湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学2020届高三上学期10月联考数学（理）试题

湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学2020届高三上学期10月联考数学（理）试题

高三数学考试（理科）‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合M，N，再计算.‎ ‎【详解】集合，‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型.‎ ‎2.命题“存在一个偶函数，其值域为R”的否定为（）‎ A. 所有的偶函数的值域都不为R B. 存在一个偶函数，其值域不为R C. 所有的奇函数的值域都不为R D. 存在一个奇函数，其值域不为R ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用命题的否定的定义得到答案.‎ ‎【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为R”‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力 ‎3.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算两部分定义域，求交集得到答案.‎ ‎【详解】函数 ‎∵，∴.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 ‎4.若，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】若a能被5整除，则必能被5整除；‎ 若b能被5整除，则未必能被5整除 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力 ‎5.将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到曲线的图象，‎ 令，解得，‎ 所以对称轴方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.4片叶子由曲线与曲线围成，则每片叶子的面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算图像交点，再利用定积分计算面积.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 由，解得，‎ 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查定积分应用，考查运算求解能力 ‎7.下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用排除法，即可求解．‎ ‎【详解】由，‎ 可排除A、B、C选项，‎ 又由，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.函数在上的图象大致为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性排除C，根据取值，排除B,D，故选A ‎【详解】易知为偶函数，排除C 因为，，所以排除B，D 故答案选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，考查推理论证能力 ‎9.已知，则的近似值为（）‎ A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简式子等于，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以的近似值为1.78.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力 ‎10.已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）‎ A. B. 4 C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的图象关于点对称，则，结合，‎ 则可得，即函数的周期为8，即有，又，‎ 即可得解.‎ ‎【详解】解：因为的图象关于点对称，所以.又，所以，所以，则，‎ 即函数的周期为8，所以，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.‎ ‎11.函数的值域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数得到，再根据定义域得到值域.‎ ‎【详解】‎ 且当且仅当时，，‎ ‎∴的值域为 故答案选A ‎【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域，考查推理论证能力 ‎12.若函数在有最大值，则a的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到函数的单调区间，得到在处取得极大值，，得到或，再计算得到答案.‎ ‎【详解】令，得，‎ 当时，；‎ 当或时，.‎ 从而在处取得极大值.‎ 由，得，解得或.‎ ‎∵在上有最大值，‎ ‎∴，∴.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.设函数，则________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入数据得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为16‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力 ‎14.直线与曲线，在上的交点的个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断，画出图像得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 直线与曲线在上有3个交点.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，‎ ‎15.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.‎ ‎①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；‎ ‎②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。‎ ‎【详解】解： ①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付元，则.‎ ‎②设顾客一次购买干果的总价为元，当时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当时，.即对恒成立，则，，又,所以.‎ ‎【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。‎ ‎16.已知函数的定义域为，其导函数满足对恒成立，且，则不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数，判断在上单调递减，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】设函数，则 因为 所以，.‎ 故在上单调递减 所以，‎ 则，即.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的应用，其中构造函数是解题的关键，考查函数构造法的应用与推理论证能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数（且）的图象经过点.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的值域.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入函数计算得到答案.‎ ‎（2），当，即时，取得最小值，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）因为（且）的图象经过点，‎ 所以.‎ 因为且，所以，‎ 所以的解析式为或 ‎（2）‎ 当，即时，取得最小值 因为 所以的值域为 ‎【点睛】本题考查了函数的表达式和值域，属于常考题型.‎ ‎18.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图像得到，，代入点得到.‎ ‎（2）由（1）知，，代入数据化简得到，‎ ‎，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】解；（1）由图可知 故，则 又的图象过点，则，得.‎ 而，所以 ‎（2）由（1）知，，则 则 因为，所以，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中是解题的关键.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义可得：，即曲线在点处的切线方程为；‎ ‎（2）利用导数研究函数的单调性可得函数的减区间为，增区间为，则恒成立等价于，运算即可得解.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 所以，‎ 又，所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）因为，所以.令，得，‎ 令，得.令，得，‎ 即函数的减区间为，增区间为， ‎ 所以，‎ 因为恒成立，所以，‎ 因为，所以，‎ 故a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.‎ ‎20.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.‎ ‎（1）若为偶函数，，求的取值范围.‎ ‎（2）若在上是单调函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，得到，根据偶函数得到，化简得到，代入数据得到答案.‎ ‎（2）计算，根据单调性得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎∴‎ 又为偶函数，则，∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又，∴的取值范围为.‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵在上是单调函数，∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和对于三角函数公式性质的灵活运用.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数在上的零点之和；‎ ‎（2）证明：在上只有1个极值点.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）得到或，据此计算答案.‎ ‎（2）求导设，则，判断函数在上单调递减，在上单调递增，又，，得到答案.‎ ‎【详解】（1）解：令，得或，‎ 即或，即或 所以在上的零点之和为 ‎（2）证明设，，‎ ‎，，‎ 当时，，则为增函数.‎ 因为，，所以，‎ 所以当时，；当时，，‎ 从而的上单调递减，在上单调递增 又，，所以必存在唯一的，使得，‎ 当时，；当时，‎ 故在上只有1个极值点 ‎【点睛】本题考查了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵活掌握隐零点的相关知识技巧是解题的关键.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）讨论的单调性.‎ ‎（2）若存在两个极值点，，证明：.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，设，讨论的范围得到的正负，得到函数单调区间.‎ ‎（2）由（1）知，当时，存在两个极值点，得到，将要证明的式子化为，设，证明得到答案.‎ ‎【详解】（1）解：，.‎ 设，‎ 当时，，，则，在上单调递增 当时，，的零点为，，‎ 所以在，上单调递增 在上单调递减 当时，，的零点为，‎ 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）证明；由（1）知，当时，存在两个极值点 不妨假设，则 要证，只需证 只需证 即证，‎ 设，设函数，，‎ 因为，所以，，‎ 所以在上单调递减，则 又，则，则 从而 ‎【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，不等式的证明，其中通过换元可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