河南省2020届高三上学期阶段性考试（四）数学（理）试题

河南省2020届高三上学期阶段性考试（四）数学（理）试题

‎2019～2020年度河南省高三阶段性考试（四）‎ 数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷共150分. 考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上。‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修4一4，4—5）。‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，然后利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】解不等式，得，则.‎ 解不等式，得，解得，则.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了一元二次不等式与指数不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.欧拉公式 （是自然对数的底数，是虚数单位）是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据欧拉公式和复数的乘法法则可计算出.‎ ‎【详解】根据欧拉公式和复数的乘法法则得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，解题的关键就是利用欧拉公式将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、、三个数与和的大小关系，从而可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数是增函数，则；‎ 对数函数是减函数，则；‎ 指数函数为增函数，则，且.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎4.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.‎ ‎【详解】由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的定义域、奇偶性以及函数在和上的函数值符号，可得出正确选项.‎ ‎【详解】自变量满足，解得且，‎ 则函数定义域为.‎ ‎，则函数为奇函数，‎ 当时，，，当时，，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调查，经调查，高一年级名一线科任教师好评率为，高二年级名一线科任教师好评率为，高三年级名一线科任教师好评率为.依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出高中三个年级好评率的教师总数，再除以高中部一线科任教师总数即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，该中学高中部一线科任教师好评率为，‎ 因此，该中学高中部一线科任教师的好评率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知平面上两个力的合力的大小为，其中的大小为，若与垂直，则夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用模与垂直的条件建立与cos的方程，解出即可.‎ ‎【详解】设的夹角为，‎ 因为，所以，所以. 又因为， ‎ 所以，解得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的物理意义，考查了垂直的向量表示，向量模及夹角的基本运算，属于基础题.‎ ‎8.斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得为的中点，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，由平面几何知识得到三角形相似，通过相似可以建立a，b的等量关系，由此求得结果.‎ ‎【详解】如图，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，. ‎ 因为，所以为的中点. 因为，所以 ‎，所以. 设，因为的斜率为，所以，所以，所以，所以，即，所以离心率. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质的应用，涉及平面几何知识，属于基础题.‎ ‎9.已知点，如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动至点落到轴上停止，设顶点的运动轨迹与轴及直线所围成的区域为，若在平面区域内任意取一点，则点恰好落在区域内部的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出P点运动的轨迹，找出区域M，利用几何概型求解概率即可.‎ ‎【详解】P点首先围绕点运动个圆到达，该圆的半径为1，‎ 然后以点为圆心，以的长为半径运动个圆到达，此时点落地，‎ 再以为圆心，半径为1，运动个圆，点落到轴的， 最终区域如图：‎ 其面积为，‎ 则所求概率，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题以动点运动轨迹为载体，考查了几何概型，作出区域M是关键，属于中档题.‎ ‎10.在中，角、、的对边分别为、、，若，，点是的重心，且，则（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出，可得出或，然后由点是的重心，得出，两边平方后化简得出，然后分或两种情况讨论，求出的值，由余弦定理可求出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 整理得，解得或（舍去）.‎ 或.‎ 又点是的重心，则，‎ 等式两边平方得，‎ ‎，，，整理得.‎ ‎①当时，则有，解得，‎ 由余弦定理得，则；‎ ‎②当时，则有，解得，‎ 由余弦定理得，则.‎ 因此，或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.已知是边长为4的正三角形，点是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知底面是直角三角形，且球心在中点的正上方，利用题中数据及垂径定理建立关于R与D的方程组，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图将沿将折起得到三棱锥，‎ 在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，设底面外接圆的圆心为，可知在的中点处，其半径. ‎ 设三棱锥外接球的球心为，半径为，则球心在的中点的正上方，由题意及二面角的定义可知二面角的平面角即为，所以点到底面的距离为，且点在底面的射影为的中点，所以. ‎ 设=，则，且，解得，，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体问题，找到球心并利用垂径定理是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在上有且仅有7个零点，下述四个结论：‎ ‎①；②在上有且仅有4个极大值点；‎ ‎③；④在上单调递增. ‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到与，利用两式可求解，再由在上有且仅有7个零点求解，作出简图，依次看选项得出结论.‎ ‎【详解】由题意得到与，‎ 可得 由①+2×②，得，，‎ 由②-①，得. ‎ ‎∵，∴，，即，. ‎ ‎∵在上有且仅有7个零点，∴，，故③错误；‎ 所以. ‎ 作出的图象，如图所示，‎ 可知在上有且仅有3个极小值点，4个极大值点. ‎ ‎∵当时，，∴在上单调递增.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数的对称性与图像的应用，考查了正弦函数的单调性、极值，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于中档题.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. ‎ ‎13.若，则__________（用数字作答）.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为7，求出a7．‎ ‎【详解】∵（x +2）8展开式的通项为Tr+1＝C8r2rx8﹣r，‎ 令8-r＝7得r＝1，∴a7＝C8121＝16，‎ 故答案为：16.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的系数问题，属于基础题.‎ ‎14.首项为的等差数列中，、、成等比数列，则的前项和为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出数列的前项的和.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，‎ 所以，，，‎ 整理得，解得或.