上海市四校（闵行外国语学校莘庄中学嘉定二中朱家角中学）2020届高三上学期期中考试数学试题
上海市四校 2019 学年度第一学期期中考试
高三数学
考生注意：
1．本试卷共 21 道试题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．
2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条
码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分．
1.函数 cos2y x 的最小正周期为__ __．
【答案】
【解析】
试题分析：根据三角函数周期公式 2 2
2T
考点：正余弦函数的周期公式
2.设U R ， { | 0}A x x ， | 2 2xB x ，则 A B ________.
【答案】 (0,1)
【解析】
【分析】
先根据指数函数的性质求出集合 B，再进行集合运算即可．
【详解】由 ( ) 2xf x 在 R 上为增函数，所以 12 2 2 2 1x x x ，
∴ | 2 2xB x ＝{x|x<1}，
∴ A B (0,1) ，
故答案为： (0,1) ．
【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题．
3.不等式 71 02 1x
的解集是________.
【答案】 1| 42x x
【解析】
【分析】
原不等式即为 2 8 0
2 1 0
x
x
＜ 或 2 8 0
2 1 0
x
x
＞ ，分别解出，再求交集即可．
【详解】不等式 1 7
2 1x
0
即为 2 8
2 1
x
x
0，
即为 2 8 0
2 1 0
x
x
＜ 或 2 8 0
2 1 0
x
x
＞ ，
即有 x∈∅ 或 1
2
＜x 4，
则解集为 1| 42x x
．
故答案为： 1| 42x x
．
【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于
基础题．
4.命题 A：|x－1|＜3，命题 B：(x＋2)(x＋a)＜0；若 A 是 B 的充分而不必要条件，则实数 a
的取值范围是 .
【答案】(－∞,－4)
【解析】
【详解】对于命题 A：∵|x－1|＜3，∴-2
4,即实数 a 的取值范围是(－∞,－4)
5.己知 1( )y f x 是函数 3( )f x x a 的反函数，且 1(2) 1f .则实数 a ________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由 y＝f﹣1（x）是函数 y＝x3+a 的反函数且 f﹣1（2）＝1 知 2＝13+a，从而解得．
【详解】∵f﹣1（2）＝1，
∴2＝13+a，
解得，a＝1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用，属于基础题．
6.已知 1cos 4
，且 3 ,22
，则 cos 2
________.
【答案】 15
4
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可．
【 详 解 】 ∵ 3 ,22
第 四 象 限 角 ， 1cos 4
， ∴ 15sin 4
，
cos sin2
15
4
故答案为： 15
4
.
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
7.在 ABC 中角 、 、A B C 所对的边分别为 a b c、 、 ，若 75 , 60 , 3A B b 则
c ___________
【答案】 2
【解析】
, ；由正弦定理，得 ，解得 .
考点：正弦定理.
8.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 的终边与圆心在原点的单位
圆（半径为 1 的圆）交于第二象限内的点 4( , )5AA x ，则sin 2 ＝ ．（用数值表示）
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得 ，
从而由三角函数的定义可知 ，
从而sin 2 ＝ ．
故答案为： ．
考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．
9.定义在 R 上的偶函数 y f x 在 0 ， 为单调递增，则不等式 2 1 3f x f ＜ 的解集
是_________.
【答案】 | 1 2x x
【解析】
【分析】
由偶函数的性质 ( )xf x f f x ，再结合函数的单调性可得 2 1 3x ，再解绝对值
不等式即可得解.
【详解】解：因为函数 y f x 为定义在 R 上的偶函数，则由 2 1 3f x f ＜ 可得
( 2 1) (3)f x f ，又函数 y f x 在 0 ， 为单调递增，则 2 1 3x ，解得 1 2x ，
故不等式的解集是： | 1 2x x .
【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，
属基础题.
10.设数列{ }na 的前 n 项和 nS ，若 1 1a ， *
1
1 02n nS a n N ，则{ }na 的通项公式为
_____．
【答案】 2
1, 1
2 3 , 2n n
na n
【解析】
【分析】
已知 nS 求 na ，通常分 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n
进行求解即可。
【详解】 2n 时， 1 1
1 1
2 2n n n n na S S a a ，化为： 1 3n na a ．
1n 时， 1 2
11 2a a ，解得 2 2a ．不满足上式．
∴数列 na 在 2n 时成等比数列．
∴ 2n 时， 22 3n
na ．
∴ 2
1, 1
2 3 , 2n n
s
na n
．
故答案为： 2
1, 1
2 3 , 2n n
na n
．
【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配
凑法、累乘法等。
11.函数 1( ) 2sin 2 tan cotsin 2f x x x xx
， 0, 2x
的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
用三角函数的恒等变换化简 f（x），结合基本不等式求出 f（x）的最值即可.
