上海市杨浦区2020届高三第一次模拟（期末考试）数学试题 Word版含解析

上海市杨浦区2020届高三第一次模拟（期末考试）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 一、填空题 ‎1.函数的定义域为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数化简为,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 化简可得:,‎ 定义域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎2.关于、的方程组的增广矩阵为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：∵方程组，‎ ‎∴它的增广矩阵为，‎ - 24 -‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题．‎ ‎3.己知函数的反函数,则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 可得 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎4.设为纯虚数(为虚数单位),则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纯虚数定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】,为纯虚数 即实部为,虚部不为 ‎ ‎ 解得:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎5.己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案.‎ ‎【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为,‎ 如图:‎ 解得:‎ 在中,‎ 故母线与底面所成角的大小为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值．‎ ‎【详解】解：∵（1+ax）７的展开式为 Tr+1•（ax）r，令r＝3，可得含x3项的系数等于a3•280，‎ - 24 -‎ 解得 a＝2，‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎7.椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义可得:, ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案.‎ ‎【详解】椭圆 可得:,,.‎ 根据椭圆定义可得:, ,‎ 可得 解得:.‎ 在三角形中由余弦定理:,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎8.己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则________.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为的通项公式为,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】的通项公式为 ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎9.在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为动点在圆上,故可设,求出和,即可求得答案.‎ ‎【详解】动点在圆上 - 24 -‎ 令 ‎,‎ 的取值范围:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积取值范围,解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两角和公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎10.己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断函数的奇偶性,根据计数原理,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于①,因为,定义域为且满足,故为偶函数;‎ 对于②,因为,定义域为且满足,故为偶函数;‎ 对于③,因为,定义域为,故非奇非偶函数;‎ 对于④,因为,定义域为且满足,故为奇函数;‎ - 24 -‎ 对于⑤,因为,定义域为且满足,故为奇函数;‎ 对于⑥,因为,根据函数图象可知为非奇非偶函数.‎ 综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.‎ 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:‎ 当选1奇和偶时,种;‎ 当选2奇和偶时,种;‎ 当选1奇,偶,非奇非偶时,种.‎ ‎ 一共有种选法.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和计数原理,解题关键是掌握奇偶函数的判断方法和计数原理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎11.己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,即,画出函数图象,设有三个不同实数解,故方程有两个根,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ - 24 -‎ 画出函数图象:‎ 设 有三个不同实数解,‎ 方程有两个根 其中一个在区间上,一个根为或在区间上,‎ 若方程一个根为,‎ ‎,另一根为,不满足条件.‎ 故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间 令 ‎①当时 则 解得:‎ ‎②当时 即,故,‎ 将代入 可得:,‎ 解得:‎ 满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间 - 24 -‎ 综上所述,实数的取值范围为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎12.向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:‎ ‎①若为“类集”,则集合也是“类集”;‎ ‎②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;‎ ‎③若都是“类集”,则也是“类集”;‎ ‎④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.‎ 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】集合,对于任意,‎ 且任意,都有 可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,,向量整体倍,还是表示是直线,故①正确;‎ 对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确;‎ - 24 -‎ 对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误;‎ 对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.‎ 综上所述,正确的是①②④.‎ 故答案为:①②④.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ 二、选择题 ‎13.已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项.‎ ‎【详解】A选项不正确，当时，不等式就不成立；‎ B选项不正确，因时，不等式就不成立；‎ C选项不正确，因为时，不等式就不成立；‎ D选项正确，因为是一个增函数，故当时一定有，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质.‎ ‎14.要得到函数的图象,只要将的图象( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 - 24 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象变换规律,即可求得答案.