2017-2018学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，焦点在y轴负半轴上，所以焦点坐标为，故选A. ‎ ‎2．命题p:“”,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题p:“”,‎ 则为： ‎ 故选D.‎ ‎3．如图所示,三棱锥O—ABC中, ,且，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ ‎4．已知命题“若，则”，则此命题的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题“若x≥3,则”的逆命题为命题“若,则”为假命题；‎ 否命题为“若,则”为假命题；逆否命题为“若,则”为真命题.‎ 故选B.‎ ‎5．已知、是两个不同的平面， 、是两条不同的直线，下列命题中错误的是（ ）‎ A. 若， ， ，则 B. 若， ， ，则 C. 若， ， ，则 D. 若， ， ， ，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于选项C,两个平面平行，不能推出两个平面内的任意两条直线平行，因为直线也可以是异面直线，故C错误，选C.‎ ‎6．“， ”是“曲线为双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】， 时，原方程为表示焦点在x轴上的双曲线，当曲线为双曲线时，可得，推不出， ，故“， ”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件，选A. ‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.‎ 故答案为B.‎ ‎8．已知， 是关于的方程（为常数）的两个不相等的实根，则过两点， 的直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相离 ‎【答案】C ‎【解析】方程有两个不相等的实根，则，得，‎ 由韦达定理可知： ，直线： ，‎ 即， ，‎ 所以，所以直线和圆是相离关系。故选C。‎ ‎9．已知双曲线： 上任意一点为，则到双曲线的两条渐近线距离之积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】渐近线方程为： ，设点，‎ 则，所以，故选B。‎ ‎10．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】补全为长方体，如图，则,所以，故外接球得表面积为.‎ ‎11．如果圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为到点的距离为2的点的轨迹是圆，所以题目套件等价于圆与圆相交，从而，即，解得实数的取值范围是.‎ ‎12．已知棱长为4的正方体， 是正方形所在平面内一动点，点， 满足， ，若点到直线与直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】因为， ，且正方体的棱长为4，所以，故点到直线距离，即为点到点距离，于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”。在平面内，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，设点的坐标为，则依据题意可得，化简可得，故动点的轨迹是椭圆。故选B。‎ 点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题。本题中利用空间直角坐标系来辅助解题。首先分析题目的几何意义，得到条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”，建立空间直角坐标系，设点的坐标为，根据题意得，化简得到轨迹为椭圆。‎ 二、填空题 ‎13．已知向量， ，则__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为，所以，故填5. ‎ ‎14．已知正四棱锥所有棱长均为2，若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接AC，取中点O，连接OE，OB，所以∠OEB就是异面直线BE与SA的所成角，‎ ‎，所以∠EOB=90°，所以tan∠OEB=。‎ ‎15．已知抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K，若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意，可知F是AB中点，且FB=FK=FA=AK=2，所以，即。‎ ‎16．椭圆的右焦点为F(c,0),上下顶点分别为A、B，直线AF交椭圆于另一点P，若PB的斜率为,则椭圆的离心率e=_______。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】直线，即，联立椭圆方程解得： ，‎ 所以，所以，解得离心率。‎ 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。通过分析，本题只需求出点P坐标，再进行斜率计算即可得到离心率的关系。所以本题只需联立直线和椭圆方程，求出点P坐标即可，之后保证计算的准确率即可。‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：直线： 和直线： 平行，命题：函数的值可以取遍所有正实数．‎ ‎（1）若为真命题，求实数的值；‎ ‎（2）若命题， 均为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：I）显然当，直线不平行，由斜率存在的两条直线平行的充要条件可得 ‎，即可得到实数a的值；‎ ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，由此解得实数的取值范围.‎ 试题解析：（I）显然当，直线不平行，‎ 所以， ，‎ 因为为真命题，所以，解得，或 ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，解得，或，‎ 故实数的取值范围是 ‎18．一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点， ， ， 分别在棱， ， ， 上，水面恰好过点， ， ， ，且．