数学经典易错题会诊与高考试题预测1

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数学经典易错题会诊与高考试题预测1

经典易错题会诊与2012届高考试题预测(一)‎ 考点1 集合与简易逻辑 集合的概念与性质 集合与不等式 ‎ 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的运用 集合的工具性 真假命题的判断 充要条件的应用 经典易错题会诊 命题角度1 集合的概念与性质 ‎ 1.(典型例题)设全集U=R,集合M={x|x>1},P={x|x2>1},则下列关系中正确的是 ( )‎ ‎ A.M=P B.PM ‎ C.MP D.CUP=ø ‎ [考场错解] D ‎ [专家把脉] 忽视集合P中,x<-1部分.‎ ‎[对症下药] C ∵x2>1 ∴x>1或x<-1.故MP. ‎ ‎2.(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|aP,bQ},若P{0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )‎ ‎ A.9 B.8‎ ‎ C.7 D.6‎ ‎ [考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个. ‎ ‎ [专家把脉] 忽视元素的互异性,即和相等的只能算一个.‎ ‎[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1,2,3,4,6,7,8,11共8个. ‎ ‎3.(典型例题)设f(n)=2n+1(nN),P={l,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记={nN|f(n) P},={nN|f(n) ‎ 则(CN) (CN)等于 ( )‎ ‎ A.{0,3} B.{1,7}‎ ‎ C.{3,4,5} D.{1,2,6,7}‎ ‎ [考场错解] D PCNQ={6,7}.QCNP={1,2}.故选D.‎ ‎ [专家把脉] 未理解集合 的意义.‎ ‎ [对症下药] B ∵ ={1,3,5}.={3,5,7}.∴CN={1}. CN={7}.故选B. ‎ ‎4.(典型例题)设A、B为两个集合,下列四个命题:‎ ‎ ①A B对任意xA,有x B;②A B AB=ø;③A B A B;④A B存在xA, 使得xB.其中真命题的序号是_____.‎ ‎ [考场错解] ∵A B,即A不是B的子集,对于x A,有x B;A B=ø,故①②④正确.‎ ‎ [专家把脉] 对集合的概念理解不清.∵A B,即A不是B的子集,但是A,B可以有公共部分,即存在x A,使得x B.不是对任意x A,有x B,故④正确.“A B”是“任意x A,有xB”的必要非充分条件.②同①.‎ ‎ [对症下药] 画出集合A,B的文氏图或举例A={1,2},B={2,3,4},故①、②均不成立,③A{1,2,3},B={1,2},∴A B但BA,故也错.只有④正确,符合集合定义.故填④ ‎ ‎5.(典型例题Ⅰ)设A、B、I均为非空集合,且满足ABI,则下列各式中错误的是 ( )‎ ‎ A.(CIA)B=I ‎ B.(CIA) (CIB)=I ‎ C.A(CIB)=ø ‎ D.(CIA)(CIB)= CIB ‎ [考场错解] 因为集合A与B的补集的交集为A,B的交集的补集.故选D.‎ ‎ [专家把脉] 对集合A,B,I满足ABI的条件,即集合之间包含关系理解不清.‎ ‎ [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.‎ ‎ 从图中可观察A、C、D均正确,只有B不成立.或运用特例法,如A={1,2,3},B={1,2,3.4},I={1,2,3,4,5}.逐个检验只有B错误.‎ ‎ 专家会诊 ‎ 1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|xP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,充分运用数形结合(数轴,坐标系,文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题,直观地解决问题.‎ ‎2.注意空集ø的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=ø或Aø 两种可能,此时应分类讨论.‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N=,则M(CUN)等于 ( ) ‎ A.{4} B.{3,4} ‎ C.{2,3,4} D. {1,2,3,4}‎ 答案:B 解析:由N=CUN=‎ ‎2 设集合M={x|x=‎3m+1,m∈Z},N=y|y{=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N,则x0y0‎ 与集合M,N的关系是 ( ) ‎ A.x0y0∈M B.x0y0MMM ‎ C.x0y0∈N D.x0y0N 答案:C 解析:∵xo ‎3 设M={x|x‎4a,a∈R},N={y|y=3x,x∈R},则 ( )‎ ‎ A.M∩N=Ø B.M=N C. MN D. MN ‎ 答案:B 解析:M=‎ ‎4 已知集合A={0,2,3},B={x|x=ab,a、b∈A且a≠b},则B的子集的个数是 ( )‎ A.4 B.