- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
江苏省无锡一中2020届高三上学期12月考数学试题
江苏省无锡一中 2020 届高三数学十二月月考 数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1.已知集合 ， ， ________． 【答案】 【解析】 【分析】 由交集定义可直接求得结果. 【详解】由交集定义可知： 故答案为： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.设复数 ，若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 由复数乘法运算可得到 ，根据复数相等可求得 的值，进而得到结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查根据复数相等求解参数值的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题. 3.函数 的定义域为______． 【答案】 【解析】 由 ，可得 ，所以，函数 的定义域为 ，故答案为 { }2 3A x x= − < < { 2,0,2}B = − A B = {0,2} { }0,2A B = { }0,2 ( , )z a bi a b R= + ∈ 1 2zi i= − a b+ = 3− zi ,a b ( ) 1 2zi a bi i b ai i= + = − + = − 1 2 b a = −∴ = − 3a b∴ + = − 3− ln( ) 4 2x xf x = − (0,2) 0{4 2 0x x > − > 0 2x< < ( ) ln 4 2x xf x = − ( )0,2 . 4.某商场在五一黄金周的促销活动中，对 5 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频率分 布直方图如图所示．已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元，则 11 时至 12 时的销售额为 万元． 【答案】12 【解析】 试题分析：由题意得 11 时至 12 时的销售额为 考点：频率分布直方图 5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ． 【答案】28 【解析】 试题分析：i=1,x=4;1<10 成立，x=6,i=4;4<10 成立，x=14,i=7;7<10 成立，x=28,i=10;10<10 不成立，所以输出的 x 的值为 28； 考点：1．算法； ( )0,2 0.43 =12.0.1 × 6.已知实数 ， 满足约束条件 则 的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目 标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数 ， 满足约束条件 ，作出可行域如图所示，联立 ，解得 ，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点 时 ， 目 标 函 数 取 最 小 值 ， 即 当 时 ， 目 标 函 数 取 最 小 值 ， 故答案为 . 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. x y 3 0, 2 0, 2, x y x y x − + + 3z x y= + 5− x y 3 0, 2 0, 2, x y x y x − + + 2 0 3 0 x y x y + = − + = ( 2,1)A − ( 2,1)A − 2, 1x y= − = z 3 ( 2) 1 5× − + = − 5− 7.函数 图像的对称轴方程为________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 利用两角和差正弦公式、二倍角公式和辅助角公式可将函数整理为 ，令 ，解得 后，即可得到对称轴方程. 【 详 解 】 令 ， ，解得： ， 函数的对称轴方程为： ， 故答案为： ， 【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的求解问题，涉及到利用两角和差正弦公式、二倍角公 式和辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数性质 构造方程求得结果. 8.已知正六棱锥底面边长为 ，侧棱长为 ，则此六棱锥体积为 【答案】12 【解析】 试题分析：由题意得六棱锥的高为 ，体积为 考点：六棱锥体积 9.下图是函数 的图象的一部分，则 ________． 2sin( ) sin3y x x π= − ⋅ 2 6 kx π π= + k Z∈ 1 sin 22 6y x π = − + 2 6 2x k π ππ+ = + x 22 sin cos cos sin sin sin 3sin cos3 3y x x x x x x π π = − ⋅ = − 1 1 3 1cos2 sin 2 sin 22 2 2 2 6x x x π = − − = − + 2 6 2x k π ππ+ = + k Z∈ 2 6 kx π π= + k Z∈ ∴ 2 6 kx π π= + k Z∈ 2 6 kx π π= + k Z∈ 2 4 _______. 21 32 3 6 2 12.3 4 × × × × = 2( ) cos( ) 13 ( 0,| | )f x A x Aπ ϕ ϕ π>+ − <= 3 4f = 【答案】 【解析】 【分析】 由最大值可确定 ；利用 可求得 ，进而得到函数解析式，代入 即可求得结 果. 