2018-2019学年广东省汕头市金山中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省汕头市金山中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省汕头市金山中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式得到集合，然后可求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法和集合的补集、交集运算，解题的关键是正确求出集合和熟记集合运算的定义，属于基础题．‎ ‎2．已知角终边上一点，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵角终边上一点，‎ ‎∴，，，则，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎3．设,向量,,则( )‎ A．5 B． C． D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量的垂直求出，再由向量的共线求出，进而得到的坐标，于是可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵,，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∵,,‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是求出向量的坐标，其中向量的垂直和共线是解题的突破口，考查对向量有关概念的掌握和计算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知函数 ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算出的值，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ，所以，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.‎ ‎5．已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，‎ 即，‎ 由，得，，‎ 当时，，‎ 即函数的一个对称中心为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键。‎ ‎6．设等差数列的前n项和为，若，，则( )‎ A．63 B．45 C．39 D．27‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为d，‎ 由，，‎ 得，‎ 解得，；‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．‎ ‎7．设等比数列的前项和记为,若,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列为等比数列，且其前项和记为，‎ ‎∴成等比数列．‎ ‎∵，即，‎ ‎∴等比数列的公比为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．‎ ‎8．函数（且）的图象可能为（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ ‎【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎9．如图，圆周上按顺时针方向标有， ， ， ， 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上 由起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上 是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上 由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上 ‎，周期为 ‎，经次跳后它将停在的点对应的数为 故选 ‎10．设数列的前项和为,且,为常数列,则通项为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，‎ ‎∴Sn－1＋(n－1)an－1＝2，(n≥2)‎ 以上两式相减整理得(n＋1)an＝(n－1)·an－1，‎ ‎∴．‎ ‎ ∴，‎ 当n＝1时，a1＝1满足上式．‎ ‎∴．选B．‎ 点睛：‎ 数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．‎ ‎11．已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得当时，；时，，‎ ‎∴当时，的最大值为；‎ 又由，∴当时，的最大值为；‎ 当时，的最大值为，…，‎ 所以当时，的最大值为，‎ 由等比数列的前n项和公式，得 .‎ 若对任意的正整数成立，则，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎12．已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )‎ A．或 B．或 C．或或不存在 D．或或不存在 ‎【答案】C ‎【解析】由可得函数的周期为，所以，故，然后再求出，根据题意求出后可得所求结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意及可得函数的周期为，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由，得，‎ 又,，‎ ‎∴．‎ 由题意得存在实数，与调整顺序后构成等差数列．‎ ‎（1）当公差时．‎ 四个数所构成的等差数列共有以下六种：①；②；③；④；⑤；⑥．‎ 经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．‎ 对于，可得公差，故，‎ 当时，；当时，．‎ 对于，可得公差，故，‎ 当时，由于，故正切值不存在；当时，由于，故正切值不存在．‎ ‎（2）当公差时，同样有类似的结论．‎ 综上可得的值为或或不存在．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是分类讨论四个数成等比数列的各种情形，然后根据条件进行排除进而得到的值，解题的基础是正切函数的性质，考查综合运用知识解决问题的能力，难度较大．‎ 二、填空题 ‎13．的内角的对边分别为，已知,,，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理可得cosB，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A.‎ ‎【详解】‎ ‎∵b，c＝2，cosB，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosB，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，‎ ‎∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎14．在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】首先对通分化简，再根据余弦定理即可求出，进而求出，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，根据余弦定理可知，所以，根据正弦定理可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.‎ ‎15．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得 由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．‎ ‎16．