2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第二章第5节 指数与指数函数
第5节 指数与指数函数
考试要求 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知 识 梳 理
1.根式的概念及性质
(1)n次方根：如果一个实数x满足xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，a的n次方根只有一个，记为x＝；当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，记为x＝±(a＞0).
(2)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(3)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n均为正整数)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n均为正整数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)t＝atbt，其中s、t∈Q，a＞0，b＞0.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00，且a≠1)的图象越高，底数越大.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错.
(2)当<1时，不可以，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材必修1P67T6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则
f(－1)＝( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案 C
3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1，∴b0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________.
解析 令x－2 020＝0，得x＝2 020，则y＝2 021，
故点A的坐标为(2 020，2 021).
答案 (2 020，2 021)
6.(2020·菏泽一中月考)计算：×＋8×－＝________.
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
答案 2
考点一 指数幂的运算
【例1】 化简下列各式：
(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝______；
(2)(a>0，b>0)＝________.
解析 (1)原式＝＋500－＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
答案 (1)－ (2)
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·÷.
解 (1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)(组合选择题)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列五个关系式：
①01，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.01.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析 A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
答案 B
规律方法 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
角度2 解简单的指数方程或不等式
【例3－2】 (1)(2020·南京、盐城模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立.故a的值为.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解得a>－3，所以－30且a≠1)⇔f(x)＝g(x).(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当00，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
解析 (1)不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<，如图在同一平面直角坐标系中作出直线y＝x－a与y＝的图象，由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y＝图象的下方，由图可知，－a<1，所以a>－1.
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(多填题)(角度3)若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.
(3)(角度2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________.
(4)(角度3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
解析 (1)因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，c＝0.40.6<1，所以a>b，a>c.又y＝0.4x是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b>c，所以a>b>c.
(2)∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴＝0，解得a＝1，f(x)＝＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴f(x)的值域为(－1，1).
(3)原不等式变形为m2－m<，
因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2.
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－10，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.
答案 (1)A (2)1 (－1，1) (3)(－1，2) (4)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·南通、扬州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A.y＝sin x B.y＝x3
C.y＝ D.y＝log2x
解析 y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；
y＝是非奇非偶函数，不符合题意；
y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；
y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.
答案 B
2.函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y＝ B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)
解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图象不过点A(1，1).
答案 A
3.(2020·无锡期中)已知0aa，babb.
综上，ab最大.
答案 C
4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析 设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.
答案 D
5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在
(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
答案 B
二、填空题
6.化简＝________.
解析 原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
答案
7.若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________.
解析 令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
答案 1
8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.
解析 由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1).
答案 g(a)>g(b－1)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝为奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意).
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：
设x10，a≠1)，其中a，b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y＝的值域；
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，求a＋b的值.
解 (1)因为函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，
∴∴
∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝＝<1.
又＝>0，故函数y＝的值域为(0，1).
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，
若a>1，则函数f(x)＝ax＋b为增函数，
∴无解.
若01且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A.M＝N B.M≤N
C.MN
解析 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N.
答案 D
12.(2020·苏州调研)已知函数f(x)＝－x且满足f(2a－1)>f(3)，则a的取值范围为( )
A.a>2 B.a<2
C.－12
解析 易知f(x)＝－x是R上的偶函数，
又当x>0时，f(x)＝－x单调递减.
由f(2a－1)>f(3)⇔f(|2a－1|)>f(3)，
∴|2a－1|<3，解得－10，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
解析 因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
答案 6
14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
又y＝－22t－1，t∈[1，2]为减函数，
∴ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.
C级 创新猜想
15.(多选题)已知3a＝5b＝15，则a，b不可能满足的关系是( )
A.a＋b＞4
B.ab＞4
C.(a－1)2＋(b－1)2＞2
D.a2＋b2＜8
解析 ∵3a＝5b＝15，∴(3a)b＝15b，(5b)a＝15a.∴3ab＝15b，5ba＝15a，∴3ab·5ba＝15b·15a，∴15ab＝15a＋b，∴ab＝a＋b，则ab＝a＋b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a＋b＝ab＞4，∴(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，∴a2＋b2＞2ab＞8，故选ABC.
答案 ABC
16.(多填题)已知函数f(x)＝的图象关于点对称，则a＝________，f(x)的值域为________.
解析 依题设f(x)＋f(－x)＝1，
则＋＝1，
整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.
所以a－1＝0，则a＝1.
因此f(x)＝＝1－.
由于1＋2x>1，∴0<<1，∴0
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