【详解】 1( ) 2sin 2 tan cotsin 2f x x x xx
34sin cos 2 62sin cosx x x x
此时 6sin cos 4x x 时取等，
但 2 2 1 62sin cos sin cos 1,sin cos 2 4x x x x x x ，所以，当 1sin cos 2x x 时，有最
小值为 5，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是
综合性题目．
12.若关于 x 的不等式 23 3 44a x x b 的解集恰好是[ ],a b ，则 a b ．
【答案】4
【解析】
【详解】试题分析： 设 23 3 44f x x x ，对称轴为 2x ，此时 min 1f x ，有题意
可得; 1a ,且 ,f a f b b a b ，由 23 3 44f b b b b b ，解得： 4
3b （舍
去）或 4b ，可得 4b ，由抛物线的对称轴为 2x 得到 0a ，所以 4a b
考点：二次函数的性质
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13.“ tan 1x ”是“ 24x k k Z ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程 tan 1x ，得出 x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“ tan 1x ”是
“ 24x k k Z ”的必要非充分条件关系.
【详解】解方程 tan 1x ，得 4x k k Z ，
因此，“ tan 1x ”是“ 24x k k Z ”的必要非充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可
以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.
14.下列函数是在 (0,1) 为减函数的是（ ）
A. lgy x B. 2xy C. cosy x D.
1
2 1
y x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．
【详解】对数函数，底数大于 1 时，在 0x 上增函数，不满足题意；
指数函数，底数大于 1 时，在 0x 上增函数，不满足题意；
余弦函数，从最高点往下走，即 [0, ]x 上为减函数；
反比例型函数，在 1( , )2
与 1( , )2
上分别为减函数，不满足题意；
故选：C.
【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图
象性质是关键．
15.已知函数 2 4f x x x ， ,5x m 的值域是 5,4 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. , 1 B. 1,2
C. 1,2 D. 2,5
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定二次函数对称轴为 2x ，代入 f x 得 2 =4f ，再结合定义域和函数图像的对称性可
求得 m 的取值范围
【详解】
如图，二次函数对称轴为 2x ，代入 f x 得 2 =4f ，当 5x 时， 5 5f ，由二次函数
的对称性可知， 1 5f ， ,5x m 的值域是 5,4 ，所以 [ ]1,2m Î -
故选：C
【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围，二次函数对称性问题，是基础题
型，常规求解思路为：先确定对称轴，再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间
16.设 1 sin 25n
na n
， 1 2n nS a a a ，在 1 2 100,S S S 中正数的个数是( )
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】
由于 sin 25
nf n 的周期 50T ，由正弦函数性质可知， 1a ， 2a ，…， 24 0a ， 26a ， 27a ，…，
49 0a ， 1f n n
单调递减， 25 0a ， 26a … 50a 都为负数，但是 26 1a a ， 27 2a a ，…，
49 24a a ，从而可判断 1 50,S S 的符号，同理可判断 1 100,S S 的符号.
【详解】由于 sin 25
nf n 的周期 50T ，
由正弦函数性质可知 1a ， 2a ，…， 24 0a ， 25 0a ， 26a ， 27a ，…， 49 0a ， 50 0a
且 26sin sin25 25
， 27 2sin sin25 25
…
但是 1f n n
单调递减， 26 49a a 都为负数，但是 26 1a a ， 27 2a a ，…， 49 24a a
∴ 1S ， 2S ，…， 25S 中都为正，且 26S ， 27S ，…， 50S 都为正，
同理 1S ， 2S ，…， 75S 都为正，且 75S ，…， 100S 都为正，即个数为 100，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数
性质的灵活应用，属于中档题.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 16 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤．
17.已知 2( ) 4f x x x .
（1）解关于 x 的不等式：| ( ) | 12f x .
（2）已知 2| 2 0A x x ax a ， { | ( ) 0}B x f x ， A B ，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） [ 6,2]x ；（2） [0,8]a
【解析】
【分析】
（1）先将绝对值去掉，转化为两个一元二次不等式，解出后取并集即可.
（2）先化简集合 B，由 A B 分 A 、 {0}A 、 { 4}A 、 {0, 4}A 四种情况分别求
解 a 即可.