‎8 C.16 D.15 ‎ 答案:解析:它的子集的个数为22=4。‎ ‎5 设集合M={(x,y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3),-≤y≤3},若(a,b)∈M,且对M中的其他元素(c,d),总有c≥a,则a=_____.‎ 答案:解析:依题可知,本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 (1) 当 ‎1≤y≤3时,x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-‎ 命题角度 2 集合与不等式 ‎1.(典型例题)集合A=,B={x|x-b|<a=,若“a=‎1”‎是“A∩B≠Ø”的充分条件,则b的取值范围是 ( )‎ ‎ A.-2≤b<2 B.-20时,t≥恒成立,所以-1≥,解得m≥2;当m<0时,t≤恒成立,所以1≤,解得m≤-2.‎ ‎ 综上:故不存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立.‎ ‎ [专家把脉] (1)讨论x求参数的范围,最后应求参数的交集而不是并集.因为x∈[-1,1]时,f(x)≥0恒成立.(2)注意对求出的m的值范围求并集而不是交集.‎ ‎ [对症下药] (1)因为f(x)=(x∈R),所以f′(x)=,依题意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,即2x2-2ax-4≤0在[-1,1]上恒成立.‎ ‎ 当x=0时,a∈R;当00时,t≥恒成立,所以-1≥,解得m≥2;当m<0时,t≤恒成立,所以1<,解得m≤-2.‎ ‎ 综上:存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,m的取值范围是{m|m≥2或m≤-}2(注意对求出的m的取值范围求并集).‎ 方法2:方程f(x)=变形为x2-ax-2=0,|x1-x2|=,又-1≤a≤1,所以|x1-x2|=的最大值为3,m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立等价于m2+tm+1≥3在t∈[-1,1]恒成立,令g(t)=tm+m2-2,有g(-1)=m2+m-2≥0,g(1)=m2-m-2≥0,解得{m|m≥2或m≤-2}.(注意对求出的m的取值范围求交集).‎ 专家会诊 讨论参数a的范围时,对各种情况得出的参数a的范围,要分清是“或”还是“且”的关系,是“或”只能求并集,是“且”则求交集.‎ 考场思维训练 ‎1 设[x]表示不超过x的最大整数,则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集为 ( )‎ ‎ A.(2,3) B.[2,3]‎ C.[2,4] D.[2,4] ‎ 答案:C 解析:由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定义知2≤x<4所选C.‎ ‎2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要条件是,则实数m的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B.‎ C. D. ‎ 答案:B解析:因不等式|x-m|<1等价于m-11时,则超过2个元素,注意区间端点.‎ ‎ [对症下药] 由Sω∩(a,a+1)的元素不超过两个,∴周期×<1.∴ω>π又∵有a使Sω∩(a,a+1)含两个元素,∴周期≥1.∴ω≤2π.故ω∈(π,2π).‎ ‎ 2.(典型例题)设函数f(x)=-(x∈R),区间M=[a,b](a0.f(x)=-1+,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数,即y=f(x)在[a,b]上为减函数,∴y=f(x)的值域为 ,∴N∈‎ ‎ ∵M=N,∴MN∴a≥,且b≤,故有无数组解.‎ ‎ [专家把脉] 错误地理解了M=N,只是MN,忽视了M=N,包含MN和NM两层含义. ‎ ‎[对症下药]∵f(x)=,∵y=f(x)在[a,b]上为减函数 ∴‎ y=f(x)的值域为 ‎∵N={y|y=f(x)},∴N表示f(x)的值域-b ‎∴M=N,∴,而已知a0,得(x-a-1)(x‎-2a)<0.∵a<1,∴a+1>‎2a,∴B=(‎2a,a+1)‎ ‎ ∵BA ∴‎2a>1或a+1≤-1 ∴a>或a≤-2又∵a<1∴a≤-2或‎2a,∴B=(‎2a,a+1) ‎ ‎∵BA,∴‎2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2,而a<1,∴≤a<1或a≤-2,故当BA时,实数a的范围是(-∞,-2)∪[,1].