广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 一、选择、填空题 ‎1、（广州市2018届高三4月综合测试（二模））已知函数e的图象在点处的切线过点，则 .‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知定义在上的可导函数满足，设，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．的大小与有关 ‎3、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、（广州市2019届高三3月综合测试（一））如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是 ‎5、（广州市2019届高三12月调研）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ．‎ ‎6、（惠州市2019届高三4月模拟）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知直线分别与直线、曲线交于点A、B，则线段AB长度的最小值为_____________．（其中常数，是自然对数的底数）‎ ‎8、（江门市 2019届普通高中高三调研）设函数，其中，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9、（揭阳市2019届高三学业水平考试）已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知函数 f (x) = (bx -1)ex + a ( a，bÎR ).若曲线 y = f ( x) 在点(0，f (0)) 处的切线方程为y = x， 则 a + b = ___________.‎ ‎11、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）‎ A. B. ‎1 C. D. ‎ ‎12、（湛江市2019届高三调研）曲线在点处的切线方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎13、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）定义在上的连续可导函数，若当时有，则下列各项正确的是(　　) ‎ A． B．‎ C． D．与大小不定 ‎14、（珠海市2019届高三上学期期末）曲线的图象在点 处的切线斜率为2，则实数的值为_______．‎ ‎15、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（　　）‎ A．﹣1　 B．‎1 ‎C．2 D．e ‎16、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知函数的图象在点处的切线过点，则.‎ ‎17、（韶关市2018届高三调研）设曲线在处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 参考答案：‎ 一、选择、填空题 ‎1、1　　2、B　　　3、D　　　4、B　　　5、‎ ‎6、答案：C 解析：∵函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值， ∴当时，；当时，；当时，．‎ ‎∴当时，；当时，；‎ 当或时，.故选：C．‎ ‎7、答案：‎ 解析：【解析1】，又，，‎ 令，，，再由单调性的变化可判断，即线段的最小值为，故答案为.‎ ‎【解析2】，设与平行的的切线的点为，‎ 则切线斜率为，,所以，，切线方程为，‎ 则线段长度的最小值就是被直线与切线截得的线段长，‎ 因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，得，‎ 线段的最小值为，故答案为.‎ ‎8、B　　　9、D　　　10、3‎ ‎11、C　　　12、A　　　13、C　　　14、－1　　　15、C ‎16、－5　　　17、B 二、解答题 ‎1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））已知函数．‎ ‎（1）若的极值为，求的值；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式对于任意成立，‎ 求正实数的取值范围．‎ ‎3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知函数 ‎（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；‎ ‎（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：.‎ ‎5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知函数，，其中 ‎（1）讨论函数与的图象的交点个数；‎ ‎（2）若函数与的图象无交点，设直线与的数和的图象分别交于点P，Q.证明：。‎ ‎6、（广州市2019届高三12月调研）已知函数e.‎ ‎（1）若e，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，记的最小值为，求证：．‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）令，若，函数有两个零点，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎8、（惠州市2019届高三第二次（10月）调研）已知函数（为实数）的图象在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求实数的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，且，‎ 证明：．‎ ‎9、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知函数（是自然对数的底数），，是常数且．‎ ‎（Ⅰ）若是曲线的一条切线，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在时恒成立，求的取值范围．‎ ‎10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）已知函数. ‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）求实数的值，使得是函数唯一的极值点．