【详解】（1）∵| ( ) | 12f x 即 2 4 12x x ，
∴ 2 4 12x x ，或 2 4 12x x
由 2 4 12x x ，即 2 4 12 0x x ，得
( , 6] [2, )x
由 2 4 12x x ，即 2 4 12 0x x
∵ 16 48 0 ，∴ xR ；
综上， ( , 6] [2, )x .
（2）∵ A B ，∴A 是 B 的子集；
由 2 4 0x x ，解得 0x ，或 4x ；∴ { 4,0}B
（i）当 A 时， 2 8 0a a ，解得 (0,8)a
（ii） {0}A 时，可知， 20 0 2 0a a ，得： 0a
检验： 0a ， 2 0x ，可得 0x ，满足题意；
（iii） { 4}A 时，可知， 2( 4) ( 4) 2 0a a ，解得： 8a
检验： 8a ， 2 8 16 0x x ，解得， 4x ，符合题意；
（iv） {0, 4}A 时，由韦达定理可知， 4a 且 2 0a ，无解；
综上， [0,8]a
【点睛】本题考查了集合的基本关系，二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础
题.
18.设 ABC△ 的三个内角 A，B，C 的对均分别为 a，b，c.满足：
sin3cos
a b
BA
（1）求角 A 的大小；
（2）若 2 22sin 2sin 12 2
B C ，试判断 ABC△ 的形状，并说明理由.
【答案】（1） A 3
；（2） ABC 为等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，可得 tanA 3 ，从而可求 A 的大小；
（2）利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状．
【详解】（1）由正弦定理进行边角互化：
sin sin tan 3sin sin3cos 3cos
a b A B AB BA A
，又 (0, )A ∴
3A
（2）∵ 2 22 2 12 2
B Csin sin ，
∴1﹣cosB+1﹣cosC＝1，
∴cosB+cosC＝1，
∴cosB+cos（120°﹣B）＝1，
∴cosB 1
2
cosB 3
2
sinB＝1，
∴ 1
2
cosB 3
2
sinB＝1，
∴sin（B+30°）＝1，
∴B＝60°，
∴C＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．
【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍
角公式是关键．
19.我国某公司预估生产某款 5G 手机的每年固定成本为 40 万元，每生产 1 只还需另投入 16
元，设公司一年内共生产该款 5G 手机 x 万只并全部销售完，每万只的的售收入为 ( )R x 万元，
且
2
400 6 , 0 40
( ) 7400 40000 , 40
x x
R x
xx x
（1）写出年利润 y（万元）关于年产量 x（万只）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，公司一年内所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
26 384 40,0 40
40000 16 7360, 40
x x x
y
x xx
；（2）年产量 32 万只， max 6104y 万元
【解析】
【分析】
（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．
【详解】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当 0 40x 时， 2( ) (16 40) 6 384 40y xR x x x x ，
当 40x 时， 40000( ) (16 40) 16 7360y xR x x xx
，
26 384 40, 0 40
40000 16 7360, 40
x x x
y
x xx
；
（2）当 0 40x 时， 2 26 384 40 6( 32) 6104y x x x ，
∴ 32x 时， max 6104y ；
当 40x 时， 40000 4000016 7360 2 16 7360 5760y x xx x
，
当且仅当 40000 16xx
，即 50x 时， max 5760y
6104 5760
32x 时，W 的最大值为 6104 万美元．
【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算
能力，属于中档题．
20.已知数列 na 是公差不为 0 的等差数列， 1
3
2a ，数列 nb 是等比数列，且 1 1b a ，
2 3b a ， 3 4b a ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ．
（1）求数列 nb 的通项公式；
（2）设 , 5
8 , 6
n
n
n
b nc a n
，求 nc 的前 n 项和 nT ；
（3）若 1
n
n
A S BS
对 *nN 恒成立，求 B A 的最小值．
【答案】（1） 13 2
n
nb
；（2）
2
11 , 52
6 54 87 , 632
n
n
n
T
n n n
；（3）17
12
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q，根据 1 1b a ， 2 3b a ， 3 4b a ，