【详解】 ，即 ，即 ，即 故答案为： 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数值的问题；关键是能够通过最值和特殊点确定 三角函数的解析式，属于常考题型. 10.如图， 是边长为 2 的正三角形，以 A 为直角顶点向外作一等腰直角 ，记 ， ，则 m，n 中较大数的数值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 3 1− A ( )1 0f = ϕ 3 4x = ( )max 1f x = 2A∴ = ( ) 21 2cos 1 03f π ϕ ∴ = + − = 2 1cos 3 2 π ϕ + = ϕ π< π ϕ π− < < 2 5 3 3 3 π π πϕ∴− < + < 2 3 3 π πϕ∴ + = 3 πϕ = − ( ) 22cos 3 3f x x π π ∴ = − 3 2 32cos 1 2cos 1 3 14 3 4 3 6f π π π ∴ = × − − = − = − 3 1− ABC ACD DA DB m⋅ = DC DB n⋅ = 6 2 3+ 利 用 平 面 向 量 的 线 性 运 算 可 知 ， ，由数量积运算的定义和性质可求得 的值，进而得到结 果. 【详解】由题意得： ， ， ， ， ， ，即 中较大数为 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算的求解，关键是能够利用平面向量的线性运算将所 求向量转化为已知模长和夹角的向量，进而根据数量积的定义和性质求得结果. 11.设 x、y 均为正实数，且 ,以点(x，y)为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最 小时圆的标准方程为______. 【答案】 . 【解析】 试题分析：因为 ，所以 令 ，则 所以 ，当且仅当 ( )n DC DB DC AC CB AD= ⋅ = ⋅ + − ( )m DA DB DA AB AD= ⋅ = ⋅ − ,m n 2DA = 2 2DC = 5 3 2 6DAB π π π∠ = + = 4DCA ADC π∠ = ∠ = 7 3 4 12DCB π π π∠ = + = ( ) ( )2 2 cosDA DB DA AB AD DA AB AD DA AB DAB ADπ⋅ = ⋅ − = ⋅ + = − ∠ + 2 2cos 4 2 3 46 π= × + = + 2 3 4m∴ = + ( ) ( )DC DB DC AB AD DC AC CB AD DC AC DC CB DC AD⋅ = ⋅ − = ⋅ + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ ( ) ( )cos cos cosDC AC DCA DC CB DCB DC AD ADCπ π= ∠ + − ∠ − − ∠ 5 3 6 22 2 2cos 2 2 2cos 2 2 2cos 4 4 2 4 6 2 34 12 4 4 π π π −= × + × − × = + × + = + 6 2 3n∴ = + m n∴ < ,m n 6 2 3n = + 6 2 3+ 3 3 12 2x y + =+ + 2 2( 4) ( 4) 256x y− + − = 3 3 12 2x y + =+ + ( )8 1 ,1 yx yy += >− ( )1 0z y z= − > 1,y z= + 2 8 1 y yxy y += − ( ) ( )2 21 8 1 10 9 9 10 6 10 16z z z z zz z z + + + + += = = + + ≥ + = ， 即 时 取 等 号 ， 此 时 半 径 ， 则 此 时 所 求 圆 的 方 程 为 ， 故答案为 . 考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值. 【方法点晴】本题主要考察圆的标准方程及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等 式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断 参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是， 最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.本题就是利用不等式等号成立的条件进行解答的. 12.已知 ，则 最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】 把所求式子看作两点间距离的平方，再根据直线与曲线位置关系求最值 【详解】 看作两点 之间距离的平方． 点 A 在直线 上，点 B 在曲线 上 ，取 所以 ，即 最小值为 4. 【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 13.已知椭圆 的上顶点为 B，若椭圆上离点 B 最远的点为椭圆的下顶点， 则椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 9z z = 3z = 4, 4,y x= = 16xy = ( ) ( )2 24 4 256x y− + − = 2 2( 4) ( 4) 256x y− + − = ≥ ≤ ,x y R∈ 2 2 2( )x y x y + + − 2 2 2( )x y x y + + − 2( , ), ( , )A x x B y y − y x= 2y x = − 2 2 2( ) 1 2y xx x ′ ′= − = = ∴ = ± ( 2, 2)− 2| 2 ( 2) || | 2 | | 4 2 AB AB − −≥ = ∴ ≥ 2 2 2( )x y x y + + − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 20, 2 【分析】 设 ，利用两点间距离公式得到 ，利用换元法得到二次函数的对称轴位 置；由最大值取得的位置可确定对称轴位置应在 的左侧，从而得到关于 的齐次不 等式，进而求得离心率的范围. 