【数学】2020届一轮复习人教B版（文）7-2空间几何体的表面积和体积作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）7-2空间几何体的表面积和体积作业

课时作业39　空间几何体的表面积和体积 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是(　　)‎ A．3：2 B．2：1‎ C．4：3 D．5：3‎ 解析：底面半径r＝l＝l，故圆锥中S侧＝πl2，S表＝πl2＋π2＝πl2，所以表面积与侧面积的比为4：3.‎ 答案：C ‎2．[2019·东北三省四市联考]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(　　)‎ A．12＋2 B．8＋2 C．4＋4 D．8＋4 解析：本题考查三视图及几何体的表面积．由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，高为2，故该四棱锥的表面积为S＝2×2＋2××2×2＋2××2×2＝8＋4，故选D.‎ 答案：D ‎3．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥A－PBC(放到棱长为2的正方体中)，VA－PBC＝×S△PBC×AB＝××2×2×2＝.故选B.‎ 答案：B ‎4．[2019·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V＝××π×22×4＝π，故选D.‎ 答案：D ‎5．[2019·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4＋2 B．4＋4 C．6＋2 D．6＋4 解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝＝2，又AB＝2，所以S△PBC＝S△PAB＝×2×2＝2，S△ABC＝S△PAC＝×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4.‎ 答案：B ‎6．[2019·福州模拟]已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于(　　)‎ A.π B.π C．16π D．32π 解析：设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.‎ 答案：B ‎7．[2019·福州模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：解法一　由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝2×＋×(22－12)＋×22＋2×2＋××()2＝＋4，故选D.‎ 解法二　由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝S三棱柱表－S三棱锥侧＋S三棱锥底＝－3×＋××()2＝＋4，故选D.‎ 答案：D ‎8．[2019·山西八校联考]已知一个球的表面上有A，B，C三个点，且AB＝AC＝BC＝2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为(　　)‎ A．20π B．15π C．10π D．2π 解析：设球心为O，△ABC的中心为O′，因为AB＝AC＝BC＝2，所以AO′＝×3＝2，因为球心到平面ABC的距离为1，所以OO′＝1，所以AO＝＝，故该球的表面积S＝4π×(OA)2＝20π.故选A.‎ 答案：A ‎9．[2019·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．8(2π＋1) D．16(π＋1)‎ 解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为×2×2×2＋×π×22×4＝，故选B.‎ 答案：B ‎10．[2019·南昌调研]已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P的底面ABC的距离为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.‎ 答案：B 二、填空题 ‎11．[2019·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．‎ 解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋π＝(3＋)π.‎ 答案：(3＋)π ‎12．[2019·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．‎ 解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝h，则V′＝6－h2，由V′>0，得02，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8.‎ 答案：2‎ ‎13．[2019·福州四校联考]已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱柱的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，则球O的体积为________．‎ 解析：设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，∴××3××h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为.‎ 答案： ‎14．[2018·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ 解析：本题考查组合体体积的计算．‎ 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，高为1，‎ ‎∴其体积为×()2×1＝，∴多面体的体积为.‎ 答案： ‎[能力挑战]‎ ‎15．[2019·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4＋4＋2 B．14＋4 C．10＋4＋2 D．4‎ 解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝＝2，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝＝，△SCD的面积为××2＝2，△SBC的面积为×2 ‎×4＝4.所求几何体的表面积为×(2＋4)×2＋2××2×2＋4＋2＝10＋4＋2，选C.‎ 答案：C ‎16．[2019·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)‎ A．13 B．14‎ C．15 D．16‎ 解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD－A′B′C′D′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15，故选C.‎ 答案：C ‎17．[2019·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．‎ 解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B－‎ CDE，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,1)，C(0,1,0)，D(1,2,0)，E(0,2,0)，设球心为P(x，y，z)，依题意可得|PB|＝|PC|＝|PD|＝|PE|.由|PD|＝|PE|得(x－1)2＋(y－2)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得x＝.由|PC|＝|PE|得x2＋(y－1)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得y＝.由|PB|＝|PE|得x2＋y2＋(z－1)2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得z＝.故P，故三棱锥外接球的半径R＝|PB|＝＝，故该三棱锥的外接球的表面积S＝4π×＝11π.‎ 答案：11π