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若底面水平放置时，求水面的高．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，由面面平行性质得．（2）当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．‎ ‎（1）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以．‎ ‎（2）解；当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，‎ 其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.‎ 由（I）可得，又，‎ 所以.‎ 当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，‎ 所以，即，‎ 解得.‎ ‎19．已知椭圆： 的左、右焦点分别为、‎ ‎，焦距为2，过点作直线交椭圆于、两点， 的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求弦长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的定义及焦距可求得a,c,从而写出椭圆的方程；（2）直线的方程为，联立消元得，则，代入弦长公式即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为焦距为2，所以，即.‎ 又因为的周长为，结合椭圆定义可得，所以.‎ 所以，于是椭圆的方程. ‎ ‎（2）因为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消去y可得.‎ 设，则，‎ 所以. ‎ 点睛：圆锥曲线与直线相交求弦长问题，一般要用到弦长公式 或.‎ ‎20．已知四棱锥中，底面为直角梯形， 平面，侧面是等腰直角三角形， ， ，点是棱的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】，试题分析：（1）取AC的中点F，连接BF，可证平面ACD，又可证四边形BFME是平行四边形.可得 EM//BF，可证平面ACD，从而平面平面；（2）利用空间直角坐标进行向量运算，根据法向量夹角即可求出.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取AC的中点F，连接BF，‎ 因为AB＝BC，所以， 平面ABC,所以CD .‎ 又所以平面ACD.①‎ 因为AM=MD，AF=CF，所以.‎ 因为 ，所以//MF，‎ 所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②‎ 由①②,得平面ACD，所以平面平面； ‎ ‎（2）解： BE平面ABC，‎ 又，‎ 以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，‎ 建立空间直角坐标系B-xyz.‎ 由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).‎ 由中点坐标公式得， ,，‎ 设向量为平面BMC的一个法向量，则即 令y=1,得x=0，z=－1，即, ‎ 由（I）知， 是平面ACD的一个法向量. ‎ 设二面角B－CM－A的平面角为，‎ 则，‎ 又二面角B－CM－A为锐二面角，故. ‎ 点睛：二面角的求法，实质就是求两个面法向量，然后利用法向量夹角公式得到二面角的余弦或正弦值.‎ ‎21．已知被直线， 分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2．　‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若存在过点的直线与相交于， 两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）被直线， 分成面积相等的四个部分说明圆心在直线的交点，再根据截得x轴线段长求出半径即可；（2）根据平面几何知识知，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”，转化为，即，从而求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两直线的交点，‎ 易得交点为，所以. ‎ 又截x轴所得线段的长为2，所以.‎ 所以的方程为. ‎ ‎（2）法一：如图， 的圆心，半径，‎ 过点N作的直径，连结.‎ 当与不重合时， ，‎ 又点是线段的中点；‎ 当与重合时，上述结论仍成立.‎ 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. ‎ 由图可知，即，即. ‎ 显然，所以只需，即，解得.‎ 所以实数的取值范围是. ‎ 法二：如图， 的圆心，半径，连结，‎ 过作交于点，并设.‎ 由题意得，‎ 所以， ‎ 又因为，所以，‎ 将代入整理可得， ‎ 因为，所以，，解得. ‎ ‎22．已知抛物线： 的焦点为，准线为，三个点， ， 中恰有两个点在上．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过的直线交于， 两点，点为上任意一点，证明：直线， ， 的斜率成等差数列．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由对称关系可知， 两点在上，求得抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到韦达定理，表示出直线的斜率，证明满足等差中项公式即可。‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为抛物线： 关于x轴对称，‎ 所以中只能是两点在上，‎ 带入坐标易得，所以抛物线的标准方程为 ‎（II）证明：抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为.‎ 设直线的方程为， .‎ 由，可得，所以，‎ 于是， ‎ 设直线的斜率分别为，‎ 一方面， ‎ ‎ .‎ 另一方面， .‎ 所以，即直线的斜率成等差数列 点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系。本题中要证明直线的斜率满足等差数列，则需要表示三个斜率，所以只需设出直线方程，写出三个斜率，证明其满足等差中线公式即可，中间利用韦达定理计算。‎