【详解】由题意得： ，设 为椭圆上任意一点 令 ， 对称轴为 的最大值为 且在 为椭圆下顶点时取得最大值 最大时， 在 上单调递减 ，即 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解问题，关键是能够通过两点间距离公式得到关 于距离的函数关系式，利用二次函数最值取得的位置可确定函数的单调性，进而利用对称轴 的位置得到关于 的齐次不等式. 14.若函数 对任意实数 t，在闭区间 上总存在两个实数 ， ，使得 成立，则负数 a 的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 ( )cos , sinP a bθ θ PB 1x = − ,a c ( )0,B b ( )cos , sinP a bθ θ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2cos 0 sin cos sin 2 sinPB a b b a b b bθ θ θ θ θ∴ = − + − = + − + ( )2 2 2 2 2 2sin 2 sinb a b a bθ θ= − − + + ( ) ( )2 2 2 2 2 22f x b a x b x a b= − − + + [ ]1,1x∈ − ( ) 2 2 2 22 2 2 2 b bx b ab a −= − = −− PB 2b P PB∴ 1x = − ( )f x∴ [ ]1,1− 2 2 2 1b b a ∴ ≤ −− ( )2 2 2 22 2a b a c≤ = − 2 22a c∴ ≥ 2 2 2 1 2 ce a ∴ = ≤ 20, 2e ∴ ∈ 20, 2 ,a c 2 ( 0)( ) 5f x ax b ax + <= + [ 2, 2]t t− + 1x 2x 1 2( ) ( ) 8f x f x− ≥ 2− 由二次函数的性质可将所求问题转化为当 时， ，代入函数解析式 可得到 ，令 可得到关于 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】由解析式可知： 为开口方向向下的二次函数 在 上总存在两个实数 ，使得 成立， 只需满足 的中点是对称轴时， 即当 时， 即可， 代入 得： ，即负数 的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查根据二次函数的性质求解参数的问题，关键是能够将已知的恒成立的不等 式转化为区间端点处的函数值与对称轴处函数值的差的不等式，进而得到所求参数所满足的 不等关系. 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．） 15.在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ． （1）求 A 的值； （2）若 B=30°，BC 边上的中线 AM= ，求△ABC 的面积． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）利用条件结合正弦定理可得 ，化简整理可得 ，求出 即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出 ，再利用面积公式即可求解． 2 bt a = − ( ) ( )2 8f t f t− + ≥ 4 4 2 8at a b− − − ≥ 2 bt a = − a ( )f x [ ]2, 2t t− + 1 2,x x ( ) ( )1 2 8f x f x− ≥ [ ]2, 2t t− + 2 bt a = − ( ) ( )2 8f t f t− + ≥ ( ) ( )22 5 2 2 5 4 4 2 8at bt a t b t at a b∴ + + − + − + − = − − − ≥ 2 bt a = − 4 8a− ≥ 2∴ ≤ −a a 2− 2− 2 3 cos cos3 b c C Aa − = 7 30A = 3 2sin 3sin cos cos3sin B C C AA − = 2sin cos 3sinB A B= 3cos 2A = 2AC BC= = 试题解析：（1） ， 因为 又 （2） 设 则 ，在 中，由余弦定理得： ，解得 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的 问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角 形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能 写出角的大小. 16. 在四棱锥 P－ABCD 中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E 为 PA 的中点． 2 3 cos cos3 b c C Aa − = 2sin 3sin cos cos3sin B C C AA −∴ = 2sin cos 3sin( )B A A C∴ = + sin( ) sin , 2sin cos 3sinA C B B A B+ = ∴ = 3sin 0 2cos 3 cos 2B A A， ，即≠ ∴ = = 0 180 30A A （ ， ），∈ ∴ = 30 30A B ， ，= = 120 ,C AC BC∴ = = 2 ,AC x= CM x= ACM∆ 2 2 2 2 cosAM AC MC AC MC C= + − ⋅ ⋅ 2 2 24 2 7x x x∴ + + = 1x = ABC AMC ABC 2, 2 12 sin2 1 32 2 1 32 2 AC BC S S S CM AC C ∆ ∆ ∆ ∴ = = = ∴ = × ⋅ ⋅ = × × × × = （1）求证：BE∥平面 PCD； （2）求证：平面 PAB⊥平面 PCD． 