‎ 专家会诊 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等,都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论,数形结合的思想.‎ 考场思维训练 ‎1 已知集合A={x|(a2-a)x+1=0,x∈R},B={x|ax2-x+1=0,x∈R},若A∪B=Ø,则a的值为 ( ) A.0 B.‎1 C.0或1 D.0或4 ‎ 答案:B 解析:AUB=ø,∴A= ø且B=ø,由A=ø得a=0或1;由B=ø 得a>0且△<0,解得a>‎ ‎2 设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定义P※Q={(a,b)|a∈p,b∈Q,则P※Q中元素的个数为 ( )‎ A.3 B.‎4 C.7 D.12 ‎ 答案:D ‎3 已知关于x的不等式0的解集为M. ‎ ‎ (1)a=4时,求集合M;‎ 答案:(1)当a=4时,原不等式可化为,即 ‎ (2)若3∈M且‎5‎M,求实数a的取值范围.‎ 答案:由3 ①‎ 由                     ②‎ 由①、②得 命题角度4 简易逻辑 ‎ ‎1.(典型例题)对任意实数a、b、c,给出下列命题:‎ ‎ ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b‎2”‎的充分条件;④“a<‎5”‎是“a<‎3”‎的必要条件.‎ ‎ 其中真命题的个数是 ( )‎ ‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎ [考场错解] D ‎ [专家把脉] 忽视①中c=0的情况,③中a,b小于0的情况.‎ ‎[对症下药] B ①中c=0时,非必要条件;③中0>a>b时,非充分条件,②④正确. ‎ ‎2.(典型例题)给出下列三个命题 ‎ ①若a≥b>-1,则 ‎ ②若正整数m和n满足m≤n,则 ‎ ③设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点,圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1.当(a-x1)2+(b-y1)2=1时,圆O1与圆O2相切 其中假命题的个数为 ( )‎ ‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ ‎ [考场错解] A ‎ [专家把脉] ③中(a-x1)2+(b-y1)2=1时,即圆 O2与O1上任一点距离为1,并不一定相切.‎ ‎ [对症下药] B ‎ ‎3.(典型例题)设原命题是“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,则它的逆否命题是( )‎ ‎ A.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b且c≠d ‎ B.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d ‎ C.若a+c≠b+d,则a,b,c,d不是实数,且a≠b,c≠d ‎ D.以上全不对 ‎ [考场错解] A ‎ [专家把脉] 没有分清“且”的否定是“或”,“或”的否定是“且”.‎ ‎ [对症下药] B 逆否命题是“已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d”. ‎ ‎4.(典型例题)已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减;Q:不等式x+|x‎-2c|>1的解集为R,如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.‎ ‎ [考场错解] 由函数y=cx在R上单调递减,得0<c<1;∵x+|x‎-2c|=所以函数y=x+|x‎-2c|在R上的最小值为‎2c,因为不等式 x+|x‎-2c|>1的解集为R,所以‎2c>1,得c>.‎ ‎ 如果P真,得0.‎ ‎ 所以c的取值范围是(0,+∞). [专家把脉] 将P和Q有且仅有一个正确,错误理解成P正确或Q正确.‎ ‎ [对症下药] 由函数y=cx在R上单调递减,得0<c<1;∵x+|x‎-2c|=所以函数y=x+|x‎-2c|在R上的最小值为‎2c,因为不等式x+|x‎-2c|>1的解集为R,所以‎2c>1,得c>. ‎ ‎ 如果P真Q假,则0<c≤;如果Q真P假,则c≥1.‎ 所以c的取值范围是(0, )∪[1,+∞]‎ 专家会诊 1.在判断一个结论是否正确时,若正面不好判断,可以先假设它不成立,再推出矛盾,这就是正难则反.‎ ‎2.求解范围的题目,要正确使用逻辑连结词,“且”对应的是集合的交集,“或”对应的是集合的并集.‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 已知条件P:|x+1|>2,条件q:5x-6>x2,则p是q的 ( )‎ ‎ A.充要条件 B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ‎ 答案:B解析:p:x<-3或x>1,q:21⇒a<2.