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得，可得，故为偶函数，‎ 由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，‎ 当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；‎ 同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当， 单调递增 又因为为偶函数，可得当时， 可得，‎ ‎ ， ， ，‎ 可得：，当时，可得， ，‎ 故可得的取值范围是，‎ 故答案：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别为，且.‎ 求角的值；‎ 若的面积为，且，求的周长.‎ ‎【答案】（1） ；（2）．‎ ‎【解析】1由利用正弦定理得，再结合得出；2由三角形面积公式可得，中，由余弦定理得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎()由正弦定理：，可得 又因为，‎ 所以，，因为，所以．‎ ‎2因为，所以，‎ 中，由余弦定理，，‎ 则，故，‎ 所以的周长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎18．已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.‎ ‎（2）利用错位相减法即可求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵当时，‎ 两式相减得，即.‎ 又，，成等差数列 ‎∴ ‎ 数列是首项为2公比为2的等比数列 ‎∴数列的通项公式为.‎ 则，‎ ‎∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 两式相减得 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴数列的前项和 ‎【点睛】‎ 主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.‎ ‎1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.‎ ‎2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简 ‎19．的内角的对边分别为，已知成等差数列.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若为中点，求的长.‎ ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】（1）由等差数列性质得到，，结合正弦定理可得，利用展开并化简可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出与，然后在中利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）成等差数列，则，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 又，.‎ ‎（2）在中，，‎ ‎，‎ 即，‎ 或（舍去），故，‎ 在中，‎ 在中，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。‎ ‎20．汕头某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.‎ 请你根据以上数据,解决下列问题：(1)引进该设备多少年后,收回成本并开始盈利？(2)引进该设备若干年后,有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，‎ 则y=50n－（12n+×4）－98=－2n2+40n－98，由y＞0，得10－＜n＜10+．‎ ‎∵n∈N，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．…………………6分 ‎（2）方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，‎ 当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元．‎ 方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，‎ 即经过10年盈利总额最大，‎ 共计盈利102+8=110万元．‎ 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．…………12分 ‎【解析】试题分析：（1）根据利润等于收入-成本，可求利润函数，令其大于0，可得结论；‎ ‎（2）分别求出两种处理方案的利润，再进行比较，即可得到结论．‎ 试题解析：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，‎ 则y=50n－（12n+×4）－98=－2n2+40n－98，‎ 由y＞0，得10－＜n＜10+．‎ ‎∵n∈N，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．‎ ‎（2）方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，‎ 当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.‎ 方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，‎ 即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元． ‎ 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． ‎ ‎【考点】1．函数模型的选择与应用；2．基本不等式．‎ ‎21．已知数列中,.‎ ‎(1)求证：是等比数列,并求数列的通项公式；‎ ‎(2)已知数列,满足.‎ ‎ i)求数列的前项和；‎ ‎ ii)若不等式对一切恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）；.‎ ‎【解析】(1)由题意结合等比数列的定义证明数列是等比数列，然后求解其通项公式即可；‎ ‎(2)(i)首先确定数列的通项公式，然后求解其前n项和即可；‎ ‎(ii)结合恒成立的条件分类讨论n为奇数和n为偶数两种情况确定的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是以3为首项，3公比的等比数列，‎ ‎．‎ ‎．‎ 解由得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得：，‎ ‎．‎ 由得，‎ 令，则是递增数列，‎ 若n为偶数时，恒成立，‎ 又，，‎ 若n为奇数时，恒成立，‎ ‎，，．‎ 综上，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项公式的求解，错位相减求和，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数,使得成立.‎ ‎(1)判断幂函数是否属于集合？并说明理由；‎ ‎(2)设,,‎ i)当时,若,求的取值范围；‎ ii)若对任意的,都有,求的取值范围 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列式，即解出自变量的值，属于集合A；（2）i)当时，，转化为 在上有解；ii)由 i)知：对任意，在上有解，则则可转化为在上有解，即可解决。‎ 解析：‎ ‎（1），理由如下：‎ 令，则 ‎，即，‎ 解得：，均满足定义域．‎ 当时，‎ ‎（2）i)当时，‎ ‎∵，∴，‎ 由题知：在上有解 ‎∴‎ ‎∴（），令，则 ‎∴即 ‎∴，‎ 从而，原问题等价于或 ‎∴或又在上恒成立 ‎∴，∴‎ ii)由 i)知：对任意，在上有解 ‎∴，即 ‎（），令，则 则在上有解 令，，则 ‎，即 由可得：，令，则 ‎，∴，∴．‎ 点睛：本题的考点是函数与方程的综合运用，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．‎