2014年高考试题——数学理（辽宁卷）原卷版

2014年高考试题——数学理（辽宁卷）原卷版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 理科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 , { | 0}, { | 1}U R A x x B x x     ，则集合 ()UC A B  （ ）[来源:学.科.网] A．{ | 0}xx B．{ | 1}xx C．{ | 0 1}xx D．{ | 0 1}xx 2.设复数 z 满足( 2 )(2 ) 5z i i   ，则 z  （ ） A． 23i B． 23i C．32i D．32i 3.已知 1 32a   ， 21 2 11log , log33bc，则（ ） A． abc B． a c b C．c a b D． c b a 4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若 / / , / / ,mn则 //mn B．若 m  ， n  ，则 mn C．若 ， ，则 //n  D．若 //m  ， ，则 n  5.设 ,,abc是非零向量，已知命题 P：若 0ab， 0bc，则 0ac；命题 q：若 / / , / /a b b c ，则 //ac， 则下列命题中真命题是（ ） A． pq B． pq C．( ) ( )pq   D． ()pq 6.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A．144 B．120 C．72 D．24 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．82 B．8  C．8 2  D．8 4  8.设等差数列{}na 的公差为 d，若数列 1{2 }naa 为递减数列，则（ ）[来源:学&科&网 Z&X&X&K] A． 0d  B． 0d  C． 1 0ad D． 1 0ad 9.将函数 3sin(2 )3yx的图象向右平移 2  个单位长度，所得图象对应的函数（ ）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A．在区间 7[ , ]12 12 上单调递减 B．在区间 上单调递增 C．在区间[ , ]63  上单调递减 D．在区间 上单调递增 10.已知点 ( 2,3)A  在抛物线 C： 2 2y px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的 焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 4 3 11.当 [ 2,1]x 时，不等式 324 3 0ax x x    恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[ 5, 3] B． 9[ 6, ]8 C．[ 6, 2] D．[ 4, 3] 12.已知定义在[0,1] 上的函数 ()fx满足： ① (0) (1) 0ff； ②对所有 , [0,1]xy ，且 xy ，有 1| ( ) ( ) | | |2f x f y x y   . 若对所有 ，| ( ) ( ) |f x f y k，则 k 的最小值为（ ）[来源:Z*xx*k.Com] A． 1 2 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 8 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.执行右侧的程序框图，若输入 9x  ，则输出 y  . 14.正方形的四个顶点 ( 1, 1), (1, 1), (1,1), ( 1,1)A B C D    分别在抛物线 2yx 和 2yx 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区 域的概率是 . 15.已知椭圆 C： 22 194 xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则| | | |AN BN . 16.对于 0c  ，当非零实数 a，b 满足 224 2 4 0a ab b c    ，且使| 2 |ab 最大时， 3 4 5 a b c的最小值 为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 ac ，已知 2BA BC， 1cos 3B  ， 3b  ，求： （1）a 和 c 的值； （2）cos( )BC 的值. 18. （本小题满分 12 分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：[来源:学,科,网] 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率； （2）用 X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望 ()EX 及方差 ()DX . 19. （本小题满分 12 分） 如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD   ， 0120ABC DBC    ，E、F 分别 为 AC、DC 的中点. （1）求证： EF BC ； （2）求二面角 E BF C的正弦值. 20. （本小题满分 12 分） 圆 224xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图）， 双曲线 22 1 22:1xyC ab过点 P 且离心率为 3 . （1）求 1C 的方程； （2）椭圆 2C 过点 P 且与 有相同的焦点，直线l 过 的右焦点且与 交于 A，B 两点，若以线段 AB 为 直径的圆心过点 P，求 的方程. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 8( ) (cos )( 2 ) (sin 1)3f x x x x x     ， 2( ) 3( )cos 4(1 sin )ln(3 )xg x x x x x      . 证明：（1）存在唯一 0 (0, )2x  ，使 0( ) 0fx  ； （2）存在唯一 1 ( , )2x   ，使 1( ) 0gx  ，且对（1）中的 01xx. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG PD ，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若 AC=BD，求证：AB=ED. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 将圆 221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. （1）写出 C 的参数方程； （2）设直线 : 2 2 0l x y   与 C 的交点为 12,PP，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系， 求过线段 12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) 2 | 1| 1f x x x    ， 2( ) 16 8 1g x x x   ，记 ( ) 1fx 的解集为 M， ( ) 4gx 的解集为 N. （1）求 M； （2）当 x M N 时，证明： 221( ) [ ( )] 4x f x x f x.