‎ 若p为真,q为假时,无解;若p为假,q为真时,结果为10 B.b>0且c<0 ‎ C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0‎ ‎ [考场错解] B △=b2‎-4ac.当c<0时,△>0.故f(x)有两个不同实根,∴x有7个不同根.‎ ‎ [专家把脉] ∵f(x)的根为正时,x有4个不同实根.应考虑f(x)的根的正负.‎ ‎ [对症下药] C 当x=1时f(x)=0,∴c=0.‎ ‎ 当x≠1时,f(x)=|‎1g|x-1||,∴f2(x)+bf(x)+c=‎1g2|x-1|+b|‎‎1g ‎|x-1||=0.即,|‎1g|x-1||(‎1g|x-1|+b)=0,‎ ‎ ∴‎1g|x-1|=0或‎1g|x-1|=-b,∴x=2或x=0或‎1g|x-1|=-b①∴b<0.①式有4个不同实根故c=0且b<0,恰有7个不同实根 ‎ ‎3.(典型例题)若非空集合MN,则a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的 ( )‎ ‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ [考场错解] a∈(M∩N)的意思是a∈M且a∈N,所以a∈M或a∈N不能推出a∈(M∩N),同样a∈(M∩N)也不能推出a∈M或a∈N,所以a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的既不充分也不必要条件,所以选D.‎ ‎ [专家把脉] “或”与“且”理解错误,逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别,a∈M或a∈N包括三种:a∈M但aN;a∈N但a M;a∈M且a∈N.所以a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N.‎ ‎[对症下药] a∈(M∩N)的意思是a∈M且a∈N,而a∈M或a∈N包括三种:a∈M但aN;a∈N但aM;a∈M且a∈N,所以a∈M或a∈N不能推出a∈(M∩N);a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N.所以选B. ‎ ‎4.(典型例题)设命题p:关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同;命题q:,则命题p是命题g的 ( )‎ ‎ A.充分但不必要条件 ‎ B.必要但不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为,所以不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0是等价的不等式,解集相同,所以q能推出p而不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+ b2x+c2>0的解集相同不能得出,所以选B.‎ ‎ [专家把脉] 因为若a1与a2的符号不同,这时a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同,如-x2+3x-2>0与x2-3x+2>0,尽管=-1,但它们的解集不相同,所以q不能推出P. ‎ ‎[对症下药] 因为,若a1与a2的符号不同,这时alx2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同,所以q不能推出p;不等式x2+x+3>0与x2+1> 0的解集相同,但,所以p不能推出q,所以选D.‎ 专家会诊 ‎ (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念:当“若p则q”形式的命题为真时,就记作pq称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. ‎ ‎ (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等. ‎ ‎ (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质. ‎ ‎ (4)从集合观点看,若AB,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A、B互为充要条依.‎ ‎ (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性). ‎ 考场思维训练 ‎ ‎1 设ab、是非零向量,则使a·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 ( )‎ ‎ A.a=b B.a⊥b ‎ C.a∥b D.a=λb(>0)‎ 答案:C解析:由a·b=|a| |b|可得a∥b;但a∥b, a·b=±|a| |b|, 故使a·b=|a| |b| 成立的一个必要充分条件是:a∥b.故选C.‎ ‎ 2若条件甲:平面α内任一直线平行于平面β,条件乙:平面α∥平面β,则条件甲是条件乙的 ( )‎ ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎ 答案:C 解析:甲乙可以互推。