‎ ‎11、（雷州市2019届高三上学期期末）已知函数，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当 时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的切线斜率为k，证明：．‎ ‎12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知．‎ ‎（1）设是的极值点，求实数a的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）当a＞0时，求证：．‎ ‎13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知。‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围。‎ ‎14、（湛江市2019届高三调研）设函数（）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：．‎ ‎15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当时，求函数的零点个数．‎ ‎17、（珠海市2019届高三上学期期末）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调性；‎ ‎（2）当函数有两个不同零点时，设两个零点分别为，求证.‎ ‎18、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．‎ 参考答案：‎ 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、解：（1）函数的定义域为．‎ ‎．……1分 ‎① 若，则 ‎ 当或时，，单调递增；‎ ‎ 当时，，单调递减； ……3分 ‎②若，则当时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递增；……4分 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．……5分 ‎（2）原题等价于对任意，有成立，‎ 设，所以．………………6分 ‎ ‎． ‎ ‎ 令，得；令，得．‎ ‎∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，……………7分 为与中的较大者． ‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴ 在上单调递增，故，所以，‎ 从而． ……9分 ‎∴ 即．‎ 设，则．所以在上单调递增．‎ 又，所以的解为． ‎ ‎∵， ∴ 的取值范围为． ……12分 ‎3、.解：（1）函数的定义域为．‎ 当时，，所以．‎ ‎①当时，，时无零点．‎ ‎②当时，，所以在上单调递增， ‎ 取，则，‎ 因为，所以，此时函数恰有一个零点． ………………3分 ‎③当时，令，解得．‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增．‎ 要使函数有一个零点，则即． ‎ 综上所述，若函数恰有一个零点，则或． ………………6分 ‎（2）令，‎ 根据题意，当时，恒成立，又．………………8分 ‎①若，则时，恒成立，所以在上是增函数，‎ 且，所以不符题意．‎ ‎②若时，则时，恒成立，所以在上是增函数，‎ 且，所以不符题意．‎ ‎③当时，则时，恒有，故在上是减函数，‎ 于是“对任意都成立”的充要条件是，‎ 即，解得，故．‎ 综上，的取值范围是． ………………12分 ‎4、解：（1）∵，∴，解得， ……1分 ‎∴，故切点为， ……2分 所以曲线在处的切线方程为． ……3分 ‎（2），令，得．‎ 令，则，‎ 且当时，；当时，；时，．‎ 令，得，‎ 且当时，；当时，．‎ 故在递增，在递减，所以． ‎ 所以当时，有一个极值点；‎ ‎ 时，有两个极值点；‎ 当时，没有极值点．‎ 综上，的取值范围是． ……7分 ‎（方法不同，酌情给分）‎ 因为是的两个极值点，所以即…①‎ 不妨设，则，，‎ 因为在递减，且，所以，即…②．‎ 由①可得，即，‎ 由①，②得，所以． ……12分 ‎5、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6、（1）解：当时， ，的定义域是 ……1分 ‎， …………………………………2分 当时，；当时，． …………………………………3分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． …………………………4分 ‎（2）证明：由（1）得的定义域是，，‎ 令，则，在上单调递增，……………………5分 因为,‎ 所以，，‎ 故存在，使得． ………………………………6分 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增；‎ 故时，取得最小值，即, …………………8分 由得， ……………………9分 令，，则，‎ 当时，，单调递增， …………………………10分 当时，，单调递减，…………………………11分 故，即时，取最大值1，故． ………………12分 ‎7、【解析】（1）函数的定义域为…………1分 当时, ‎ ‎…………2分 令得，解得，‎ 令得，解得，…………3分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为………4分 ‎（2）， ‎ ‎…………5分 由得…………6分 ‎①当时，，函数在上单调递增，‎ 所以，即，函数在上没有零点。…………7分 ‎②当时，时，，时，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增…………8分 因为，…………9分 所以函数在有两个零点只需…………10分 解得…………11分 综上所述，实数a的取值范围为…………12分 ‎8、【解析】（1）由题得，函数的定义域为，， ‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以…………1分 解得.…………2分 令，得，‎ 当时， ， 在区间内单调递减；…………3分 当时， ， 在区间内单调递增. …………4分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.…………5分 ‎（2）法一：，‎ 当时，单调递减，当时，单调递增，‎ ‎ ………………7分 由，不妨设，，，……8分 由时，单调递增，欲证，即 只要证，又，即证，‎ 即要证 （或） ……9分 下证 令，即 ‎ 当时，单调递减， ………………11分 即当时，恒成立， ‎ 即，得证. ………………12分 法二：由（1）得， . ‎ 由，得，即.