2017-2018学年辽宁省本溪一中高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省本溪一中高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i ‎2．（5分）命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否命题是（　　）‎ A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0‎ C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ ‎3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎4．（5分）已知sinα=2cosα，则sin（）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎6．（5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦F的距离为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2‎ 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．（5分）己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）‎ ‎10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎11．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．（5分）设定义在R上的偶函数y=f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]时f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），则a，b，c三者的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，则曲线C的普通方程为　 　．‎ ‎14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，　 　，　 　，成等比数列．‎ ‎15．（5分）F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C=90°，则△‎ ABC的形状是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附：K2=‎ P（（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎19．（12分）已知数列{an}，其前n项和为Sn，若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn，数列{bn}，满足点（n，bn）（n∈N*）在直线y=x上．‎ ‎（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．‎ ‎（1）求B到平面CDE的距离 ‎（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过定点T（0，2）的直线l与（1）中的椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i ‎【分析】复数方程同除i，右侧复数的分子、分母同乘复数i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．‎ ‎【解答】解：由z•i=2﹣i得，，‎ 故选A ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否命题是（　　）‎ A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0‎ C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ ‎【分析】特称命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0”．‎ ‎【解答】解：特称命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否定是全称命题：‎ ‎“∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0”．‎ 故答案为：∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0．‎ ‎【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．‎ ‎【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，‎ 又（）=5，||=2，||=1，‎ ‎∴+•=22+2×1×cosθ=5，‎ 解得cosθ=，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴tanθ=，‎ 即向量与夹角的正切值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知sinα=2cosα，则sin（）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知可得tanα，再由诱导公式及万能公式转化为切函数求得sin（）的值．‎ ‎【解答】解：由sinα=2cosα，得tanα=2．‎ ‎∴sin（）=cos2α=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及万能公式的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦F的距离为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1‎ ‎∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P（3，），‎ ‎∴P到抛物线的准线的距离为：4，‎ ‎∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内动点到原点的距离，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入两点间的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ ‎∵，∴，‎ 其几何意义为可行域内动点到原点的距离，‎ 由图可知，A到原点距离最大．‎ 联立，解得A（3，8），‎ ‎∴的最大值是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+‎ d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，‎ c=，由此求得离心率的值．‎ ‎【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，‎ 分别设为m﹣d，m，m+d，‎ 则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，‎ 解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）‎ ‎【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．‎ ‎【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，‎ ‎∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，‎ ‎∴﹣+φ=2kπ﹣，‎ 解得φ=2kπ﹣，k∈Z，‎ 不妨取φ=﹣，‎ 此时f（x）=sin（2x﹣），‎ 令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，‎ 可得kπ+＜x＜kπ+，‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，‎ 结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了正弦函数的图象和单调性问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值 ‎【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，‎ ‎，‎ 当且仅当即时“=”成立，‎ 故选择B．‎ ‎【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，‎ c==，‎ 即有F1（﹣，0），F2（，0），‎ 设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），‎ ‎•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）‎ ‎=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，‎ 化为3m2﹣6=0，‎ 解得m=±，‎ 则P到x轴的距离为|m|=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点和渐近线方程的运用，考查向量的数量积的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设定义在R上的偶函数y=f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]时f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），则a，b，c三者的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x）=f（2﹣x），即为f（x+2）=f（x），函数f（x）的最小正周期为2，化简a，b，c，求得f（x）在（0，1）的导数，可得单调性，即可得到所求大小关系．‎ ‎【解答】解：定义在R上的偶函数y=f（x）满足对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），‎ 可得f（﹣x）=f（x）=f（2﹣x），‎ 即为f（x+2）=f（x），‎ 函数f（x）的最小正周期为2，‎ 若a=f（）=f（672﹣）=f（﹣）=f（），‎ b=f（）=f（404﹣）=f（﹣）=f（），‎ c=f（）=f（288+）=f（），‎ x∈（0，1]时f（x）=，‎ 导数为f′（x）=，‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 由＜＜，可得f（）＜f（）＜f（），‎ 即为c＜a＜b，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、周期性的判断和运用：比较大小，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，则曲线C的普通方程为　+y2=1　．‎ ‎【分析】直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．‎ ‎【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，‎ 转化为直角坐标方程为：x2+3y2=4，‎ 整理得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，　　，　‎ ‎　，成等比数列．‎ ‎【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．