选C.‎ ‎3.已知函数f(x)=ax+b(0≤x<1),则a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的 ( )‎ ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎ 答案:B 解析:∵f(x)>0在[0,1]上恒成立⇒a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)>0在[0,1]上恒成立。‎ ‎4 命题A:|x-1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要条件,则a的取值范围是( )‎ ‎ A.(4,+∞) B.[4,+∞]‎ C.(-∞,-4) D.(-∞,-4)‎ 答案:C ‎ 探究开放题预测 预测角度1 集合的运算 ‎ ‎1.设I是全集,非空集合P、Q满足PQI,若含P、Q的一个运算表达式,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是_______;如果推广到三个,即PQRI,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是_______.(只要求写出一个表达式).‎ ‎ [解题思路] 画出集合P、Q、I的文氏图就可以看出三个集合之间的关系,从它们的关系中构造集合表达式,使之运算结果为空集.‎ ‎ [解答] 画出集合P、Q、I的文氏图,可得满足PQI,含P、Q的一个运算表达式,使运算结果为空集的表达式可以是P∩(CIQ);同理满足PQRI,使运算结果为空集的表达式可以是(P∩Q)∩(CIR),或(P∩Q) ∩(CIR).答案不唯一. ‎ ‎2.设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=Ø,证明此结论.‎ ‎ [解题思路] 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.‎ ‎ [解答] ∵(A∪B) ∩C=Ø,‎ ‎ ∴A∩C=Ø且B∩C=Ø ‎ ∵‎ ‎ ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0‎ ‎ ∵A∩C=Ø ‎ ∴△1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0‎ ‎∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即b2>1 ①‎ ‎∴‎ ‎∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0‎ ‎∴B∩C=Ø,‎ ‎∴△2(1-k)2-4(5-2b)<0‎ ‎∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②‎ 由①②及b∈N,得b=2代入由△1<0和△2<0组成的不等式组,得 ‎ ‎∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B) ∩C=Ø.‎ 预测角度2 逻辑在集合中的运用 ‎1.已知不等式: ①|x+3|>|2x|;②;③2x2+mx-1<0. ‎ (1) 若同时满足①、②的x也满足③,求m的取值范围; ‎ (2) 若满足③的x至少满足①、②中的一个,求m的取值范围. ‎ ‎[解题思路] (1)若同时满足①、②的x也满足③,即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集;第(2)问,若满足③的x至少满足①、②中的一个,即满足③的x满足①、②的并集.‎ ‎ [解答] (1)由|x+3|>| 2x|得-14=.‎ ‎①∩②={x|x≤-1或x>4},补集为(-1,4),即方程2x2+mx-1<0的两根在(-1,4)内,由根的分布可得-≤m<1. ‎ ‎2.集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求当a取什么实数时,A∩B Ø和A∩C=Ø同时成立.‎ ‎ [解题思路] 求出集合B,C.由A∩B Ø,即A∩B≠Ø,从而求a.,由A∩C=Ø,来检验.‎ ‎ [解答] log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由x2+2x-8=0,∴C={2,-4},又A∩C=Ø,∴2和-4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,而A∩B Ø,即A∩B≠Ø,‎ ‎ ∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,∴可得a=5或a=-2.‎ 当a=5时,得A={2,3},A∩二{2},这与A∩C=Ø不符合,所以a=5(舍去);当a=-2时,可以求得A={3,-5},符合A∩C=Ø,A∩B Ø,∴a=-2.‎ 预测角度3 集合的工具性 ‎ ‎1.