【答案】（1）证明见解析；（2）求证明见解析. 【解析】 【详解】（1）取 PD 的中点 F，连接 EF，CF． 因为 E 为 PA 的中点，所以 EF∥AD，EF＝ AD． 因为 BC∥AD，BC＝ AD， 所以 EF∥BC，EF＝BC． 所以四边形 BCFE 为平行四边形． 所以 BE∥CF． 因为 BEË 平面 PCD，CFÌ 平面 PCD， 所以 BE∥平面 PCD． （2）因为 AB＝PB，E 为 PA 的中点，所以 PA⊥BE． 因 BE∥CF，所以 PA⊥CF． 因为 PA⊥PD，PD 在平面 PCD 内，CF 在平面 PCD 内，PD∩CF＝F， 所以 PA⊥平面 PCD． 因为 PA⊥平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PCD． 17.如图，河的两岸分别有生活小区 和 ，其中 ， ， ， 三点共线， 与 的延长线交于点 ，测得 ， ， ， ， ．若以 所在直线分别为 轴建立平面直角 坐标系 ，则河岸 可看成是曲线 （其中 为常数）的一部分，河岸 可 看成是直线 （其中 为常数）的一部分． 为 1 2 1 2 ABC DEF AB BC⊥ EF DF⊥ DF AB⊥ , ,C E F FD BA O 3AB km= 4BC km= 9 4DF km= 3EF km= 3 2EC km= ,OA OD ,x y xOy DE x by x a += + ,a b AC y kx m= + ,k m （1）求 的值； （2）现准备建一座桥 ，其中 分别在 上，且 ，设点 的横坐 标为 ． ①请写出桥 的长 关于 的函数关系式 ，并注明定义域； ②当 为何值时， 取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） ， （2）① ②当 时，取得最小值，最小值为 1km 【解析】 【分析】 （1）将 坐标代入 ， 坐标代入 ，可构造出关于所求量的方程组， 解方程组可求得结果； （2）①设 ，利用点到直线距离公式可表示出 ；根据 向 作垂线 时，垂足都在线段 上，可得 的取值范围，进而得到所求函数关系式和定义域； ②利用基本不等式可求得 ，从而得到 的最小值，即为 的最小值；根 据基本不等式的取等条件可确定 的取值. 【详解】（1）将 ， 两点坐标代入到 中，得： 解得： , , ,a b k m MN ,M N ,DE AC MN AC⊥ M t MN l t ( )l f t= t l 4 7 a b = − = − 4 3 2 k m = = − 1 9( ) 4 9 ,(0 3)5 4l f t t tt = = + − ≤ ≤− 5 2t = ,D E x by x a += + ,A C y kx m= + 7, 4 tM t t − − ( )l f t= ,D E AC AC t 94 9 54t t + − ≤ −− ( )f t l t 70, 4D ( )3,4E x by x a += + 7 4 34 3 b a b a = + = + 4 7 a b = − = − 将 ， 两点坐标代入到 中，得： 解得： （2）①由（1）知直线 的方程为 ，即 设 点的坐标为 ，则 又由点 向直线 作垂线时，垂足都在线段 上 ② 则 （当且仅当 ，即 时取等号） 即 即当 时， 取得最小值，最小值为 【点睛】本题考查根据给定的函数模型求解实际问题，涉及到点到直线距离公式的应用、利 用基本不等式求解最值的问题；关键是能够利用点到直线距离公式得到函数关系式，并将所 给函数关系式整理为符合基本不等式的形式，进而利用基本不等式求得最值. 18.己知椭圆 经过点 ， 是 的一个焦点，过 点 的动直线 交椭圆于 A，B 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）求 面积的最大值； 3 ,02A 9 ,44C y kx m= + 30 2 94 2 k m k m = + = + 4 3 2 k m = = − AC 4 23y x= − 4 3 6 0x y− − = M 7, 4 tM t t − − 2 2 74 3 6 1 94 4 95 44 3 tt tl t t −− × −−= = + −−+ ,D E AC AC 0 3t∴ ≤ ≤ ( ) ( )1 94 9 0 35 4l f t t tt ∴ = = + − ≤ ≤− 0 3t≤ ≤ 1 4 4t∴ ≤ − ≤ ( ) ( )9 9 94 9 4 4 7 7 4 44 4 4t t tt t t + − = − + + = − − + − − − ( ) 97 2 4 4 7 2 6 54t t ≤ − − × = − × = −− ( ) 94 4 4t t − = − 5 2t = ( ) 1 9 14 9 5 15 4 5l f t t kmt = = + − ≥ × =− 5 2t = l 1km 2 2 2 2: 1( 0)C b bx a ay + > >= 2 ,12 ( )0,1F C F l C OAB∆ （3）在 轴上是否存在定点 （异于点 ），对任意的动直线 （斜率存在）都有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【 答 案 】（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 存 在 定 点 ， 对 任 意 的 动 直 线 都 有 【解析】 【分析】 （1）由焦点坐标知 ；根据椭圆定义和两点间距离公式可构造方程求得 ，结合 即可求得椭圆方程； （2）设直线 ，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，用 表示出 ；根据 可得到关于 的函数的形式；利用换元法，结合二次函数性质可求得 所求的最大值； （3）设存在点 ，使得 ；结合（2）中的韦达定理表示出 ，整理得到 ，从而求得 ，得到所求定点 . 