列方程组解方程组可得；
（2）分 5n 和 6n 讨论，求 nT ；
（3）令 1
n
n
t SS ，由单调性可得 min max
7 5,12 6tt ，由题意可得 7 5, [ , ]12 6 A B
，
易得 B A 的最小值．
【详解】解：（1）设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q，
则由题意可得
2
3 322 2
3 332 2
d q
d q
，解得
1
2
3
8
q
d
或 1
0
q
d
，
∵数列 na 是公差不为 0 的等差数列， 1
2q ，
∴数列 nb 的通项公式 13 2
n
nb
；
（2）由（1）知 3 3 15 3( 1)( )2 8 8n
na n ，
当 5n 时，
1 2
3 112 2 111 21 2
n
n
n nT b b b
，
当 6n 时，
5 6 7n nT T a a a
5 2
6
3 15 3( )( 5)( )( 5)1 33 6 54 878 81 2 2 32 2 32
n
n na a n n n
，
综合得：
2
11 , 52
6 54 87 , 632
n
n
n
T
n n n
（3）由（1）可知
3 112 2 111 21 2
n
n
nS
，
令 1
n
n
t SS ， 0nS ，∴t 随着 nS 的增大而增大，
当 n 为奇数时， 11 2
n
nS
在奇数集上单调递减， 3 51, , 0,2 6n tS
，
当 n 为偶数时， 11 2
n
nS
在偶数集上单调递增， 3 7,1 , ,04 12nS t
，
min max
7 5,12 6t t ，
1
n
n
A S BS
对 *nN 恒成立，
7 5, [ , ]12 6 A B
，
∴ B A 的最小值为 5 7 17
6 12 12
．
【点睛】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论
的思想，属中档题
21.已知函数 1( ) log 1a
mxf x x
是奇函数（其中 1a ）
（1）求实数 m 的值；
（2）已知关于 x 的方程 log ( )( 1)(7 )a
k f xx x
在区间[2,6] 上有实数解，求实数 k 的取值
范围；
（3）当 ( , 2 2)x n a 时， ( )f x 的值域是 (1, ) ，求实数 n 与 a 的值.
【答案】（1） 1m ；（2） 49 ,455k
；（3） 1n ， 3 2a .
【解析】
【分析】
（1）由 f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），结合对数的真数大于 0 求出 m 的值；
（2）由题意问题转化为求函数
2(1 ) (7 )
1
x xy x
在 x∈[2，6]上的值域，求导判断出单调性，
进而求得值域，可得 k 的范围．
（3）先判定函数的单调性，进而由 x 2 2n a ， 时，f（x）的值域为（1，+∞），根据
函数的单调性得出 n 与 a 的方程，从而求出 n、a 的值．
【详解】（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴loga
1
1
mx
x
loga
1
1
mx
x
loga
1
1
x
mx
，
∴ 1 1
1 1
mx x
x mx
，
即 1﹣m2x2＝1﹣x2 对一切 x∈D 都成立，
∴m2＝1，m＝±1，
由于 1
1
mx
x
＞0，∴m＝﹣1；
（2）由（1）得， 1( ) log 1a
xf x x
，∴ 1log log( 1)(7 ) 1a a
k x
x x x
即
21 (1 ) (7 )
( 1)(7 ) 1 1
k x x xkx x x x
，令
2(1 ) (7 )
1
x xy x
，
则 2
2 2
2 0( 1) ( 1)
2 10 20 2( 5 10)y x
x
x
x x x
，
∴
2(1 ) (7 )
1
x xy x
在区间[2,6] 上单调递减，当 6x 时， min
49
5y ；当 2x 时，
max
45
2y ；所以， 49 ,455k
.
（3）由（1）得， 1( ) log 1a
xf x x
，且 ( , 1) (1, )x
∵1 211 1
x
x x
在 ( , 1)x 与 (1, ) 上单调递减
∵x∈（n，a﹣2 2 ），定义域 D＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
①当 n≥1 时，则 1≤n＜a﹣2 2 ，即 a＞1+2 2 ，
∴f（x）在（n，a﹣2 2 ）上为减函数，值域为（1，+∞），
∴f（a﹣2 2 ）＝1，
即1 2 2
2 2 1
a
a
a，
∴a 2 3，或 a 2 1（不合题意，舍去），且 n＝1；
②当 n＜1 时，则（n，a﹣2 2 ）⊆（﹣∞，﹣1），
∴n＜a﹣2 2 ＜ 1，
即 a＜2 2 1，
且 f（x）在（n，a﹣2 2 ）上的值域是（1，+∞）；
∴f（a﹣2 2 ）＝1，
即1 2 2
2 2 1
a
a
a，
解得 a 2 3（不合题意，舍去），或 a 2 1；
此时 n＝﹣1（舍去）；
综上，a 2 3，n＝1．
【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根，不等式以及单调性与奇偶性的综合运
用，涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用，属中档题．