已知{an}是等差数列,d为公差且不为零,a1和d均为实数,它的前n项和为Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R},试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.‎ ‎ (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;‎ ‎ (2)A∩B中至多有一个元素; ‎ ‎ (3)当a1≠0时,一定有A∩B≠Ø.‎ ‎[解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上;即证任意两点的斜率相等;(2)A∩B中至多有一个元素;集合A,B所表示的曲线至多有一个交点;(3)当a1≠0时,集合A,B所表示的曲线一定有交点. ‎ ‎[解答](1)an=a1+(n-1)d,=a1+d,An=[a1+(n-1)d,a1+d]‎ ‎∵=,‎ ‎∴这些点都在同一条直线上.‎ ‎ (2)方法1(几何法):集合A表示的点在直线y=x+a1上,集合B表示的点在双曲线x2-y2=1上,由数形结合可知,当a1≠O时,直线y=x+a1与双曲线x2-y2‎ ‎=1只有一个交点,当a1=0时,直线y=x+a1与双曲线x2-y2=1无交点.‎ ‎ 故A∩B中至多有一个元素;‎ ‎ 方法2(代数法):集合A表示的点在直线y=x+a1上,集合B表示的点在双曲线x2-y2=1上,将y=x+a1代入方程x2-y2=1,化成关于x的方程 ‎2a1x++4=0,当a1=0时,x无解,当a1≠0时,x有惟一解.故A∩B中至多有一个元素;‎ ‎(3)由(2)可知,当a1≠0时,直线y=x+a1与双曲线x2-y2=1只有一个交点,A∩B中有一个元素.故一定有A∩B≠Ø. ‎ ‎2.设M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合:①f(x)的定义域是[-1,1];②若x1,x2∈[-1,1],则|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.试问:‎ ‎ (1)定义在[-1,1]上的函数g(x)=x2+3x+2005是否属于集合M?并说明理由;‎ ‎ (2)定义在[-1,1]上的函数h(x)=4sinx+2006是否属于集合M?并说明理由.‎ ‎ [解题思路] 判断函数g(x)与h(x)的集合是否属于集合M,即证明函数g(x)与h(x)是否满足下列两个条件①f(x)的定义域是[-1,1];②若x1,x2∈[-1,1],则 |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.‎ ‎ [解答] (1)|g(x1)-g(x2)|=|+3x1--3x2|=|x1-x2||x1+x2+3|,∵-2≤x1+x2≤2,即1≤x1+x2 +3≤5,∴|x1+x2+3 |≤5,|g(x1)-g(x2)|≤5|x1-x2|,不符合条件②.故不属于M;‎ ‎(2)|h(x1)-h(x2)|=|4sinx1-4sinx2|=4|sinx1-sinx2|≤4|x1-x2|,故属于M; ‎ ‎3.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?‎ ‎ [解题思路] 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.‎ ‎[解答] 赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.‎ 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.‎ ‎ 依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.‎ 所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.‎ 预测角度4 真假命题的判断 ‎1.已知p、q为命题,命题“(p或q)”为假命题,则 ( )‎ ‎ A.p真且q真 B.p假且q假 ‎ C.p,q中至少有一真 D.p,q中至少有一假 ‎ [解题思路] 利用p与p一真一假,得p或q为真命题,或将“(p或q)”为假命题转化为“p且q”为假命题.‎ ‎ [解答] 由已知“(p或q)”为假命题,得p或q为真命题,根据真值表,得p、q中至少有一真;或由“(p或q)”为假命题,得“p且q”为假命题,所以p、q中至少有一假,得p、q中至少有一真.所以本题答案是C.‎ ‎ 2.已知p:|1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若﹂p是﹂q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.‎ ‎ [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.‎ ‎ [解答] 由题意知:‎ ‎ 命题:若﹂P是﹂q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p是q的充分不必要条件.