【详解】（1） 是椭圆 的一个焦点 椭圆的另一个焦点为 且 由椭圆定义知： 椭圆 的方程为： （2） 三点不共线 直线 斜率存在，可设为： 由 得： 设 ， ，则 ， y M F l 0MA MBk k+ = M 2 2 12 y x+ = 2 2 (0,2)M 0MA MBk k+ = 1c = a 2 2 2b a c= − : 1l y kx= + k 1 2x x− 1 2 1 2OABS OF x x∆ = ⋅ − k ( )( )0, 1M m m ≠ 0MA MBk k+ = MA MBk k+ ( )2 2 0k m− = 2m = M ( )0,1F C ∴ ( )0, 1− 1c = ( ) ( ) 2 2 2 22 22 0 1 1 0 1 1 2 22 2a = − + − + − + + = 2a∴ = 2 2 2 2 1 1b a c∴ = − = − = ∴ C 2 2 12 y x+ = , ,O A B ∴ l 1y kx= + 2 2 1 12 y kx y x = + + = ( )2 22 2 1 0k x kx+ + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 2 kx x k + = − + 1 2 2 1 2x x k = − + 令 ，则 当 时， 即 面积的最大值为 （3）假设存在点 ，使得 由题意知，直线 斜率存在，可设为 设 ， ，由（2）知： ， 即 时，等式恒成立 在 轴上存在定点 ，对任意的动直线 都有 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面 积的求解和定点问题的求解；求解定点问题的常用方法是利用某一变量表示出所给的等量关 系，利用恒成立的思路消除变量的影响得到定点. 19.已知函数 ，函数 g（x）=-2x+3． （1）当 a=2 时，求 f（x）的极值； （2）讨论函数 的单调性； （3）若-2≤a≤-1，对任意 x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）| 恒成立，求实数 t 的最小值． 的 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 kx x x x x x k +∴ − = + − = + ( ) ( ) ( ) 22 1 2 2 22 22 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 22 2OAB kkS OF x x k kk k ∆ + −+∴ = ⋅ − = = = − ++ ++ + 2 1 2t k = + 10, 2t ∈ 22 2OABS t t∆∴ = − + ∴ 1 2t = ( )2 max 12 2 2t t− + = ( )max 2 2OABS∆∴ = OAB∆ 2 2 ( )( )0, 1M m m ≠ 0MA MBk k+ = l 1y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 2 kx x k + = − + 1 2 2 1 2x x k = − + ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0MA MB y m y m kx m kx m x xk k k mx x x x x x − − + − + − ++ = + = −∴ + = + = ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 02 1 k kk m k m k k mk − ++ − × = + − = − =+ − 2m∴ = ∴ y ( )0,2M l 0MA MBk k+ = ( ) ( )21 2f x lnx ax x a R= − + ∈ ( ) ( ) ( )1 2F x f x ag x= + 【答案】（1）f（x）极大值=f（1）=0，无极小值 （2）当 a≤0 时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当 a＞0 时，F（x）在 单调递增，在 单调递减 （3） ． 【解析】 【分析】 （1）当 a=2 时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求得 ，分 a≤0 和 a＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单 调区间； （3）把不等式转化为 f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]，得到 f（x2）+tg（x2）≤f （x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2 恒成立，令 ，得到 h （x）在[1，2]递减，求得 对任意 a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立， 进而转化变量只需要研究 ，即可求得 t 的取值范围. 【详解】（1）由题意，当 a=2 时，函数 f（x）=lnx-x2+x， 则 ． 