青海省海东市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

青海省海东市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度下学期期中试卷 高一数学 考试时间：120分钟分值：150分 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.在中，，则等于（ ）‎ A. B. C. 16 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理计算即可.‎ ‎【详解】由余弦定理得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎2.已知等差数列的通项公式为， 则它的公差为 （ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由可得，所以公差．故C正确．‎ 考点：等差数列的定义．‎ ‎3.若三个正数成等比数列，其中，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由实数，，成等比数列，得,即可求得答案.‎ ‎【详解】三个正数成等比数列 又正数 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质，解题关键是掌握等比数列中项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎4.在等比数列中，已知，那么的前4项和为（ ）.‎ A. 81 B. ‎120 ‎C. 121 D. 192‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.‎ ‎【详解】 ,‎ ‎ ‎ ‎ .故选B ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.‎ ‎5.设在中，若，且，则的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理：，化简所给条件，即可求得答案.‎ ‎【详解】，‎ 根据，“角化边”‎ 可得：，‎ 即：，‎ 是等腰直角三角形 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据正弦定理判断三角形形状问题，解题关键是掌握正弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎6.若，，，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 把看成（）×1的形式，把“‎1”‎换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．‎ ‎【详解】∵（）（a+2b）‎ ‎＝(312)‎ ‎≥×(15+29‎ 等号成立的条件为，即a=b=1时取等 所以的最小值为9．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“‎1”‎的代换，是基础题 ‎7.已知实数，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.‎ ‎8.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．‎ 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．‎ ‎9.已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,再由,可得，‎ 故三内角分别为.‎ 再由正弦定理可得三边之比，‎ 故答案为 点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果 ‎10.一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）‎ A. 10 B. ‎-10 ‎C. 14 D. -14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由不等式的解集分析可得方程的两根为和 ‎，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，将其值相加即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，‎ 则方程的两根为和，‎ 则有，‎ 解可得，，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，属于基础题．‎ ‎11.已知等差数列的公差，若成等比数列,那么公比为 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为成等比数列，则，即，解得，所以，所以数列的公比为，故选C．‎ 考点：等差数列与等比数列的通项公式．‎ ‎12.在等差数列中，若是方程的两根，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. ﹣4 D. ﹣2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理求出，再由等差数列性质得，即可得解.‎ ‎【详解】由题意知，则.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，即等差中项的推广性质，属于基础题.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知等差数列中，，，则其通项公式__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵等差数列{an}中,a4=8,a8=4，‎ ‎∴，解得a1=11，d=−1，‎ ‎∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n.‎ ‎14.设满足约束条件，则最小值为__________．‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，目标函数最优解为A，‎ 联立，解得A（﹣1，1）．‎ ‎∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．‎ 故答案为﹣5．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15.在中, 若,则的外接圆的半径为 _____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出sinA，利用正弦定理直接求出△ABC的外接圆的半径．‎ ‎【详解】因为在△ABC中，若a＝3，cosA＝﹣，所以sinA＝，‎ 由正弦定理，可得：＝＝．‎ 故答案为．‎ 点睛】本题是基础题，考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．‎ ‎16.设为实数，且，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号）‎ ‎①；②；③；④；⑤‎ ‎【答案】④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质分别进行验证即可得答案.‎ ‎【详解】因为为实数，且，‎ 对于①因为，所以 所以，即，所以①不正确；‎ 对于②当时，结论不成立，所以②不正确；‎ 对于③④因为，所以 因为，所以，即，所以③不正确，④正确；‎ 对于⑤因为，所以，所以⑤正确 故答案为：④⑤‎ ‎【点睛】此题考查了不等式基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.关于的不等式（为常数）.‎ ‎（1）如果，求不等式的解集；‎ ‎（2）如果不等式的解集为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由因式分解得出二次方程的根，直接写出不等式的解集．‎ ‎（2）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求解．‎ ‎【详解】（1）由，得，即.‎ 解得或．‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）根据题意，得.‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系是解题基础．‎ ‎18.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，由正弦定理，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，求出，再由两角和的正弦公式，求出，根据三角形面积公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1），，，‎ 在中，由正弦定理，‎ 得.‎ ‎（2）由于，所以，则为锐角，所以，‎ 则，‎ 所以的面积 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，熟记正弦定理，三角形面积公式，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型.‎ ‎19.等比数列中，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为的前和.若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）为等比数列.‎ 由题意得 ‎.‎ 由得 ‎（2）由（1）知：‎ 得：‎ 解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知等差数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）因为为等差数列，所以 ，‎ 解得 ， ；‎ ‎（2） ，‎ ‎ .‎ ‎21.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎22.（1）若，，且，求的最小值．‎ ‎（2）已知，满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）64；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”即与基本不等式的性质即可得出.‎ 试题解析：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号． 那么：xy≥64故xy的最小值是64．‎ ‎（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+，当且仅当x=y，即x=，y=时取等号，故的最小值是：3+．‎