2018届二轮复习 数列通项、求和、综合应用 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 数列通项、求和、综合应用 学案（ 江苏专用）

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝；（2）an＝2．‎ ‎2．已知数列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)，则an＝ ．‎ 答案：an＝．‎ ‎3．已知数列{an}中，a1＝1， an＝an－1＋1 (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：an＝3－2×()n－1．‎ ‎4．已知数列{an}中，a1＝1， an=2an-1＋2n (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：an＝(2n－1)×2n－1．‎ ‎5．已知数列{an}中，a1＝1， an＝ (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：an＝．‎ ‎6． (1) 已知数列{an}中，a1＋‎2a2＋…＋nan＝n2(n＋1)，则an＝ ．‎ ‎(2) 已知数列{an}中，a‎1a2…an＝n2，则an＝ ．‎ 答案：(1) an＝2n；(2) an＝ ‎7． (1) 已知数列{an}中，an＋an＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ ‎(2) 已知数列{an}中，anan＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ 答案：(1) an＝；(2) an＝ ‎8． 已知数列{an}中，an＋1＝，若a1＝，则a2014的值为 ． ‎ ‎ 　答案：．‎ ‎9．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n的前n项的和为 ．‎ ‎(2)数列an＝的前n项的和为 ．‎ ‎ (3)数列an＝(2n－1)·3n的前n项的和为 ．‎ ‎(4)设f(x)＝，则f()＋f()＋f()＋…＋f()的值为 ．‎ ‎(5)已知数列an＝(－1)n·n，则Sn＝ ．‎ 答案：(1)2n＋2－(4＋n)；(2)－(＋)；(3)(n－1)·3n＋1＋3；(4)；‎ ‎(5) Sn＝．‎ ‎10．(1)数列{an}通项公式为an＝an2＋n，若{an}满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，‎ 则实数a的取值范围为 ．‎ ‎(2)已知数列an＝()n－2，bn＝λan－n2，若数列{bn}是单调递减数列，则实数λ的取值范围为 ．‎ 答案：(1) 由,得 (－17，－9)；‎ ‎（2）由题意的，即 ‎，当时的最大值-3 ，.‎ λ＞－1．‎ ‎11．求数列an＝4n2()n－1(n∈N*)的最大项．‎ 答案：，最大项为a9．‎ 二、方法联想 ‎1．形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2)‎ 方法 叠加法，即当n∈N，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1．‎ 形如＝f(n)(n∈N且n≥2)‎ 方法 用叠乘法，即当n∈N*，n≥2时，an＝··…··a1．‎ 注意 n＝１不满足上述形式，所以需检验．‎ ‎2．形如含an，Sn的关系式 方法 利用an＝，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有Sn的关系式)．‎ 注意 优先考虑n＝1时，a1＝S1的情况．‎ ‎3．形如an＝pan－1＋q (n∈N且n≥2) ‎ 方法　化为an＋＝p(an－1＋)形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，转化成{bn}为等比数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎4．形如an＝pan－1＋f(n) (n∈N且n≥2) ‎ 方法　　两边同除pn，得=＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化为利用叠加法求bn(若为常数，则{bn}为等差数列)，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎5．形如an＝ (n∈N且n≥2) ‎ 方法　两边取倒数得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化成{bn}为等差数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎6．形如a1＋‎2a2＋…＋nan＝f(n)或a‎1a2…an＝f(n) ‎ 方法 (1)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作差得an＝ (n∈N*且n≥2)，而a1＝f(1)．‎ ‎(2)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作商得an＝ (n∈N*且n≥2)，而．‎ 注意 n＝１是否满足上述形式须检验．‎ ‎7．形如an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n)形式 方法 (1)列出，两式作差得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，即找到隔项间的关系．‎ ‎(2)列出，两式作商得＝，即找到隔项间的关系．‎ ‎8．归纳猜想 方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项．‎ ‎9．形如an±bn的形式 ‎ 方法 分组求和法．‎ 形如或等形式 方法 采用裂项相消法．‎ 形如anbn形式(其中an为等差，bn为等比)‎ 方法 采用错位相减法．‎ 首、尾对称的两项和为定值的形式 方法 倒序相加法．‎ 正负交替出现的数列形式 方法 并项相加法．‎ ‎10．数列的单调性 方法1 转化为函数的单调性，如利用图象分析．‎ 注意 图象分析时，数列图象为离散的点．‎ 方法2 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断(或证明)数列的单调性．‎ ‎11．数列的最值 方法1 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断数列的单调性．‎ 方法2 若第m项为数列的最大项，则 ‎ 若第m项为数列的最小项，则 方法3 看函数图象，但是要注意是离散点.‎ 三、例题分析 例1 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 答案: (1) ，数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2) . －10＜a＜－8.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的最大项与最小项问题：‎ 方法① 利用数列的单调性，即用比较法判断an＋1与an的大小．‎ 方法② 利用通项所对应的函数的单调性．‎ 方法③ 在等差数列中，可以通过解不等式组求最大项ak，解不等式组求最小项ak．‎ ‎2．数列中的不等式恒成立问题：‎ 方法①：转化为求数列的最大项与最小项问题．‎ 方法②：分离常数后，再求最值．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题中通项所对应的函数是基本函数，单调性已知，便于处理，但要注意最值点必须是自变量取正整数；所以选择②．本题第一小问选择③也是比较简单的．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为数列通项所对应的函数的单调性已知．‎ 例2：已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a (x∈R)同时满足以下两个条件：‎ ‎①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；‎ ‎②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．