易知 f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减， 所以函数 f（x）极大值为 ，无极小值． （2）由函数 ， 则 ． ①a≤0 时， ＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增； ②当 a＞0，由 ＞0 得 ， ＜0 得 ， 10 a ， 1 a + ∞ ， 11 4 ( )f x ( ) ( )2 1 1' ax a xF x x − + − += ( ) ( ) ( )h x f x tg x= + ( ) 1 1 2 0h x ax tx ′ = − + − ≤ ( ) 0maxH a ≤ ( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 1 0x xx xf x xx x − − +− + += =′ ＞ ( )1 0f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 31 02 2 2F x f x ag x lnx ax a x a x= + = − + − + ＞ ( ) ( )2 1 11' 1 ax a xF x ax ax x − + − += − + − = ( )'F x ( )'F x 10 x a ＜ ＜ ( )'F x 1x a ＞ 所以 F（x）在 单调递增，在 单调递减． 综上：当 a≤0 时，F（x）在（0，+∞）单调递增； 当 a＞0 时，F（x）在 单调递增，在 单调递减． （3）由题知 t≥0， ． 当-2≤a≤-1 时，f′（x）＞0，f（x） （0，+∞）单调递增，不妨设 1≤x1≤x2≤2， 又 g（x）单调递减，∴不等式等价于 f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]． 即 f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2 恒成立， 记 ，则 h（x）在[1，2]递减． 对任意 a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立． 令 ． 则 在[1，2]上恒成立， 则 ， 而 在[1，2]单调递增，∴ ，所以 ． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化 与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可 分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，考查运算求解能力，以及函数 与方程思想，是难题． 20.若一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“阿当数 列”． （1）若数列 为“阿当数列”，且 ， ， ，求实数m 的取值范围； （2）是否存在首项为 1 的等差数列 为“阿当数列”，且其前n 项和 满足 ？ 请证明你的结论； 在 10 a ， 1 a + ∞ ， 10 a ， 1 a + ∞ ， ( ) 2 1ax xf x x − + +′ = ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 32h x f x tg x lnx ax t x t= + = − + − + ( ) 1 1 2 0h x ax tx ′ = − + − ≤ ( ) [ ]1 1 2 2 1H a xa t ax = − + + − ∈ − −， ， ( ) 1( ) 2 2 1 2 0maxH a H x tx = − = + + − ≤ 12 1 2t x x − ≥ + 12y x x = + 1 9(2 ) 2maxx x + = 11 4t ≥ { }na 1 1 3a m = − 2 1a m = 3 4a = { }na nS 2 nS n n< + （3）已知等比数列 的每一项均为正整数，且 为“阿当数列”， ， ，当数列 不是“阿当数列”时，试判断数列 是否为“阿当数列”， 并说明理由． 【答案】（1） ；（2）不存在首项为 的等差数列 为“阿当数列”，详 见解析；（3）当 时，数列 是“阿当数列”；当 时，数列 不是“阿 当数列” 【解析】 【分析】 （1）由“阿当数列”定义可知 且 ，由此得到不等式，解不等式求得 范围； （2）假设存在满足题意的 ，则其公差 ，由等差数列求和公式可构造不等式，得到 ，由 知 ，与假设矛盾，故不存在满足题意的 ； （3）设 ，且每一项均为正整数，由“阿当数列”定义得 ，可知 ，从而得到数列 中， 为 最小项；同理得到数列 中， 为最小项；由最小项和 为正整数可确 定 ，从而求得 和 ，得到 或 ； ①当 时，令 ，可验证出 为递增数列；又 ，可知 为“阿当数列”； ②当 时，由通项公式知 为递减数列，则 ，可知 不是“阿 当数列”. 【详解】（1）由题意得： ， 即 ，解得： 或 { }na { }na 2 3n nb a= 5( 1) 2 n n n ac n −= + ⋅ { }nb { }nc ( ) 1,0 ,2 −∞ +∞ 1 { }na 14n na −= { }nc 13 2n na −= ⋅ { }nc 12 2− >a a 3 2 2a a− > m { }na 2>d 2 221 1 nd n n < = +− − 22 21n + >− 2≤d { }na 1 1 n na a q −= ( )1 1 2n n na qa a+ − = − > 1 0, 1a q> > { }( )1 2n na a n−− ≥ 2 1a a− { }( )1 2n nb nb −− ≥ 2 1b b− na ( )1 1 3− =a q 1a q 14n na −= 13 2n na −= ⋅ 14n na −= 1n n nd c c+= − { }nd 1 2 1 2d c c= − > { }nc 13 2n na −= ⋅ { }nc 2 1 0 2− <查看更多