‎ ‎【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，‎ 则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，‎ T12=b112q1+2++11=b112q66，‎ ‎∴=b14q22，=b14q38，‎ 即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是　6﹣　．‎ ‎【分析】涉及|PF1|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF1|+|PF2|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF2|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF2||≤|AF2|=，这样即可求得|PA|﹣|PF2|的最小值，从而求出|PA|+|PF1|的最小值．‎ ‎【解答】解：椭圆的a=3，b=，c=2，‎ 如图，设椭圆的右焦点为F2（2，0），‎ 则|PF1|+|PF2|=2a=6；‎ ‎∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|‎ ‎=6+|PA|﹣|PF2|；‎ 由图形知，当P在直线AF′上时，‎ ‎||PA|﹣|PF2||=|AF2|=，‎ 当P不在直线AF′上时，‎ 根据三角形的两边之差小于第三边有，‎ ‎||PA|﹣|PF2||＜|AF2|=；‎ ‎∴当P在F'A的延长线上时，|PA|﹣|PF2|取得最小值﹣，‎ ‎∴|PA|+|PF1|的最小值为6﹣．‎ 故答案为：6﹣．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是　等腰或直角三角形　．‎ ‎【分析】根据题意，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠‎ CAD=90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：根据题意，∵∠BAD+∠C=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，‎ 设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，‎ 在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，‎ sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，‎ 又D为BC中点，∴BD=CD，‎ ‎∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，‎ ‎∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，‎ ‎∴2α=2β或2α+2β=180°，‎ ‎∴α=β或α+β=90°，‎ ‎∴BD=AD=CD或AD⊥CD，‎ ‎∴∠BAC=90°或AB=AC，‎ ‎∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．‎ 故答案为：等腰或直角三角形 ‎【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，以及直角三角形和等腰三角形的判定，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）已知等式（2b﹣c）cosA=a•cosC，‎ 由正弦定理化简得（2sinB﹣sinC）cosA=sinA•cosC，‎ 整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，‎ 即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，‎ 在△ABC中，sinB≠0，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵0＜A＜π ‎∴A=；‎ ‎（2）∵b+c=4，a=2，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bcosA，即4=b2+c2﹣bc，‎ ‎∴4=（b+c）2﹣3bc，‎ ‎∵b+c=4，‎ ‎∴bc=4，‎ ‎∴S△ABC=bc•sinA=×4×=‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附：K2=‎ P（（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【分析】（1）利用列举法确定基本事件的个数，由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ ‎【解答】解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．‎ 从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，‎ 而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个． ‎ 所以所求概率为P（A）== ‎ ‎（2）由已知数据得：‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ 成绩不优秀 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706‎ 所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．‎ ‎【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知数列{an}，其前n项和为Sn，若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn，数列{bn}，满足点（n，bn）（n∈N*）在直线y=x上．‎ ‎（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，根据等比数列的性质求出数列的通项公式即可；‎ ‎（2）利用错位相减法求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x，‎ ‎∴y′=2x﹣2，‎ ‎∴2an﹣2=Sn，‎ ‎2an﹣1﹣2=Sn﹣1（n≥2），‎ ‎∴an=2an﹣1（n≥2），‎ 当n=1时，a1=2，‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an=2n（n∈N*），‎ 由条件知{bn}是等差数列，‎ bn=n；‎ ‎（2）令cn=anbn=n2n （利用错位相减法求和），‎ 则Tn=2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，①‎ 故2Tn=22+2•23+3•24+…+（n﹣1）2n+n2n+1②，‎ ‎①﹣②得﹣Tn=2+22+23+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n﹣1，‎ ‎∵Tn=（n﹣1）2n+1+2．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的性质，考查数列求和，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．‎ ‎（1）求B到平面CDE的距离 ‎（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）说明CD⊥AE，AE⊥ED，推出AE⊥平面CDE，然后求解B到平面CDE的距离．‎ ‎（2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=．设F为线段DE上的一点，且=．过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，‎ 证明MFAB，说明四边形ABMF是平行四边形，即可说明AF∥平面BCE．‎ ‎【解答】（1）解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，‎ 又AB∥CD，∴B到平面CDE的距离为AE=3…（6分）‎ ‎（2）解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=．‎ 下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=．‎ 过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，‎ ‎∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，‎ ‎∴CD∥AB．又CD=3AB，‎ ‎∴MFAB，‎ ‎∴四边形ABMF是平行四边形，‎ ‎∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．‎ ‎∴AF∥平面BCE．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过定点T（0，2）的直线l与（1）中的椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出b=1，再根据离心率，可解椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y2＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得 2b=2，=，解得a=3，b=1‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ ‎（2）直线l方程为y=kx+2，将其代入+y2=1，‎ 得（3k2+1）x2+12kx+9=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，解得k2＞1，‎ 由根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=‎ ‎∵∠AOB为锐角，‎ ‎∴•＞0，‎ ‎∴x1x2+y1y2＞0，‎ ‎∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，‎ ‎∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，‎ 化简得＞0，‎ 解得k2＜，‎ 由k2＞1且k2＜，‎ 解得k∈（﹣，﹣1）∪（1，）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）问题等价于mt﹣1＜f（x）min，通过讨论m 的范围，求出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当m=1时，，解得x=﹣1（舍去），，‎ 在上递减，在上递增，所以f（x）的极小值为．‎ ‎（2），令f'（x）=0可得．‎ ‎①当m≥0时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）在上单调递增．‎ ‎②当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，﹣m）和上单调递增．‎ ‎③当时，由可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎④当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在和（﹣m，+∞）上单调递增．‎ ‎（3）由题意可知，对∀m∈（2，3），x∈[1，3]时，恒有mt﹣1＜f（x）成立，等价于mt﹣1＜f（x）min，‎ 由（2）知，当m∈（2，3）时，f（x）在[1，3]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=2m，所以原题等价于∀m∈（2，3）时，恒有mt﹣1＜2m成立，即．‎ 在m∈（2，3）时，由，故当时，mt﹣1＜2m恒成立，∴．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