⅰ)，又数列{an}是等比数列，设其公比为q，则an＝qan－1(n≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qan－1－an－1＝(q－1)an－1＝d(n≥2)，要使(q－1)·an－1＝d(n≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q－1＝d＝0，也就是q＝1，d＝0.
所以数列{an}为非零常数列，故不正确；
命题②：由正弦定理可把sin2A＋sin2B＝sin2C转化为a2＋b2＝c2，由余弦定理得
cos C＝＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；
命题③：若A、B是锐角三角形的两内角，
则tan A>0，tan B>0，π>A＋B>，
则tan(A＋B)＝<0，
得tan A·tan B>1，故正确；
命题④：若Sn为数列{an}的前n项和，
则此数列的通项公式an＝，故不正确．
故正确的命题为：②③.
答案：②③