‎ 设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)． ‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式； (2)求数列{an}的通项公式； ‎ ‎(3)设bn＝()，cn＝－ (n∈N*)，数列{cn}的前n项和为Tn，‎ 求证：Tn＜． ‎ 答案：（1）f(x)＝x2－4x＋4．(2)an＝ ‎ (3)Tn＝－，证明略 ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求二次函数的解析式问题：‎ 方法 待定系数法，可设一般式，零点式与顶点式．‎ ‎2．求数列的通项问题：‎ 方法:①利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an．‎ ‎②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；‎ ‎③构造等差(比)数列求通项；‎ ‎④用累加(乘)法求通项．‎ ‎3．与数列有关不等式证明：‎ ‎ 方法①：将数列的项与和具体求出来后，再用证明不等式的方法(比较法、综合法，分析法，反证法等)处理；‎ ‎ 方法②：利用放缩法，先去掉一些项(或项中的一部分)后，再将数列的项或和具体求出后，再比较．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择用待定系数法，但本题条件实际上是一个等式与一个不等式，从等式中可求出a的值，但有2个，不等式中可确定a的取值范围，从而确定a的值，本小题的难点在于对条件的转化，要求学生对二次函数的图象及性质有全面的认识．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为数列的前n项已知，可由通项与前n项之间的关系来求．‎ 对于问题3，学生一般会选择方法①，因为本题中数列的通项是某一数列相邻两项差的形式，用叠加法很容易求出和Tn，证明很容易，本题也可增加证明Tn≥．也还有很多其他的变式．‎ 例3：已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有a＝anan＋2＋k (k为常数).‎ ‎(1)若k＝(a2－a1)2，求证:a1，a2，a3成等差数列；‎ ‎(2)若k=0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；‎ 答案：(1) 用定义证；‎ ‎ (2)q＝1或q＝．‎ ‎ ‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．证明一个数列是等差数列：‎ 方法①定义法：an＋1－an＝d(常数)，n∈N*；‎ ‎②等差中项法：2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*；‎ ‎2．等比数列的子列构成一等差数列，求公比：‎ 方法①利用等差(比)数列的通项公式，进行基本量的计算 ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题是研究3个数构成等差数列；所以选择②．‎ 四、反馈练习 ‎1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 答案　 说明：本题考查由Sn求an，易忽略n＝1的情况．‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为________．‎ 答案　 说明：本题考查等比数列的求和 ‎3. 已知正数组成的等差数列{an}，其前20项和为100，则a7·a14的最大值是________．‎ 答案　25 解析　∵S20＝＝100，‎ ‎∴a1＋a20＝10.∵an>0，∴a7·a14≤2＝2＝25.当且仅当a7＝a14＝5时取“＝”．‎ 说明：本题考查等差数列的性质和基本不等式的应用 ‎4.数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}前n项和，则S21的值为________．‎ 答案:　 说明：本题考查等和数列，周期数列 ‎5. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式为___________‎ 答案：an＝(－2)n－1‎ 说明：本题考查错位相减法 ‎6.已知数列{an}的首项为a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＝________，an＝________.‎ 答案:　2×n－1　 说明：本题考查错位相减法 ‎7.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列取到最小项时的n＝________.‎ 答案：n＝1‎ 说明：本题考查数列的单调性 ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为______________.‎ 答案：λ<2.‎ 说明：本题考查数列的单调性，不等式恒成立 ‎9．将奇数数列如下分组：1，(3,5)，(7,9,11)，(13,15,17,19)，…，使得第n组中含有n个数，那么第n组中的n个奇数的和为________． ‎ 答案：n3‎ 说明：本题考查归纳猜想 ‎10．将正偶数排列如表，‎ ‎2‎ ‎4　6‎ ‎8　10　12‎ ‎14　16　18　20‎ ‎……‎ 其中第i行第j个数表示为aij(i，j∈N*)，例如a43＝18，若aij＝2012，则i＋j＝________.‎ 答案：61‎ 说明：本题考查数阵 ‎11.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案：(1)an＝13－3n. (2) Tn＝ 说明：（1）本题考查等差数列基本量的运算 ‎（2）本题考查裂项法求和 ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，且满足＝an＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a3，a4的值，并猜想出数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)设bn＝(－1)nan，请利用(1)的结论，求数列{bn}的前15项和T15. ‎ 答案：(1) an＝3n－2 (2) T15＝－22‎ 说明：（1）本题考查归纳猜想 ‎（2）本题考查奇偶项求和 ‎13．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． ‎ 答案：(1) an＝2或an＝4n－2.‎ ‎ (2) 当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.‎ 说明：（1）本题考查等差数列基本量运算 ‎（2）本题考查数列不等式存在性问题 ‎14.已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.‎ ‎（1）求证：（）；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数 都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 答案：（1）证明：∵（）① ∴ （）②‎ 由②①得（），‎ ‎∴（）. ‎ ‎（2）（）. （3）的取值范围是 说明：（1）本题考查an与的关系 ‎（2）本题考查利用数列的单调性来解决恒成立问题 ‎15． 已知数列{an}的前n项和为，对任意正整数,都有.‎ ‎（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）若设数列的前n项和为，求；（3）对于给定的正整数,若，则的最大值.‎ 答案：（1）对任意正整数,都有.‎ ‎ 所以 则对于任意的的正整数成立，‎ 则证得数列{an}为等差数列；（2）（3）的最大值为. ‎ 说明：（1）本题考查等差数列基本量运算 ‎（2）本题考查含绝对值的数列的求和问题 ‎（3）本题考查数列的最值