……6分 要证，需证，即证，…………7分 设，则要证，等价于证： .‎ 令，…………9分 则，…………10分 ‎∴在区间内单调递增， ,…………11分 即，故.…………12分 ‎9、（Ⅰ） ……1分 设为切点，依题意 ……3分 解得 ……4分 ‎（Ⅱ），等价于 ，‎ 等价于， ……5分 设，，则 ……7分 设，，‎ 则 ……8分 时，， ……10分 所以， ……11分 所以，当时，在时恒成立 ……12分 ‎10、解：（1），-----------------------------------------------------------------1分 令，得或，-----------------------------------------------------2分 由得，而不等式组的解集为-----------------------------3分 ‎∴函数的单调递减区间为；----------------------------------------------------------4分 ‎（2）依题意得，显然，---5分 记，，则，‎ 当时，；当时，；‎ 由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在上恒成立；----------7分 只须，因，‎ ‎①当时，，即函数在上单调递增，‎ 而，与题意不符； --------------------------------------------------------8分 ‎②当时，由，得，即在上单调递减，‎ 由，得，即在上单调递增，‎ 故， ------------------------------------------------------------------------10分 若，则，符合题意；------------------------------------11分 若，则，不合题意；‎ 综上所述，．----------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【或由，及，得，‎ ‎∴，解得． -----------------------------------------------------------------12分】‎ ‎11、解：（Ⅰ）函数的定义域为．…………………………………………………1分 ‎．…………………………………………………………………2分 当时，，故的递增区间为．‎ 当时，‎ 若，则，故的增区间为；‎ 若，则，故的减区间为；………………………4分 综上，当时，的增区间为，无减区间；‎ 当时，函数的增区间为，减区间为．……………5分 ‎（Ⅱ）当时，，．‎ 原不等式等价于，…………………………………………………7分 不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为：‎ ‎，令 原不等式等价于， ……………9分 下证该不等式成立．‎ 令，则，………………………………10分 故在为增函数，所以即成立，‎ 综上，原不等式成立．…………………………………………………12分 ‎12、‎ ‎13、解（1）……………… 1分 令，则，且在单调递增……………… 2分 若，即时，则；‎ ‎ 所以，，所以在上单调递增；……………… 3分 若，即时，存在唯一零点，……………… 4分 ‎ 则时；时； ‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增………………5 分 ‎（2）依题意有 令，则……………… 6分 则 令，则在上单调递增，且；…………… 7分 若，即时，，所以，‎ 所以在单调递增，且，所以成立；………………9 分 若，即时，由于 ‎ 所以，‎ 又因为在上单调递增，所以存在唯一零点，使 时，时，‎ 所以在单调递减，在单调递增，又因为 所以时，不满足条件。………………11 分 综上知实数的取值范围是……………… 12分 ‎14、解：（Ⅰ）显然的定义域为．…………………………………………………1分 ‎ ．………3分 ‎ ∵，，‎ ‎ ∴若，，此时，在上单调递减；‎ ‎ 若，，此时，在上单调递增；‎ ‎ 综上所述：在上单调递减，在上单调递增．…………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，‎ ‎ 即：． ………………………………………………………6分 ‎ 要证，即证明，即证明，‎ ‎ 令，则只需证明，……8分 ‎ ∵，且，‎ ‎ ∴当，，此时，在上单调递减；‎ ‎ 当，，此时，在上单调递增，‎ ‎ ∴． ………………………11分 ‎ ∴．‎ ‎ ∴． ……………………………………………………………………12分 ‎15、解：（1）, …………1分 若，，在上单调递减； …………2分 若，当时，，即在上单调递减， …………3分 当时，，即在上单调递增. …………4分 ‎（2）若，在上单调递减，‎ 至多一个零点，不符合题意. …………5分 若，由（1）可知，的最小值为 …………6分 令，，所以在上单调递增，‎ 又，当时，，至多一个零点，不符合题意，‎ 当时， …………9分 又因为，结合单调性可知在有一个零点 ‎ …………10分 令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以 当时，‎ 结合单调性可知在有一个零点 综上所述，若有两个零点，的范围是 …………12分 ‎16、解：的定义域为．‎ ‎(1) ，‎ ‎①当时，，故在上单调递增；‎ ‎②当时，令，则，‎ 在上，，单调递增，‎ 在上，，单调递减．‎ 综上所述：当时， 在上单调递增；当时，在上递增，在上递减．……………………………5分 ‎(2) 由(1)可知，当时，在上递增，在上递减．‎ 故，‎ ‎①当，即时，，‎ 此时函数没有零点．‎ ‎②当，即时，，‎ 此时函数有一个零点．‎ ‎③当，即时，，‎ 令且，则，，‎ 故，故在有一个零点；‎ 再者，，‎ 令，则；再令，‎ 则，故在上单调递减，‎ 故，．‎ 故，故在上有一个零点．‎ 故在上有两个零点．‎ 综上所述：当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．………………………………………12分 ‎17、解：（1）定义域为，——————1分 若，则，此时在为单调减函数；———————2分 若　　当，，此时在为单调增函数；‎ 当，，此时在为单调减函数。————4分 ‎（2）设函数有两个不同零点为，且 由（1）知则必有：，且————————5分 设 ‎ ‎ 所以在为单调增函数————————————————7分 由，‎ 又因为，所以———————9分 由得————————————————10分 因为，得，得，由（1）知当若 在为单调减函数所以，即证得成立。———————————12分 ‎18、‎ ‎ ‎