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,‎ 可得函数的图象 将的图象向左平移个单位长度,即可得到 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换,解题关键是掌握三角函数变换的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎15.设为复数,则下列命题中一定成立的是( )‎ A. 如果,那么 B. 如果,那么 C. 如果,那么 D. 如果,那么 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A,取,时,,即,但虚数不能比较大小, ,故A错误;‎ 对于B,由,可得,不能得到,故B错误;‎ 对于C,因为,所以,故C正确;‎ 对于D,取,,满足,但是,故D错误.‎ 故选:C.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎16.对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )‎ A. 若则 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,逐项分析,即可求得答案.‎ 详解】‎ 对于A,,‎ 分类讨论：‎ ‎①当,则此时 ‎ ‎②当且,即,此时，‎ ‎③当且,‎ 即时,,此时 综合所述,有,故A正确;‎ 对于B , ,故(2)正确；‎ 对于C ,‎ - 24 -‎ ‎,故C正确;‎ 对于D ,,故D错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,分别为棱的中点.‎ ‎（1）求证:、、、四点共面；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为在中,由、为、中点得:为中位线,可得∥,结合底面为矩形,即可求得答案;‎ ‎（2）以为原点建立坐标系,其中、、分别为、、轴,求得和,,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）在中,由、为、中点得:为中位线,‎ ‎∥‎ - 24 -‎ 又底面为矩形, ∥,‎ ‎∥‎ 由平行线确定唯一平面得、、、在同一平面上.‎ ‎（2）以为原点建立坐标系,其中、、分别为、、轴,‎ 如图:‎ 可得,,,‎ ‎,,‎ 故:‎ 异面直线与夹角:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎18.己知函数其中为实常数.‎ ‎（1）若,解关于的方程;‎ ‎（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.‎ ‎【答案】（1）或（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）因为,,可得,故,因为,即,通过换元法,即可求得答案;‎ ‎（2）因为函数定义域为,分别讨论为奇函数和为偶函数,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎,即 解得:‎ 可得:‎ 令()‎ ‎,即:‎ 解得:或 即:,‎ 或.‎ ‎（2）函数定义域为,‎ ‎①当为奇函数时,‎ 根据奇函数性质 可得恒成立 即恒成立,‎ ‎.‎ ‎②当为偶函数时,‎ 根据偶函数性质 - 24 -‎ 可得恒成立 即恒成立,‎ ‎.‎ ‎③当时,函数为非奇非偶函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎19.东西向的铁路上有两个道口、,铁路两侧的公路分布如图,位于的南偏西,且位于的南偏东方向,位于的正北方向,,处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人,发现北偏东方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要分钟,救护车和火车的速度均为.‎ ‎（1）判断救护车通过道口是否会受火车影响,并说明理由;‎ ‎（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明.‎ ‎【答案】（1）救护车通过会受影响，详见解析（2）选择过道，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为位于的南偏西,在北偏东方向上,在中,,,根据正弦定理求得,求得救护车到达处需要时间,结合已知,即可求得答案;‎ ‎（2）分别求出选择道口共需要花费时间和选择道口共需要花费时间,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）位于的南偏西,在北偏东方向上 在中,,‎ - 24 -‎ 正弦定理可得:‎ 解得:.‎ 救护车和火车的速度均为 救护车到达处需要时间:,‎ 又火车到达处需要时间:,火车影响道口时间为,‎ 救护车通过会受影响.‎ ‎（2）若选择道口:‎ 一共需要花费时间为:‎ 若选择道口:‎ 通过道口不受火车影响,‎ 一共需要花费时间为:‎ 由余弦定理求长:‎ ‎.‎ 选择过道.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线的焦点为,点 - 24 -‎ 是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为 ‎（1）若,求点的坐标;‎ ‎（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;‎ ‎（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为点是第一象限内抛物线上的一点,且,设,‎ 则 即可求得答案;‎ ‎（2）设,由,,可得:,,因为 ,可得,结合已知,即可求得答案;‎ ‎（3）因为过点,设为:,点,点,其中点,可得:,联立直线与抛物线得,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）点是第一象限内抛物线上的一点,且 设,‎ 则 ‎ - 24 -‎ 解得:,即.‎ ‎（2）设,由,‎ 可得:,‎ ‎①‎ 又等腰,得点在轴投影为、中点,即:.‎ 将,代入①得:,(舍去)‎ 点坐标为.‎ ‎（3）过点 设为:,点,点,其中点,‎ 可得:‎ 联立直线与抛物线得,消掉 可得:‎ 根据韦达定理可得:‎ 设点处抛物线得切线为 联立直线与抛物线得:,消掉 可得:‎ - 24 -‎ ‎,可得:‎ 过处切线方程为 化简得 求切线与直线得交点 可得 轴,‎ 与相切时,为中点 以上各步骤,均可逆 ‎“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎21.己知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质.‎ ‎（1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由;‎ ‎（2）己知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:;‎ ‎（3）己知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）因为首项为,公比为的无穷等比数列,即可,求和,即可求得答案;‎ ‎（2）因为无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,满足周期性,且,可得,因为具备性质,故满足:,,采用反证法证明,即可求得答案;‎ ‎（3）数列是等差数列,可得的前项和为:,因为前项和为:,由具备性质,则其中中包含项奇数项,项偶数项,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）首项为,公比为无穷等比数列 根据等比数列前项和公式可得:‎ ‎,‎ 数列满足具有性质.‎ ‎（2）无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等 满足周期性,且 可得 具备性质 满足:,‎ 利用反正法证明:‎ 若,则,‎ - 24 -‎ 令 得:(注:当时,,则当时,)‎ 与矛盾.‎ ‎,‎ 又,‎ ‎.证明完毕.‎ ‎（3）数列是等差数列 的前项和为:,‎ 前项和为:‎ 由具备性质,‎ 则 其中中包含项奇数项,项偶数项,‎ 有:‎ 其中中包含项奇数项,项偶数项,‎ 故:‎ 由性质 - 24 -‎ 可得,对任意成立 ‎、满足:,解得:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了有关与数列相关创新题和对新定义的理解,解题关键是要充分理解新定义和数列的知识相结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