‎ 当时，，舍去；‎ 所以，，因此，数列的前项的和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列求和公式的应用，一般要结合已知条件列出有关首项和公差的方程（组），求出等差数列的首项和公差，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.若函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求得的定义域，得到，再求导求得在上单调递减，利用，列出不等式，求解a即可.‎ ‎【详解】的定义域为，所以，解得. ‎ 依题意知，若，解得. ‎ 所以在上单调递减. 所以，‎ 即，且，解得. ‎ 综上，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调性问题，考查了集合的包含关系，属于中档题.‎ ‎16.已知点是椭圆上的动点，分别是椭圆长轴的两个端点，直线分别与直线交于，那么的最小值为__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用在椭圆上，求得直线、的斜率之积为定值，即为定值，得到，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】如图，设，则直线的斜率，的斜率，‎ 故. 将代入上式，‎ 得. ‎ 设，，则，所以. ‎ 不妨设，，所以. ‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质的应用，考查了计算能力，找到定值是关键，属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知首项为的等比数列的前项和为. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得 ‎，‎ 解得或，因此，或；‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.在中，角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边角互化思想得出，，再由，利用两角和的正切公式结合已知条件求出，再对的值进行分类讨论，可得出角的值；‎ ‎（2）由、的值可求出、的值，并利用正弦定理求出、的值，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】（1），由正弦定理得，‎ ‎，，.‎ 在中，，‎ ‎，可得，.‎ 当时，，，‎ 则角、、均为钝角，不合乎题意，舍去.‎ ‎，因此，；‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ ‎，同理可得，‎ ‎，，所以，，.‎ 由正弦定理得，解得，，‎ 因此，的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形元素类型合理选择正弦、余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实自己. 甲同学调査了自己班上的50名同学学习选修课的情况，并作出如下表格：‎ 每人选择选修课科数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎（1）求甲同学班上人均学习选修课科数；‎ ‎（2）现从学习选修课科数为5，6的同学中抽出三名同学，求这三名同学中恰有一名是学习选修课科数为6的概率；‎ ‎（3）甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上8:00，已知甲同学每次上课都会在7:00到7:40之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在7:20到8:00之间的任意时刻到达教室，求连续3天内，甲同学比乙同学早到教室的天数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)3.14. (2) ；(3)分布列见解析，数学期望 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由平均数公式计算即可.‎ ‎（2）利用古典概型概率公式求解.‎ ‎（3）由题意列出关于x，y的不等式组，利用几何概型求得在一天中甲同学比乙同学早到教室的概率，由题意知，由此求得分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（1）设甲同学班上人均学习选修课科数为，根据表格可得 ‎，‎ 即甲同学的班上平均每人学习选修课科数是3.14. ‎ ‎（2）根据表格可知，学习选修课科数为5的同学有5人，为6的同学有2人，共有7人，‎ 即. ‎ ‎（3）设甲同学和乙同学到达教室的时间分别为，，可以看成平面中的点，‎ 则全部结果所构成的区域为，所以.‎ 用表示事件“甲同学比乙同学早到教室”，该事件所构成的平面区域为 ‎，即. ‎ 故.‎ 将连续3天内甲同学比乙同学早到教室的天数记为，则可能的取值为0，1，2，3 ‎ ‎，‎ ‎，， ‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 因为，‎ 所以数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型、几何概型的实际应用，考查了离散型随机变量的分布列及期望问题，考查了知识综合运用能力与逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面，，，，点为的中点. ‎ ‎（1）证明:平面. ‎ ‎（2）若平面与平面所成锐二面角为，求.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）延长，交于点，连接，利用余弦定理可得为的中点，由中位线可得,利用线面平行的判定定理可得平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，求得两个平面的法向量，利用二面角为列出 ‎，求解t即可.‎ ‎【详解】（1）如图，延长，交于点，连接.‎ 因为，，，‎ 所以在中，，，.‎ 在中，，，.‎ 由余弦定理可得 解得或（舍去），‎ 所以为的中点. ‎ 又因为点为的中点，‎ 所以为的中位线，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，则 令，则，，得.‎ 设平面的法向量为，则 令，则，，得.‎ 所以，得，即.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了向量法求解二面角的应用，属于中档题.‎ ‎21.是圆外一动点，到圆上点的最短距离等于到直线的距离.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点是直线上的动点，过点引曲线的两条切线，两条切线分别与轴交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点.‎ ‎【答案】(1) .(2) 证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由题意得到，去绝对值整理得到的轨迹的方程.‎ ‎（2）设直线为，与抛物线联立，求得，，写出以为直径的圆，令，解得，得到定点坐标.‎ ‎【详解】（1）设，到圆的最短距离，‎ 则有，整理得.‎ 当时，不满足在圆外，舍去；‎ 当时，. ‎ 综上所述，的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设，将过点且与曲线相切的直线设为，‎ 联立方程得 整理得，则.‎ 记关于的方程的两个解为，，则，.‎ 将代入，得，，‎ 则以为直径的圆的圆心为，半径为.‎ 将方程化简得，‎ 令，解得，故以为直径的圆恒过定点和.‎ ‎【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，考查了韦达定理的应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线斜率为，证明:.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导函数，分当和，求解和的x的范围，得到的单调性；‎ ‎（2）先证明，再构造函数证明，从而可证明结论.‎ ‎【详解】（1）.‎ 当时，恒成立，所以在上单调递增；‎ 当时，令，则或，‎ 令，则.‎ 所以在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ ‎（2）由，解得，所以.‎ 令，，则.‎ 令，得；令，得.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，‎ 所以恒成立，即.‎ 设，令，‎ 则. 当时，恒成立，所以，‎ 所以，即；当时，；‎ 当时，恒成立，所以，所以，‎ 即 综上，，即 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明方法，是一道中档题．‎ ‎ ‎