‎ ‎ p:|1-|≤2-2≤-1≤2-1≤ ≤3-2≤x≤10‎ ‎ q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 *‎ ‎ ∵p是q的充分不必要条件,‎ ‎ ∴不等式|1-|≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集.‎ ‎ 又∵m>0‎ ‎ ∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m ‎ ∴∴m≥9,‎ ‎∴实数m的取值范围是[9,+∞].‎ 预测角度5 充要条件的应用 ‎1.设符合命题p的所有元素组成集合A,符合命题q的所有元素组成集合B,已知q的充分不必要条件是p,则 ‎ 集合A、B的关系是 ( )‎ ‎ A.AB B.A B ‎ C.B A D.A=B ‎ [解题思路] 由q的充分不必要条件是p,可得p可推q,但q不能推p,再利用充要条件与集合之间的关系可求解.‎ ‎[解答] 由q的充分不必要条件是p,可得P可推q,但q不能推p,所以A中的元素都是B中的元素,B中至少有一个元素不是A中的元素,所以A B,所以选B. ‎ ‎2.03},B={x|x2+x-6≤0},则A∩B= ( )‎ ‎ A.(-3,-2)∪(1,+∞) B.(-3,-2)∪[1,2]‎ C.[-3,-2]∪(1,2) D.(-∞,-3)∪(1,2) ‎ 答案:C 解析:由|2x+1|>3,得x>1或x<-2,由x2+x-6≤0得-3≤x≤2, ∴故选C.‎ ‎3 已知命题“非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题,下列命题:‎ ‎ (1)M中的元素都不是集合N中的元素 ‎ (2)M中的元素都是集合N中的元素 ‎ (3)M中的元素至多有一个元素是集合N中的元素 ‎ (4)N中的元素都不是集合M中的元素 ‎ 其中正确的命题个数为 ( )‎ A.1个 B.2个 C 3个 D.4个 ‎ 答案:B 解析:“非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题,则它的否命题:M中的元素都不是集合N中的元素是真命题.故只有(1)正确。选A。‎ ‎4 已知a>b>0,全集U=R,集合M={x|b1是|a+b|>1的充分而不必要条件.‎ ‎ 命题q:函数y=的定义域是(-∞,-1)∪[3,+∞],则 ( )‎ ‎ A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 C.p真q假 D.p假q真 ‎ 答案:D 解析:命题p:由|a|+|b|>1 ⇒|a+b|≯1∴命题p是假,命题q:函数y=≥2, ∴x≥3或x≤1, ∴命题q为真。‎ ‎8 两个集合A与B之差记作“A/B”,定义为:A/B={x|x∈A,且xB},如果集合A={x|log2x<1,x∈R},集合B={x|x-2|<1,x∈R},那么A/B等于 ( )‎ ‎ A.{x|x≤1} B.{x|x≥3}‎ C.{x|1≤x<2} D.{x|00的解集是__________. ‎ 答案:(-∞,-2)解析:取三点代入函数中解出不等式即可。‎ ‎11 每天早晨,李强要做完以下几件事,再去公司上班:‎ 起床穿衣8分钟;洗脸刷牙5分钟;煮早饭t分钟;吃早饭7分钟;听广播15分钟;整理房间6分钟.若李强做完这些事最快需要30分钟,那么煮早饭的时间t最多为_______分钟. ‎ 答案:15解析:起床穿衣8分钟;煮早饭t分钟;吃早饭7分钟;这三项不能同时做.洗脸刷牙5分钟;与听广播15分钟;整理房间6分钟;都可同时做.若李强做完这此事最快需要30分钟,那么煮早饭的时间t最多为30分钟.‎ ‎12 设全集U=R,(Ⅰ)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(Ⅱ ‎)记A为(1)中不等式的解集,集合B={x|sin(πx-)+cos(πx-)=0}.若(CUA)∩B恰有3个元素,求a的取值范围. ‎ 答案:解析:(1)由|x-1|+a-1>0得|x-1|>1-a,当a>1时,解集是R;当a≤1时,解集是.(2)当a>1时,CUA=∅;当a≤1时,CUA=由sinnx=0得x=k∈Z,∴B=Z ‎ 当(CuA)⋂B恰有3个元素时,a应满足 13 已知三个集合E={x|x2-3x+2=0},F={x|x2-ax+(a-1)=0},G={x|x2-bx+2=0},问:同时满2足F E,GE的实数a和b是否存在?若存在.求出a、b所有值的集合;若不存在,请说明理由. ‎ 答案:解析:E,F=‎ 综上所述,、3且-2‎ ‎14 已知椭圆方程+=1(a>b>0),A(m,0)为椭圆外一定点,过A作直线l交椭圆于P、Q两点,且有,Q关于x轴的对称点为B,x轴 ‎ 上一点C,当l变化时,求点C在BP上的充要条件.‎ 答案:解析:连结AB,因为B、Q关于x轴对称,所以 C(xo,O),则B(x2,-y2),可得y1=‎ 又 将(1)代入(2)中得由于上述解题过程可逆,所以C在BP上的充要条件是C的坐标为 ‎ ‎
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