高考数学难点突破41__应用问题

高考数学难点突破41__应用问题

高中数学难点 41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成 熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的 能力要求. 1.（★★★★★）一只小船以 10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高 20 米的桥上，一 辆汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进（如图），现 在小船在水平 P 点以南的 40 米处，汽车在桥上以 西 Q 点 30 米处（其中 PQ⊥水面），则小船与汽车 间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身 的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水 2 分钟；（2）洗菜 6 分钟；（3）准备面条及佐料 2 分钟；（4）用锅把水烧开 10 分钟；（5）煮 面条和菜共 3 分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好， 最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规 律：每生产产品 x（百台），其总成本为 G（x）万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 R(x)满足 R(x)=      )5( 2.10 )50( 8.02.44.0 2 x xxx .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品 x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ［例 1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米，问当 a、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学 知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或 a 与 b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解 决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y，则由条件 y= ab k (k＞0 为比例 系数)其中 a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ① 要求 y 的最小值，只须求 ab 的最大值. 由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且 ab=30–(a+2b) 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ 124)22)(2(2  ba ∴ab≤18，当且仅当 a=2b 时等号成立 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3. 故当且仅当 a=6,b=3 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由 2a+4b+2ab=60,得 a ab   2 30 , 记 a aaabu   2 )30( (0＜a＜30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值. 由 2 2 )2( )2(64   a au ，令 u′=0 得 a=6 且当 0＜a＜6 时，u′＞0，当 6＜u＜30 时 u′＜0, ∴ a aau   2 )30( 在 a=6 时取最大值，此时 b=3. 从而当且仅当 a=6，b=3 时,y= ab k 取最小值. ［例 2］某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有 量的 6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学 知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：数列极限、等比数列、解不等式. 错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出 bn+1 与 x 的关系后，不能进 一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果. 技巧与方法：建立第 n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、 尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高. 解：设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆，以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆，b3 万 辆，……每年新增汽车 x 万辆，则 b1=30,b2=b1×0.94+x,… 对于 n＞1，有 bn+1=bn×0.94+x=bn–1×0.942+(1+0.94)x,… 所以 bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n–1) =b1×0.94n+ n n xxx 94.0)06.030(06.006.0 94.01  . 当 06.030 x ≥0，即 x≤1.8 时，bn+1≤bn≤…≤b1=30 当 ＜0，即 x＞1.8 时， 06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1 xxx n n    并且数列{bn}逐项递增，可以任意靠近 06.0 x . 因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆， 即 bn≤60(n=1,2,…)则有 ≤60，所以 x≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 1.解应用题的一般思路可表示如下 2.解应用题的一般程序 （1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础. （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本 数学模型，正确进行建“模”是关键的一关. （3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更 要注意巧思妙作，优化过程. （4）答：将数学结论还原给实际问题的结果. 3.中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线 性规划”问题解决. （2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. （3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模 型”，转化为求函数的最值. （4 （5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决. 一、选择题 1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超 过 200 元，则不予优惠，②如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠，③如 果超过 500 元，其 500 元按②条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠.某人两次去购 物，分别付款 168 元和 423 元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( ) A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元 2.（★★★★）某体育彩票规定：从 01 到 36 共 36 个号码中抽出 7 个号码为一注，每 注 2 元.某人想先选定吉利号 18，然后再从 01 到 17 中选 3 个连续的号，从 19 到 29 中选 2 个连续的号，从 30 到 36 中选 1 个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( ) A.1050 元 B.1052 元 C.2100 元 D.2102 元 二、填空题 3.（★★★★）一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落 下，当它最后静止在地面上时，共经过了 米. 4.（★★★★）有一广告气球直径为 6 米，放在公 司大楼上空（如图），当某行人在 A 地观测气球时，其 中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β =2°， 若θ 很小时，可取 sinθ =θ ，试估计气球的高 BC 的值 约为 米. 三、解答题 5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的 速度分别为 v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时，每千米的运费分别为 a 元、b 元、c 元.且 b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为 m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输 时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中 字母均为正的已知量） 6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t(0≤t≤24，单位小时）的 函数，记作 y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据 t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosω t+b. （1）根据以上数据，求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判 断一天内的上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动. 7.（★★★★★）某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种 经费 12 万美元，以后每年增加 4 万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美元. （1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48 万美 元出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16 万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 8.（★★★★★）某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q，该厂的生产能力是月 产 P 产品最多有 2500 件，月产 Q 产品最多有 1200 件；而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B，组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B，该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个；B 零 件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元，Q 产品每件 2000 元，欲使月利润最大，需 要组装 P、Q 产品各多少件？最大利润多少万元. 参 考 答 案 ●难点磁场 1.解析：设经过时间 t 汽车在 A 点，船在 B 点，（如图），则 AQ=30 –20t,BP=40–10t,PQ=20,且有 AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小 船所在平面为α ,AQ,QP 确定平面为β ,记α ∩β =l,由 AQ∥α ,AQ  β 得 AQ∥l,又 AQ⊥PQ，得 PQ⊥l,又 PQ⊥PB，及 l∩PB=P 得 PQ ⊥α .作 AC∥PQ，则 AC⊥α .连 CB，则 AC⊥CB，进而 AQ⊥BP， CP∥AQ 得 CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40– 10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,t=2 时 AB 最短，最短距离为 30 m. 答案：30 m 2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间 为 2+10+3=15 分钟. 答案：15 3.解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为 f(x),则      )5( 2.8 )50( 8.22.34.0)( 2 xx xxxxf (1)要使工厂有赢利，则有 f(x)>0. 当 0≤x≤5 时，有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得 15 时，有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴55 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为 4 )4(R =2.4 （万元/百台）=240（元/台）. ●歼灭难点训练 一、1.解析：此人购买的商品原价为 168+423÷90%=638 元，若一次购买同样商品应付 款为 500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6 元. 答案：C 2.解析：从 01 到 17 中选连续 3 个号有 15 种方法，从 19 到 29 中选连续 2 个号有 10 种 选法，从 30 到 36 中选 1 个有 7 种选法，故购买注数为 1050 注至少花 1050×2=2100 元. 答案：C 二、3.解析：小球经过的路程为： 300200 2 11 2 1 100100)2 1(21004 121002 12100 3    s m. 答案：300 4.提示：sin2°= 90  答案：86 m 三、5.解：设运输路程为 S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的 总费用分别为 y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意， ,)2(.)( 21 Sv mbySv mamv SaSy  Sv mbayySv mcy ]2)[(.)10( 213  ,由 a>b,各字母均为正值，所以 y1–y2>0，即 y20,由 c>b 及每字母都是正值，得 c>b+ .所以，当 c>b+ 时 y21 时，才可对冲浪者开放.∴ >1, t6cos  >0.∴2kπ – 2262   kt ,即有 12k–30,∴–2n2+40n–72>0，解得 2

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