【数学】河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟试题（文）（解析版）

【数学】河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟试题（文）（解析版）

河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国 统一模拟数学试题（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎2.复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以其共轭复数为．‎ 故选：B．‎ ‎3.下图是‎2020年2月15日至‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）‎ A. ‎2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C. ‎2020年2月19日至‎3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D. ‎2020年2月15日到‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，由图可知，‎2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日1660人大幅下降至615人，所以A正确；‎ 对于B，从‎2020年2月19日起至‎2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；‎ 对于C，由图可知，‎2020年2月19日至‎3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，‎2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，‎3月1日，2日，共8天，所以C正确；‎ 对于D，‎2020年2月15日到‎3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是‎2月16日1690例，最少的是‎3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．‎ 故选：D．‎ ‎4.等差数列的前n项和为，满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】因，解得，所以 故选：D．‎ ‎5.角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据角谷猜想的定义，可知当时，得出的数为5，16，8，4，2，1．从中随机任取两个不同的数有：‎ ‎，共15个结果，‎ 而取出这两个数都是偶数的有：，共6个结果，‎ 所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为．‎ 故选：C．‎ ‎6.已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）‎ A. 在上为减函数，且 ‎ B. 在上为减函数，且 C. 在上为增函数，且 ‎ D. 在上为增函数，且 ‎【答案】C ‎【解析】因为函数为奇函数，所以函数关于点对称，即，‎ 函数是偶函数，所以，于是，，用替换，可得，所以．‎ 当，，‎ 当时，，所以在上为增函数，且．‎ 故选：C．‎ ‎7.如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（ ）‎ A. 16 B. C. 32 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，该几何体为图中三棱柱，‎ 所以该几何体的体积为．‎ 故选：A．‎ ‎8.双曲线的渐近线与圆在第一、二象限分别交于M，N两点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意作出图象，如图所示：‎ 因为，所以为等边三角形，而双曲线的渐近线方程为，它们关于y轴对称，所以，即，‎ 又，所以，即离心率．‎ 故选：D．‎ ‎9.已知，．若且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，‎ ‎，‎ 即，因而，．‎ 故选：B．‎ ‎10.如图是函数的部分图象，设是函数在上的极小值点，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像可知，，所以，‎ 又因为，而且，所以，故 由，，解得，所以 ‎．‎ 故选：B．‎ ‎11.函数在上的零点个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，显然不是函数的零点，可得．‎ 设，，因为，‎ 所以当，，‎ 当，，当，，‎ ‎∴的极小值为，而，故作出函数和在上的图象，如图所示：‎ 所以，两函数图象有两个交点，即函数在上的零点个数为2．‎ 故选：B．‎ ‎12.把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意以及弧长公式可知，，解得，‎ 所以该圆锥的侧面积为．‎ 如图所示，‎ 由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，‎ 设圆锥的外接球的半径为，‎ 因为，所以，解得，‎ 因此，该圆锥的外接球的表面积为．‎ 故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.抛物线的焦点为F，过F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为过焦点F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，所以为通径，‎ 即，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎14.已知变量x，y满足，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式表示的平面区域，如图所示的阴影区域：‎ 设，当直线平移至经过点时，取得最小值．‎ 由解得，，所以点的坐标为．‎ 因此，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎15.若函数有最小值，则实数a取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，函数单调递减，无最小值，无最大值，其值域为；‎ 当时，函数单调递减，其最小值为，‎ 所以若该函数有最小值，最小值只能在处取得，故．‎ 故答案为：．‎ ‎16.已知等比数列的公比为，前n项和为，且满足，．若对一切正整数n，不等式恒成立，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，‎ ‎，变形为 ‎，解得或，又∵，所以．‎ 故，，．‎ ‎∴，即 设，，‎ 当时，；‎ 当时，，令 ‎∴解得，因此，当，即时，，‎ 当，即时，，‎ 所以，当时，的值最小，最小为，∴．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（―）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，有．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，角B的角平分线BD交AC于D，，求边AD的长．‎ 解：（1）由，知，‎ 得． ‎ ‎，， ‎ ‎，即． ‎ ‎（2），，． 为角平分线，，‎ 从而，． ‎ 设，在中，根据余弦定理得，求得．‎ 在中，根据正弦定理得，求得．‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC，，．‎ ‎（1）证明：平面PBC；‎ ‎（2）求点C到平面PBA的距离．‎ ‎（1）证明：平面ABC，平面ABC，． ‎ 取PC的中点D，连接BD，，． ‎ 又平面平面PBC，平面平面，平面PBC，‎ 平面PAC．又平面PAC，． ‎ ‎，平面PBC．‎ ‎（2）解：易知平面平面ABC，AB为交线，在中，过点C作，交AB于M，则平面PBA． ‎ 又，，‎ 点C到平面PBA的距离为．‎ ‎19.已知椭圆的焦距为4．且过点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O为坐标原点）．‎ 解：（1）由题可知，，， ‎ 椭圆的左，右焦点分别为，．‎ 由椭圆的定义知， ‎ ‎，，‎ 椭圆E的方程为． ‎ ‎（另解：由题可知，解得）．‎ ‎（2）易得，，，‎ 直线与椭圆联立，得，‎ ‎，从而，． ‎ 直线AM的斜率为，直线AM的方程为．‎ 令，得， ‎ 直线PQ的斜率． ‎ 直线OC的斜率， ‎ ‎，从而．‎ ‎20.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：‎ 序号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 锻炼时长m（单位：分钟）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？‎ 附；在线性回归方程中，，．‎ 解：（1），‎ ‎． ‎ ‎（分钟）． ‎ ‎（2）（Ⅰ），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，， ‎ 关于n的线性回归方程为． ‎ ‎（Ⅱ）当时，．‎ ‎，‎ 估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）判断函数在点处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．‎ ‎（2）若有最大值，证明：．‎ 解：（1），，切点坐标为，‎ 在处的切线方程为， ‎ 即，令，得，．‎ 在处的切线过定点．其坐标为． ‎ ‎（2）由题知，的定义域为．‎ ‎．‎ 若，则恒成立，在上单调递增，无最大值． ‎ 若，令，得（舍）或 当，；当时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减， ‎ 故，‎ 即． ‎ 若证，可证，令，，‎ 则有，即证． ‎ 设，则．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故．，即．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎ [选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线，曲线（为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．l与，分别交于异于极点的A，B两点，且．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求实数a的值．‎ 解：（1）把曲线化成普通方程为，即， ‎ 所以曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（2）把曲线化成极坐标方程为， ‎ 把分别代入和得，， ‎ ‎， ‎ ‎，，解得．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数a的值．‎ 解：（1）， ‎ 当时，由，得，解得； ‎ 当时，由，得，无解； ‎ 当时，由，得，解得． ‎ 所以的解集为． ‎ ‎（2）由（1）知，方程的解为或．‎ 作出函数的图象，如图所示：‎ 由图象可知，函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，故，解得．‎ 因为，所以．‎